Autor Tema: Problema de convergencia uniforme

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20 Julio, 2021, 10:47 pm
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zapayan

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Buenas a todos,

les comparto el siguiente problema:

Muestre que la sucesion \( f_n \) con \( f_{n}: [0,q]\longrightarrow{\mathbb{R}} \), \( q<1 \)
dada por \( f_{n}=x^n \) converge uniformemente a la función idénticamente nula. Muestre ademas que
\( f_{n}\longrightarrow{f\equiv{0}} \) en \( [0,1) \) pero \( f_{n}\color{red}\not\rightrightarrows\color{black}{f\equiv{0}} \) en \( [0,1) \).

NOTA: donde aparece el signo\( \neq \) lo que intenta emular es un tachón a una doble linea. Gracias por sus aportes.

CORREGIDO

21 Julio, 2021, 12:17 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Se tiene una sucesión de funciones \( f_n(x)=x^n, \ x\in{[0,q], \ q<1} \) demostrar que la sucesión converge uniformemente a la función nula. La idea es demostrarlo considerando la definición de convergencia uniforme se plantea la interrogante
¿ \( \forall{\epsilon>0}\exists{N}\in{Z^+} \ / \ x^N<\epsilon, \ \forall{x}\in{[0,q]} \)? La respuesta es si. En efecto si \( x^N<\epsilon\Rightarrow{N \ lnx<ln \epsilon}\Rightarrow{N>\displaystyle\frac{ln \epsilon}{ lnx}} \) Inec 1 considerando la negatividad del logaritmo de x
Por otro lado se tiene \( x<q\Rightarrow{ln x\leq{ln q}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{ln q}\leq{\displaystyle\frac{1}{ln x}}} \) considerando la negatividad de ambos logaritmos. Si consideramos un \( \epsilon<1 \) se tiene que \( \displaystyle\frac{ln \epsilon}{ln q}\geq{\displaystyle\frac{ln \epsilon}{ln x}} \) Inec 2 por la negatividad. Esto implica que si \( N>\displaystyle\frac{ln \epsilon}{ln q}\Rightarrow{x^N<\epsilon, \ \forall{x}\in{[0,q]} } \) por existir siempre N y por el hecho que \( x^{M}<x^N \) si \( M>N \) se tiene :

\( \forall{\epsilon>0} \ \exists{N} \ / \ \left |{x^n}\right |<\epsilon \ \ si \ \ n\geq{N}, \ \forall{x}\in{[0,q]} \) por definición la sucesión converge uniformemente a la nula




Saludos

21 Julio, 2021, 01:30 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Para la primera parte como la función \( f_n(x) = x^n  \) es estrictamente creciente, entonces: \(  0  \leq f_n(x) \leq q^n  \), pra todo \( x \in [0,q]  \) al ser \(  0 < q < 1  \) tenemos \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \) y proseguimos....
 

21 Julio, 2021, 07:02 am
Respuesta #3

zapayan

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Hola

Se tiene una sucesión de funciones \( f_n(x)=x^n, \ x\in{[0,q], \ q<1} \) demostrar que la sucesión converge uniformemente a la función nula. La idea es demostrarlo considerando la definición de convergencia uniforme se plantea la interrogante
¿ \( \forall{\epsilon>0}\exists{N}\in{Z^+} \ / \ x^N<\epsilon, \ \forall{x}\in{[0,q]} \)? La respuesta es si. En efecto si \( x^N<\epsilon\Rightarrow{N \ lnx<ln \epsilon}\Rightarrow{N>\displaystyle\frac{ln \epsilon}{ lnx}} \) Inec 1 considerando la negatividad del logaritmo de x
Por otro lado se tiene \( x<q\Rightarrow{ln x\leq{ln q}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{1}{ln q}\leq{\displaystyle\frac{1}{ln x}}} \) considerando la negatividad de ambos logaritmos. Si consideramos un \( \epsilon<1 \) se tiene que \( \displaystyle\frac{ln \epsilon}{ln q}\geq{\displaystyle\frac{ln \epsilon}{ln x}} \) Inec 2 por la negatividad. Esto implica que si \( N>\displaystyle\frac{ln \epsilon}{ln q}\Rightarrow{x^N<\epsilon, \ \forall{x}\in{[0,q]} } \) por existir siempre N y por el hecho que \( x^{M}<x^N \) si \( M>N \) se tiene :

