Autor Tema: Problema de conexidad : Mostrar que un punto esta en la frontera

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30 Junio, 2021, 08:31 pm
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zapayan

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Muy buenas, tengo el siguiente problema

Sea \( X\subseteq{\mathbb{R^n}} \), si un conexo \( C\subseteq{\mathbb{R^n}} \) contiene un punto
\( a \) que está en \( X \) y un punto \( b \) que no esta en \( X \), demuestre que \( C \) contiene
un punto \( c \) que está en la frontera de \( X \).

Duda: ¿Debo probar que ese punto \( c \) es un punto frontera de \( C \) debido a que
este ultimo esta contenido en \( X \)?

¿Como sirve usar hipótesis de conexidad, si en mi caso particular es menos difícil estudiar la disconexidad?

gracias

30 Junio, 2021, 09:37 pm
Respuesta #1

geómetracat

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¿Debo probar que ese punto \( c \) es un punto frontera de \( C \) debido a que
este ultimo esta contenido en \( X \)?
No sé si acabo de entender la pregunta. Pero un punto frontera de \[ X \] que esté en \[ C \] no tiene por qué ser un punto frontera de \[ {\color{red} C} \]. Por ejemplo, considera \[ C=(-1,1) \] y \[ X=(0,2) \] en \[ \Bbb R \]. \[ 0 \] es un punto frontera de \[ X \] que está en \[ C \], pero no es un punto frontera de \[ C \].

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¿Como sirve usar hipótesis de conexidad, si en mi caso particular es menos difícil estudiar la disconexidad?
Muchas veces en demostraciones que involucran conexidad es más fácil usar reducción al absurdo, o probar el contrarrecíproco. En este caso, lo que haría yo es demostrar que si ningún punto de \[ C \] es frontera de \[ X \], entonces \[ C \] no es conexo. En efecto, considera \[ C\cap X \] y \[ C \cap (\Bbb R^n \setminus X) \]. Estos dos conjuntos son no vacíos (por hipótesis), tienen intersección vacía y su unión es \[ C \]. Prueba ahora que si \[ C \] no contiene puntos frontera de \[ X \] ambos conjuntos son abiertos en \[ C \], y por tanto forman una separación de \[ C \], luego \[ C \] no es conexo.

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Julio, 2021, 05:38 pm
Respuesta #2

zapayan

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¿Debo probar que ese punto \( c \) es un punto frontera de \( C \) debido a que
este ultimo esta contenido en \( X \)?
No sé si acabo de entender la pregunta. Pero un punto frontera de \[ X \] que esté en \[ C \] no tiene por qué ser un punto frontera de \[ {\color{red} C} \]. Por ejemplo, considera \[ C=(-1,1) \] y \[ X=(0,2) \] en \[ \Bbb R \]. \[ 0 \] es un punto frontera de \[ X \] que está en \[ C \], pero no es un punto frontera de \[ C \].

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¿Como sirve usar hipótesis de conexidad, si en mi caso particular es menos difícil estudiar la disconexidad?
Muchas veces en demostraciones que involucran conexidad es más fácil usar reducción al absurdo, o probar el contrarrecíproco. En este caso, lo que haría yo es demostrar que si ningún punto de \[ C \] es frontera de \[ X \], entonces \[ C \] no es conexo. En efecto, considera \[ C\cap X \] y \[ C \cap (\Bbb R^n \setminus X) \]. Estos dos conjuntos son no vacíos (por hipótesis), tienen intersección vacía y su unión es \[ C \]. Prueba ahora que si \[ C \] no contiene puntos frontera de \[ X \] ambos conjuntos son abiertos en \[ C \], y por tanto forman una separación de \[ C \], luego \[ C \] no es conexo.

Corregido.

Hola,gracias por tu respuesta, vamos a ver si entendí lo que me referiste.

Creo que lo que propones es demostrar el contrarecíproco, o sea que  lo que tengo que probar en si es:
\( C \) no tiene un punto \( c \) que esta en la frontera de \( X \) entonces \( C \) es
no conexo. ¿Correcto?


01 Julio, 2021, 05:45 pm
Respuesta #3

geómetracat

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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)