Autor Tema: Muestre que C(X) esta en B(X)

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21 Julio, 2021, 07:27 pm
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zapayan

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Hola buenas a todos

Tengo este problema:

Muestre \( C(X)\subseteq{B(X)} \) siempre que \( X \) sea un espacio topológico compacto. Muestre
ademas que \( (C(X),D) \) es cerrado.

NOTA: caber mencionar que \( B(X) \) esta definida como: \( B(X)=[f:X\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) es acotada\( ] \)

\( C(X)=[f:X\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) es continua\( ] \)

gracias por sus aportes.

22 Julio, 2021, 10:37 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Tengo este problema:

Muestre \( C(X)\subseteq{B(X)} \) siempre que \( X \) sea un espacio topológico compacto. Muestre
ademas que \( (C(X),D) \) es cerrado.

NOTA: caber mencionar que \( B(X) \) esta definida como: \( B(X)=[f:X\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) es acotada\( ] \)

\( C(X)=[f:X\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) es continua\( ] \)

Tienes que mostrar que toda función continua \( f \) sobre un compacto es acotada:

1) Considera la familia de conjuntos de \( X \): \( U_n=f^{-1}(-n,n) \) para \( n\in \Bbb N \).
2) Son abiertos por ser \( f \) continua.
3) Recubren \( X \).
4) Por ser \( X \) compacto existe un subrecubrimiento finito.

Termina...

Saludos.