\( \forall{\epsilon>0} \ \exists{N} \ / \ \left |{x^n}\right |<\epsilon \ \ si \ \ n\geq{N}, \ \forall{x}\in{[0,q]} \) por definición la sucesión converge uniformemente a la nula




Saludos

Hola como te va?
creeme que no se me hubiese ocurrido la forma en como demuestras eso, porque ya me doy cuenta que segun el enunciado no siempre se realiza igual (al menos eso creo) porque  he visto otros ejercicios y resuelven usando esto:

\( \left\|{f_{n}(x)-f(x)}\right\|<\epsilon \) y de alli empiezan a operar hasta llegar a: \( \displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \). Entonces me gustaria saber un poco mas porque lo abordas de esta manera.
Entiendo de que el hecho de que  \( q<1 \) hace que esto pueda cambiar un poco. La otra pregunta es, el uso de los logaritmos ¿A que viene su uso si su dominio es \( x>0 \)? pregunto porque no entiendo. Muchas gracias por tu tiempo.

21 Julio, 2021, 09:42 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

\( \left\|{f_{n}(x)-f(x)}\right\|<\epsilon \) y de alli empiezan a operar hasta llegar a: \( \displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \). Entonces me gustaria saber un poco mas porque lo abordas de esta manera.
Entiendo de que el hecho de que  \( q<1 \) hace que esto pueda cambiar un poco. La otra pregunta es, el uso de los logaritmos ¿A que viene su uso si su dominio es \( x>0 \)? pregunto porque no entiendo. Muchas gracias por tu tiempo.

Las preguntas son un tanto vagas. Intenta seguir paso a paso lo que hace delmar e indica que dudas tienes. Aunque no es imprescindible él usa el logaritmos para gestionar una desigualdad de este tipo:

\( x^n<\epsilon \)  que equivale a \( n\cdot ln(x)<ln(\epsilon) \)

En realidad las dos ideas esenciales son las que ha indicado Juan Pablo:

1) Si \( x\in [0,q] \) entonces \( x^n\leq q^n \) (esto hace que el punto dos no dependa de \( x \) y tiene que ver con la uniformidad de la convergencia).
2) Que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}q^n\to 0 \) cuando \( 0<q<1 \); esto se puede dar como resultado conocido o probarlo según proceda.

Para la no convergencia uniforme en \( [0,1) \), puedes considerar la sucesión \( a_n=1-1/n \) y tener en cuenta que:

\( f(a_n)=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n\to e^{-1}\neq 0 \)

Saludos.

21 Julio, 2021, 10:41 am
Respuesta #5

zapayan

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Hola

\( \left\|{f_{n}(x)-f(x)}\right\|<\epsilon \) y de alli empiezan a operar hasta llegar a: \( \displaystyle\frac{\epsilon}{2}+\displaystyle\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \). Entonces me gustaria saber un poco mas porque lo abordas de esta manera.
Entiendo de que el hecho de que  \( q<1 \) hace que esto pueda cambiar un poco. La otra pregunta es, el uso de los logaritmos ¿A que viene su uso si su dominio es \( x>0 \)? pregunto porque no entiendo. Muchas gracias por tu tiempo.

Las preguntas son un tanto vagas. Intenta seguir paso a paso lo que hace delmar e indica que dudas tienes. Aunque no es imprescindible él usa el logaritmos para gestionar una desigualdad de este tipo:

\( x^n<\epsilon \)  que equivale a \( n\cdot ln(x)<ln(\epsilon) \)

En realidad las dos ideas esenciales son las que ha indicado Juan Pablo:

1) Si \( x\in [0,q] \) entonces \( x^n\leq q^n \) (esto hace que el punto dos no dependa de \( x \) y tiene que ver con la uniformidad de la convergencia).
2) Que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}q^n\to 0 \) cuando \( 0<q<1 \); esto se puede dar como resultado conocido o probarlo según proceda.

Para la no convergencia uniforme en \( [0,1) \), puedes considerar la sucesión \( a_n=1-1/n \) y tener en cuenta que:

\( f(a_n)=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n\to e^{-1}\neq 0 \)

Saludos.

Ahora si, comprendí  correctamente Luis muchas  gracias.