Autor Tema: Problema de espacios completos

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16 Julio, 2021, 08:00 pm
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zapayan

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Hola, muy buenas

Tengo el siguiente problema:

Definimos \( D:B(\Omega)\times{B((\Omega)}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( D\left(f,g\right)=sup_{x\in \Omega }\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right| \) siendo la funcion \( D \) una metrica. Ademas \( (B(\Omega),D) \) es un espacio métrico completo. En efecto, si \( {{f_n}}\subseteq{B(\Omega)} \) es de cauchy entonces \( {{f_n}} \) converge en \( B(\Omega) \). De hecho, si \( \epsilon>0 \) es cualquiera, existe \( N\in{\mathbb{N}} \) tal que para todo \( n,m>N \) se tiene que \( D(f_{n},f_{m})<\epsilon \). Ahora dado \( x\in{\Omega} \) cualquiera, si \( n,m>N \) entonces \( \left|f_n\left(x\right)-f_m\left(x\right)\right|\le D\left(f_n,f_m\right)<\epsilon \) de donde \( \left\{f_n\left(x\right)\right\}\subseteq{\mathbb{R}} \) es de cauchy y por lo tanto convergente (pues \( \mathbb{R} \) es completo).

Para todo \( x\in{\Omega} \) tenemos \( y_{x}=\displaystyle\lim f_{n}(x) \)\( \in{\mathbb{R}} \)
definiendo la función \( f:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=y_x \)
tenemos que:
1- \( \displaystyle\lim f_{n}=f \)

2- \( f\in{B(\Omega)} \)

Probar 1 y 2.  (Ahora si le añadi lo que creo que le faltaba, costó siempre transcribir)

Saludos.

17 Julio, 2021, 08:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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HOoa

Tengo el siguiente problema:

Para todo \( x\in{\Omega} \) tenemos \( y_{x}=\displaystyle\lim f_{n}(x) \)\( \in{\mathbb{R}} \)
definiendo la función \( f:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=y_x \)
tenemos que:
1- \( \displaystyle\lim f_{n}=f \)

2- \( f\in{B(\Omega)} \)

Probar 1 y 2.

Concreta el contexto del enunciado.

Te están definiendo una función como límite puntual de una sucesión de funciones.

Luego te piden que pruebes la convergencia, supongo que con alguna norma funcional. ¿Cuál?. ¿Qué espacio es \( \Omega \)?¿Qué denotas por \( B(\Omega) \)?.

Saludos.

18 Julio, 2021, 11:44 pm
Respuesta #2

zapayan

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HOoa

Tengo el siguiente problema:

Para todo \( x\in{\Omega} \) tenemos \( y_{x}=\displaystyle\lim f_{n}(x) \)\( \in{\mathbb{R}} \)
definiendo la función \( f:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=y_x \)
tenemos que:
1- \( \displaystyle\lim f_{n}=f \)

2- \( f\in{B(\Omega)} \)

Probar 1 y 2.

Concreta el contexto del enunciado.

Te están definiendo una función como límite puntual de una sucesión de funciones.

Luego te piden que pruebes la convergencia, supongo que con alguna norma funcional. ¿Cuál?. ¿Qué espacio es \( \Omega \)?¿Qué denotas por \( B(\Omega) \)?.

Saludos.

Hola Luis, en efecto tienes razon, esa es la parte que justamente esta como medio borrosa
en un libro que es algo antiguo.  Ya estoy tratando de escribirlo "completo".

Muchas gracias

21 Julio, 2021, 09:28 am
Respuesta #3

zapayan

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HOoa

Tengo el siguiente problema:

Para todo \( x\in{\Omega} \) tenemos \( y_{x}=\displaystyle\lim f_{n}(x) \)\( \in{\mathbb{R}} \)
definiendo la función \( f:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=y_x \)
tenemos que:
1- \( \displaystyle\lim f_{n}=f \)

2- \( f\in{B(\Omega)} \)

Probar 1 y 2.

Concreta el contexto del enunciado.

Te están definiendo una función como límite puntual de una sucesión de funciones.

Luego te piden que pruebes la convergencia, supongo que con alguna norma funcional. ¿Cuál?. ¿Qué espacio es \( \Omega \)?¿Qué denotas por \( B(\Omega) \)?.

Saludos.

Hola Luis,

Ya modifique el enunciado, puse lo que hacia falta. Mi pregunta es ¿tiene que ver esto con convergencia puntual?

Saludos