Autor Tema: Probar que una función de sucesión esta contenida en una Bola

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21 Julio, 2021, 10:01 am
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zapayan

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Muy buenas a todos

Tengo el siguiente problema:

Considere \( (B(X),D) \) con \( D(f,g)=sup_{x\in{X}}\left |{f(x)-g(x)}\right | \) muestre que \( f_{n}\subseteq{B(X)} \)
tal que \( lim_{n\in{\mathbb{N}}}D(f_{n},f)=0 \), \( f\in{B(X)} \) es equivalente a \( f_{n}\longrightarrow{f} \) en \( X \).

Gracias de antemano, espero cualquiera de sus ideas o aportes.

saludos

21 Julio, 2021, 10:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Considere \( (B(X),D) \) con \( D(f,g)=sup_{x\in{X}}\left |{f(x)-g(x)}\right | \) muestre que \( f_{n}\subseteq{B(X)} \)
tal que \( lim_{n\in{\mathbb{N}}}D(f_{n},f)=0 \), \( f\in{B(X)} \) es equivalente a \( f_{n}\longrightarrow{f} \) en \( X \).

Gracias de antemano, espero cualquiera de sus ideas o aportes.

¿Exactamente qué conjunto de funciones es \( B(X) \)?. Tampoco me queda claro exactamente entre que dos afirmaciones tienes que comprobar la equivalencia. No sé si alguna de las hipótesis es general o particular de esas afirmaciones.

Se tiene que dadas \( f_n \) acotadas:

- Si \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}d(f_n,f)=0 \) entonces \( f_n\to f \) puntualmente y \( f \) es acotada.
- Sin embargo si \( f_n\to f \) puntualmente y \( f \) es acotada NO es cierto que necesariamente \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}d(f_n,f)=0 \).

Entonces intenta escribir de manera más precisa los enunciados.

Saludos.



21 Julio, 2021, 10:27 am
Respuesta #2

zapayan

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Hola

Considere \( (B(X),D) \) con \( D(f,g)=sup_{x\in{X}}\left |{f(x)-g(x)}\right | \) muestre que \( f_{n}\subseteq{B(X)} \)
tal que \( lim_{n\in{\mathbb{N}}}D(f_{n},f)=0 \), \( f\in{B(X)} \) es equivalente a \( f_{n}\longrightarrow{f} \) en \( X \).

Gracias de antemano, espero cualquiera de sus ideas o aportes.

¿Exactamente qué conjunto de funciones es \( B(X) \)?. Tampoco me queda claro exactamente entre que dos afirmaciones tienes que comprobar la equivalencia. No sé si alguna de las hipótesis es general o particular de esas afirmaciones.

Se tiene que dadas \( f_n \) acotadas:

- Si \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}d(f_n,f)=0 \) entonces \( f_n\to f \) puntualmente y \( f \) es acotada.
- Sin embargo si \( f_n\to f \) puntualmente y \( f \) es acotada NO es cierto que necesariamente \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}d(f_n,f)=0 \).

Entonces intenta escribir de manera más precisa los enunciados.

Saludos.

Exactamente tengo esto: \( B(X)= [f:X\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) es acotada]

21 Julio, 2021, 10:34 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Exactamente tengo esto: \( B(X)= [f:X\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) es acotada]

Bien. ¿Y qué equivalencia tienes que probar?. Porque como te he comentado la equivalencia entre la convergencia uniforme y puntual es falsa.

Saludos.

21 Julio, 2021, 10:46 am
Respuesta #4

zapayan

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Hola

Exactamente tengo esto: \( B(X)= [f:X\longrightarrow{\mathbb{R}} \) tal que \( f \) es acotada]

Bien. ¿Y qué equivalencia tienes que probar?. Porque como te he comentado la equivalencia entre la convergencia uniforme y puntual es falsa.

Saludos.

Revisando mas, encontre que debe probarse esto:
\( lim_{n\in{\mathbb{N}}}sup_{x\in{X}}\left |{f_{n}(x)-f(x)}\right | \)\( =0 \) \( \Longleftrightarrow{f_{n}\longrightarrow{f}} \) en \( X \)

saludos, y gracias por siempre apoyar.

21 Julio, 2021, 11:09 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Revisando mas, encontre que debe probarse esto:
\( lim_{n\in{\mathbb{N}}}sup_{x\in{X}}\left |{f_{n}(x)-f(x)}\right | \)\( =0 \) \( \Longleftrightarrow{f_{n}\longrightarrow{f}} \) en \( X \)

Si por \( \Longleftrightarrow{f_{n}\longrightarrow{f}} \) en \( X \) se entiende el la convergencia puntual, el resultado es FALSO. Se da la implicación de izquierda a derecha, pero no la opuesta.

Por ejemplo si tomas \( X=[0,1] \)

\( f_n(x)=f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x=1/n\\0 & \text{si}& x\neq 1/n\end{cases} \)

se tiene que \( f_n  \) convergen puntualmente a la función \( f=0 \), pero sin embargo \( sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|=1 \) no converge a cero.

Saludos.

21 Julio, 2021, 11:51 am
Respuesta #6

zapayan

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Hola

Revisando mas, encontre que debe probarse esto:
\( lim_{n\in{\mathbb{N}}}sup_{x\in{X}}\left |{f_{n}(x)-f(x)}\right | \)\( =0 \) \( \Longleftrightarrow{f_{n}\longrightarrow{f}} \) en \( X \)

Si por \( \Longleftrightarrow{f_{n}\longrightarrow{f}} \) en \( X \) se entiende el la convergencia puntual, el resultado es FALSO. Se da la implicación de izquierda a derecha, pero no la opuesta.

Por ejemplo si tomas \( X=[0,1] \)

\( f_n(x)=f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x=1/n\\0 & \text{si}& x\neq 1/n\end{cases} \)

se tiene que \( f_n  \) convergen puntualmente a la función \( f=0 \), pero sin embargo \( sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|=1 \) no converge a cero.

Saludos.

Es entendible lo que me acabas de explicar. Espero yo hacer lo mismo cuando vea un ejercicio parecido.

saldudos