[zapayan]

Muy buenas amigos

les llego acá con otro problema y es el siguiente:

Si  \( X\subseteq{\mathbb{R^n}} \) y \( x\in{X} \), demuestre que existe el conexo mas grande (con respecto a
la inclusion de conjuntos) \( C_{x}\subseteq{X} \) que contiene a \( x \). El conjunto conexo \( C_x \) es llamado
la componente conexa de \( x \)  con respecto a \( X \). Muestre ademas que si \( x,y\in{X} \) y \( C_x \) y
\( C_y \) son las componentes conexas de \( x \) y \( y \) respectivamente, entonces o bien \( C_x \)=\( C_y \)
o \( C_{x}\cap{C_y} \)=\( \emptyset \)

Aqui de verdad, ni idea que hacer. Saludos

[geómetracat]

Prueba primero el siguiente lema: una unión arbitraria de conjuntos conexos que contienen a un mismo punto \[ x \] es conexa.

Entonces, puedes definir la componente conexa \[ C_x \] como la unión de todos los conjuntos conexos que contienen a \[ x \]. Por el lema anterior es conexa, y es el mayor conjunto conexo que contiene a \[ x \] por definición.

Para la segunda parte, prueba que si \[ z \in C_x \] entonces \[ C_x=C_z \] (esto sale básicamente de la definición de componente conexa). Luego si \[ C_x \cap C_y \neq \emptyset \], toma \[ z \in C_x \cap C_y \] y tienes por la observación anterior que \[ C_x=C_z=C_y \].

[zapayan]

Prueba primero el siguiente lema: una unión arbitraria de conjuntos conexos que contienen a un mismo punto \[ x \] es conexa.

Entonces, puedes definir la componente conexa \[ C_x \] como la unión de todos los conjuntos conexos que contienen a \[ x \]. Por el lema anterior es conexa, y es el mayor conjunto conexo que contiene a \[ x \] por definición.

Para la segunda parte, prueba que si \[ z \in C_x \] entonces \[ C_x=C_z \] (esto sale básicamente de la definición de componente conexa). Luego si \[ C_x \cap C_y \neq \emptyset \], toma \[ z \in C_x \cap C_y \] y tienes por la observación anterior que \[ C_x=C_z=C_y \].

Muchas gracias, comprendí correctamente, si alguna cosa, yo lo estaré comentando por acá. Saludos