Autor Tema: Probar la continuidad en un punto x

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15 Julio, 2021, 09:47 pm
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zapayan

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Muy buenas tardes

Tengo el siguiente problema :

Muestre que \( w_f\left(x\right)=0 \) \( \Leftrightarrow{f} \) es continua en \( x \).
Ademas, si \( D_{n}=]x\in{X}: w_f\left(x\right)\geq{\displaystyle\frac{1}{n}}]  \) con \( n\in{\mathbb{N}} \)
demuestre que \( D=\cup _{n\in N}\left(D_n\right) \) es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad  de \( f \).

De antemano, muchas gracias. En el transcurso iré elaborando algún tipo de prueba sin embargo requiero su ayuda.

saludos


15 Julio, 2021, 10:17 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Tengo el siguiente problema :

Muestre que \( w_f\left(x\right)=0 \) \( \Leftrightarrow{f} \) es continua en \( x \).
Ademas, si \( D_{n}=]x\in{X}: w_f\left(x\right)\geq{\displaystyle\frac{1}{n}}]  \) con \( n\in{\mathbb{N}} \)
demuestre que \( D=\cup _{n\in N}\left(D_n\right) \) es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad  de \( f \).

 ¿Qué estás denotando por \( w_f(x) \)?.

Saludos.

15 Julio, 2021, 10:55 pm
Respuesta #2

zapayan

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Hola

Tengo el siguiente problema :

Muestre que \( w_f\left(x\right)=0 \) \( \Leftrightarrow{f} \) es continua en \( x \).
Ademas, si \( D_{n}=]x\in{X}: w_f\left(x\right)\geq{\displaystyle\frac{1}{n}}]  \) con \( n\in{\mathbb{N}} \)
demuestre que \( D=\cup _{n\in N}\left(D_n\right) \) es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad  de \( f \).


 ¿Qué estás denotando por \( w_f(x) \)?.

Saludos.
Hola luis, sobre lo que me escribes pude encontrar esto:

\( w_f\left(a\right)=Inf_{a\in I}\:w\left(f:I\right)=\lim _{h\to 0^+}\left(w\left(f;\left(a-h,a+h\right)\right)\right)=\lim \:_{h\to \:0^+}\:diamf\left(B_h\left(a\right)\right) \)
No se si lo anterior deba servir. Saludos

16 Julio, 2021, 01:24 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Si \( f \) es continua en \( x \) entonces dado \( \dfrac{\epsilon}{2}>0 \) existe \( \delta > 0 \) tal que si \( y \in ]x-\delta,x+\delta[ \) entonces \( |f(y)-f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2}  \).
Sean \( z,y \in ]x-\delta,x+\delta[  \) entonces:
\( |f(z)-f(y)| = |f(z) - f(x) + f(x) - f(y)| \leq \cdots  \) tendras que la oscilación es menor que \( \epsilon \) y como el \( \epsilon \) es arbitrario, lo tenemos.

Si la oscilación en \( x \) es cero....

Para lo otro. sea \( y \) un punto de discontinuidad.
Exista un \( \epsilon > 0 \) tal que para todo \( \delta > 0 \) existe \( z \in ]y-\delta,y+\delta \) con \( |f(z)-f(y)| \geq \epsilon  \).
Sea \( N_{\epsilon} \in \mathbb{N}  \) con \(  \dfrac{1}{N_{\epsilon}} < \epsilon  \) y proseguir.

20 Julio, 2021, 09:33 pm
Respuesta #4

zapayan

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Si \( f \) es continua en \( x \) entonces dado \( \dfrac{\epsilon}{2}>0 \) existe \( \delta > 0 \) tal que si \( y \in ]x-\delta,x+\delta[ \) entonces \( |f(y)-f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2}  \).
Sean \( z,y \in ]x-\delta,x+\delta[  \) entonces:
\( |f(z)-f(y)| = |f(z) - f(x) + f(x) - f(y)| \leq \cdots  \) tendras que la oscilación es menor que \( \epsilon \) y como el \( \epsilon \) es arbitrario, lo tenemos.

Si la oscilación en \( x \) es cero....

Para lo otro. sea \( y \) un punto de discontinuidad.
Exista un \( \epsilon > 0 \) tal que para todo \( \delta > 0 \) existe \( z \in ]y-\delta,y+\delta \) con \( |f(z)-f(y)| \geq \epsilon  \).
Sea \( N_{\epsilon} \in \mathbb{N}  \) con \(  \dfrac{1}{N_{\epsilon}} < \epsilon  \) y proseguir.

Correcto, ya entendí como es la cosa, muchas gracias.