Autor Tema: Probar si un espacio metrico es de Baire

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19 Julio, 2021, 05:35 pm
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zapayan

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Muy buenas

Tengo el siguiente problema para demostrar.

Muestre que un espacio métrico \( (X,d) \) es de baire si y solo si \( A^c \) es denso en \( X \) para
todo conjunto \( A\subseteq{X} \) de primera categoria.

Quiero tener claro algo. ¿Basta solo con mostrar que \( A^c \) es denso para que el espacio métrico sea de Baire?

gracias por sus comentarios.

20 Julio, 2021, 04:14 am
Respuesta #1

Tanjiro

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Hola.

Muy buenas

Tengo el siguiente problema para demostrar.

Muestre que un espacio métrico \( (X,d) \) es de baire si y solo si \( A^c \) es denso en \( X \) para
todo conjunto \( A\subseteq{X} \) de primera categoria.

Quiero tener claro algo. ¿Basta solo con mostrar que \( A^c \) es denso para que el espacio métrico sea de Baire?

gracias por sus comentarios.

Precisamente ese es el ejercicio, mostrar que \( A^c \) es denso siempre y cuando $$A$$ sea de primera categoría. Tienes claro cuando un conjunto es de primera categoría?

20 Julio, 2021, 07:01 pm
Respuesta #2

zapayan

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Hola que mas.

Si claro, un conjunto es de primera categoría si se puede ver como la unión numerable de conjuntos densos.
Pero mi duda es; que una propiedad de los espacios de Baire es que se pueden definir intersecciones de conjuntos
numerables densos. ¿En que puede afectar eso?.

Ahora hice una prueba usando una "equivalencia" donde supongo que \( A \) es nada denso para llegar que
\( A^c \) es denso. Ahora no se si mi prueba este mal redactada, aun así pregunto. ¿Esta prueba se hace demostrando el
contrareciproco?

Gracias.

20 Julio, 2021, 08:53 pm
Respuesta #3

Dark

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Hola.


Hola que mas.

Si claro, un conjunto es de primera categoría si se puede ver como la unión numerable de conjuntos densos.

De conjuntos nada densos o densos en ninguna parte.

Pero mi duda es; que una propiedad de los espacios de Baire es que se pueden definir intersecciones de conjuntos
numerables densos. ¿En que puede afectar eso?.


Para un espacio métrico $$X$$ las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i. $$X$$ es un espacio de Baire

ii. Cada intersección contable de conjuntos abiertos densos es también densa.

iii. Si $$X=\bigcup_{n\in \mathbb N}F_n$$ y cada $$F_n$$ es un subconjunto cerrado, entonces el conjunto abierto $$\bigcup_{n\in \mathbb N}(F_n)^{\circ}$$ es denso. 

Es decir, para probar que $$X$$ es Baire puedes utilizar cualquiera de las afirmaciones ii y iii. Ahora, depende que camino quieras utilizar.


Ahora hice una prueba usando una "equivalencia" donde supongo que \( A \) es nada denso para llegar que
\( A^c \) es denso. Ahora no se si mi prueba este mal redactada, aun así pregunto. ¿Esta prueba se hace demostrando el
contrareciproco?



Si has hecho una prueba deberías mostrarla para ver el camino que has utilizado y así verificar si has utilizado el contrareciproco.