Autor Tema: Conjuntos magros

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29 Junio, 2021, 07:07 am
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Dark

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Para cualquier sucesión $$(E_k)_{k\in \mathbb N}$$ de conjuntos densos en ninguna parte, el interior de su unión $$\bigcup_{k\in \mathbb N} E_k$$ es vacía.

Si negamos que $$\bigcup_{k\in \mathbb N} E_k=\emptyset$$, entonces dado $$x\in \bigcup_{k\in \mathbb N} E_k$$, existe un $$r>0$$ tal que

$$B_r(x)\subset{}\bigcup_{k\in \mathbb N} E_k$$.

Por otro lado tengo que para cada $$k\in \mathbb N$$, $$int(A_k)=\emptyset$$ pero no logro llegar a una contradicción, ya que es claro que $$B_r(x)\not\subset E_k$$. para cada $$k$$ pero creo que es posible que si se cumpla $$B_r(x)\subset{}\bigcup_{k\in \mathbb N} E_k$$.

29 Junio, 2021, 09:29 am
Respuesta #1

geómetracat

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Esto es esencialmente equivalente al teorema de la categoría de Baire (con lo cual necesitas condiciones para tu espacio, no es cierto para cualquier espacio topológico).

En efecto, dada una sucesión \[ (E_n) \] de conjuntos densos en ninguna parte en un espacio de Baire \[ X \], si definimos \[ A_n := X \setminus \bar{E}_n \], tenemos que \[ (A_n) \] es una sucesión de abiertos densos. Luego por el teorema de Baire, \[ \bigcap_n A_n \] es denso. Pero \[ \bigcap_n A_n = \bigcap_n (X \setminus \bar{E}_n) = X \setminus \bigcup_n \bar{E}_n \]. Luego \[ \bigcup_n \bar{E_n} \] tiene interior vacío. Y en particular, \[ \bigcup_n E_n \subseteq \bigcup_n \bar{E}_n \] también tiene interior vacío.

De manera parecida, puedes demostrar el teorema de Baire partiendo de tu enunciado.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)