[Ariel Fernández]

Hola a todos. Comparto el siguiente ejercicio y lo que escribí para controlar si está bien.

" Sea \( S \) el subconjunto de los números reales formado por todos los números de la forma \( \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{m} \) con \( n = 1; 2; 3;…; m = 1; 2; 3 \);…(es decir \( n \) y \( m \) naturales).  Determinar si dicho subconjunto es abierto o cerrado (en la topología usual), justificando su respuesta."

Para mí no puede ser abierto porque ninguno de sus puntos es interior. Toda bola abierta centrada en algún punto de S no está totalmente incluida en el mismo. Luego para que sea cerrado debería contener a todos sus puntos de acumulación, pero se me hace que cualquier numero irracional sería punto de acumulación. Pienso en graficar el conjunto, pero si n y m pueden tomar cualquier valor natural, entonces tendría una infinidad de puntos. ¿Qué me podrían decir?
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Está bien.
Sea \( n,m \in \mathbb{N}  \) para todo \( \epsilon > 0  \) existe un \( k \in \mathbb{N}  \) con \( \dfrac{\sqrt{2}}{k} < \epsilon  \) luego:
\( \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m} + \dfrac{\sqrt{2}}{k} < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m} + \epsilon  \)
Editado
Luego \(   \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m} + \dfrac{\sqrt{2}}{k} \color{red} \in \color{black}  B(\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m} , \epsilon) \).
No es cerrado por que \( 0 \notin S  \).

[Ariel Fernández]

Hola Juan Pablo, gracias por responder.

No me queda claro  por qué ese número no pertenecería a la bola abierta. Porque si mal no entiendo para que pertenezca a la bola abierta debería esta a una distancia del centro menor que el épsilon, pero la diferencia entre el centro de la bola y \( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}+\dfrac{\sqrt{2}}{k} \) es \( \dfrac{\sqrt{2}}{k} \) que es menor que el épsilon. ¿O me estoy olvidando de algo?
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Como  \(  |(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} + \dfrac{\sqrt{2}}{k}) - (\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n})| = \dfrac{\sqrt{2}}{k} < \epsilon  \).
Está dentro de la bola y no es un elemento de \( S \).
Ediatdo
Cagada.
Si lo que quería poner es que estaría en la bola.
Lo edito ahora mismo.

[Ariel Fernández]

Hola Juan Pablo

Si lo que quería poner es que estaría en la bola.

Bien. Ahora sí. Entonces sólo para evacuar cualquier duda la respuesta sería que el conjunto no es ni abierto ni cerrado, verdad? O sea con lo que yo puse en principio ya bastaría para calificarlo como válido (si bien es verdad que no lo hice con toda la simbología correspondiente), ¿no?

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Lo que pusiste es correcto pero se debe justificar.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Bien. Ahora sí. Entonces sólo para evacuar cualquier duda la respuesta sería que el conjunto no es ni abierto ni cerrado, verdad? O sea con lo que yo puse en principio ya bastaría para calificarlo como válido (si bien es verdad que no lo hice con toda la simbología correspondiente), ¿no?

Es cierto que no es ni abierto ni cerrado, pero esta afirmación que hiciste es falsa:

pero se me hace que cualquier numero irracional sería punto de acumulación

No es cierto que cualquier irracional sea punto de acumulación. Los puntos de acumulación de ese conjunto son el \( 0 \) y toda la sucesión \( \{1/n|n\in \Bbb N\} \).

Saludos.

[Ariel Fernández]

Hola

No es cierto que cualquier irracional sea punto de acumulación

Y esto es así porque justamente por lo que escribió Juan Pablo, ¿no? Porque si en su expresión damos valores a \( k \) entonces obtendríamos un número irracional que pertenecería a esa bola abierta de centro \( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m} \) y radio \( ϵ \). ¿Qué punto sería si no es de acumulación? Lo peor de todo es que de momento no me imagino qué forma tendría la representación gráfica de este conjunto sobre la recta numérica. Tengo la intuición de que serían como puntos aislados como el conjunto  sucesión \( \{1/n|n∈N\} \) aunque mucho menos separados por así decirlo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

No es cierto que cualquier irracional sea punto de acumulación

Y esto es así porque justamente por lo que escribió Juan Pablo, ¿no? Porque si en su expresión damos valores a \( k \) entonces obtendríamos un número irracional que pertenecería a esa bola abierta de centro \( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m} \) y radio \( ϵ \).

Lo que escribió Juan Pablo es para demostrar que no es abierto. En cualquier bola centrada en puntos del conjunto es capaz de encontrar un irracional; como el conjunto está formado por racionales, la bola no está contenida en el conjunto.

¿Qué punto sería si no es de acumulación?

No entiendo la pregunta. ¿Qué puntos serían los irracionales respecto al conjunto?. Son puntos que no pertenecen al conjunto y no son de acumulación del mismo; simplemente eso. Si quieres puntos del interior del complementario del conjunto.

Lo peor de todo es que de momento no me imagino qué forma tendría la representación gráfica de este conjunto sobre la recta numérica. Tengo la intuición de que serían como puntos aislados como el conjunto  sucesión \( \{1/n|n∈N\} \) aunque mucho menos separados por así decirlo.

Fijado el valor de \( n \), son los puntos de la forma:

\( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m} \) con \( m\in \Bbb N \)

Es decir, para cada valor de \( n\in \Bbb N \), hay una sucesión de puntos que converge a \( \dfrac{1}{n}. \)

Por ejemplo para \( n=3 \), tienes en el conjunto la sucesión:

\( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4},\ldots,\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{m},\ldots\to \dfrac{1}{3} \)

Por eso:

No es cierto que cualquier irracional sea punto de acumulación. Los puntos de acumulación de ese conjunto son el \( 0 \) y toda la sucesión \( \{1/n|n\in \Bbb N\} \).

Saludos.

P.D. Hilos relacionados:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=59687.0
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=85243.0
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=78954.0