Autor Tema: Un conjunto por caminos de \[\Bbb R^n\] es conexo

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01 Julio, 2021, 09:55 pm
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zapayan

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Muy buenas amigos del foro,

Tengo el siguiente problema

Todo conjunto conexo por caminos de \( \mathbb{R^n} \) es un conjunto conexo. De aquí me piden demostrar
si el reciproco es cierto, es decir, si \( A \) es un conexo entonces un conjunto por caminos de \( \mathbb{R^n} \)
es conexo. (¿esto es cierto?).

Ahora me imagino que existe algun contraejemplo (en caso de que sea falso) para probar
que NO siempre es conexo.

Saludos


01 Julio, 2021, 09:59 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Muy buenas amigos del foro,

Tengo el siguiente problema

Todo conjunto conexo por caminos de \( \mathbb{R^n} \) es un conjunto conexo. De aquí me piden demostrar
si el reciproco es cierto, es decir, si \( A \) es un conexo entonces un conjunto por caminos de \( \mathbb{R^n} \)
es conexo. (¿esto es cierto?).

Ahora me imagino que existe algun contraejemplo (en caso de que sea falso) para probar
que NO siempre es conexo.

Saludos



Si no recuerdo mal, en un espacio métrico ambos conceptos son equivalentes (ser conexo y ser conexo por caminos). ¿Has intentado algo?

Añadido: no era tal y como creía, la situación es más compleja. Se puede demostrar que en un espacio normado las dos nociones son equivalentes para subconjuntos abiertos (es decir, que un subconjunto abierto en un espacio normado es conexo si y solo si es conexo por caminos). Pero para espacios métricos y subconjuntos arbitrarios no es cierta esta equivalencia, un ejemplo es la llamada "curva del seno del topólogo", que es el conjunto de puntos en \( \mathbb{R}^2 \) definido por

\( \displaystyle{
S:=\{(x,\sin(1/x)): x\in(0,1]\}\cup \{(0,0)\}
} \)

Se puede demostrar que \( S \) es conexo pero no es conexo por caminos (en \( S \) se asume la topología estándar).

02 Julio, 2021, 09:08 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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02 Julio, 2021, 09:29 am
Respuesta #3

geómetracat

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Añadido: no era tal y como creía, la situación es más compleja. Se puede demostrar que en un espacio normado las dos nociones son equivalentes para subconjuntos abiertos (es decir, que un subconjunto abierto en un espacio normado es conexo si y solo si es conexo por caminos).

Por complementar un poco las respuestas que ya habéis dado, en el otro sentido una condición suficiente (pero no necesaria) muy útil para que un espacio topológico conexo sea conexo por caminos es que sea localmente conexo por caminos (es decir, que cada punto tenga un entorno abierto conexo por caminos).  Este es el motivo por el que cualquier abierto de un espacio normado conexo es conexo por caminos (porque en cada punto tiene como entorno una bola abierta, que es conexa por caminos).

También implica que en todos los espacios topológicos que tengan un modelo local conexo por caminos (es decir, que cada punto tenga un entorno homeomorfo a un mismo espacio conexo por caminos \[ E \]) son conexos si y solo si son conexos por caminos. Por ejemplo, las variedades, en las que cada punto tiene un entorno homeomorfo a \[ \Bbb R^n \] o el mismo caso de los abiertos de espacios normados, teniendo en cuenta que cada bola abierta es homeomorfa al espacio total.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Julio, 2021, 09:36 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Por complementar un poco las respuestas que ya habéis dado, en el otro sentido una condición suficiente (pero no necesaria) muy útil para que un espacio topológico conexo sea conexo por caminos es que sea localmente conexo por caminos (es decir, que cada punto tenga un entorno abierto conexo por caminos).

Esto puedes verlo aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=92046.msg372836#msg372836

Saludos.