Autor Tema: Frontera=intersección de clausura del conjunto y la de su complementario

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29 Junio, 2021, 12:19 am
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zapayan

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Buenas amigos.

Tengo este pequeño problema:

Pruebe que : \( \partial \left(A\right)=\partial \:\left(A\right)^c=\overline{A}\cap \overline{A}^c \)

gracias por sus aportes.

29 Junio, 2021, 12:25 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 1) ¿Qué tiene que ver el título con lo que preguntas? Corrígelo.

 2) La propiedad sería:

\(  \delta(A)=\delta(A^c)=\bar A\cap \overline{A^c} \)
 
 (fíjate en los matices de esa escritura frente a lo que tu pusiste)

 3) Entonces basta que pruebes que: \(  \delta(A)=\bar A\cap \overline{A^c} \) ya que en ese caso tendríamos que

\(  \delta(A^c)=\overline{A^c}\cap \overline{(A^c)^c}=\overline{A^c}\cap \overline{A}=\delta(A) \)

 4) Usa la definición de las cosas:

\( x\in \delta A \) si y sólo si para toda bola \( B(x,r) \) se cumple \( B(x,r)\cap A\neq \emptyset \) y \( B(x,r)\cap A^c\neq \emptyset \)

\( x\in \bar A \) si y sólo si para toda bola \( B(x,r) \) se cumple \( B(x,r)\cap A\neq \emptyset \)
\( x\in \overline{A^c} \) si y sólo si para toda bola \( B(x,r) \) se cumple \( B(x,r)\cap A^c\neq \emptyset \)

 Con esto es casi inmediato.

Saludos.

29 Junio, 2021, 12:31 am
Respuesta #2

zapayan

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Hola

 1) ¿Qué tiene que ver el título con lo que preguntas? Corrígelo.

 2) La propiedad sería:

\(  \delta(A)=\delta(A^c)=\bar A\cap \overline{A^c} \)
 
 (fíjate en los matices de esa escritura frente a lo que tu pusiste)

 3) Entonces basta que pruebes que: \(  \delta(A)=\bar A\cap \overline{A^c} \) ya que en ese caso tendríamos que

\(  \delta(A^c)=\overline{A^c}\cap \overline{(A^c)^c}=\overline{A^c}\cap \overline{A}=\delta(A) \)

 4) Usa la definición de las cosas:

\( x\in \delta A \) si y sólo si para toda bola \( B(x,r) \) se cumple \( B(x,r)\cap A\neq \emptyset \) y \( B(x,r)\cap A^c\neq \emptyset \)

\( x\in \bar A \) si y sólo si para toda bola \( B(x,r) \) se cumple \( B(x,r)\cap A\neq \emptyset \)
\( x\in \overline{A^c} \) si y sólo si para toda bola \( B(x,r) \) se cumple \( B(x,r)\cap A^c\neq \emptyset \)

 Con esto es casi inmediato.

Saludos.

Amigo luis, el asunto con el titulo es que antes (no se porque) lo que escribía en latex me aparecía sin problema,
ahora ya no por mas que lo intente, ahora si estoy haciendo algo mal, no lo he descubierto. Acá en Colombia muchos
docentes usan el \( d(A) \) para referirse al derivado y \( C(A) \) para referirse al complemento, por esa razón
lo escribi de esa manera. Ahora si me indicas como arreglarlo, con gusto lo hago.

gracias parcero.

29 Junio, 2021, 10:11 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Acá en Colombia muchos
docentes usan el \( d(A) \) para referirse al derivado y \( C(A) \) para referirse al complemento, por esa razón
lo escribi de esa manera. Ahora si me indicas como arreglarlo, con gusto lo hago.

Pero es que entonces lo que se has escrito se leería: "el derivado de un conjunto es el complementario de su derivado". Y lo que te piden probar NO es eso. Te piden probar que la frontera de un conjunto es la intersección de su clausura y la de su complementario.

Por otra parte no hace falta usar LaTeX para hacer un título descriptivo del ejercicio. Lo he cambiado. ¿Te parece muy raro lo qué he escrito?.

Saludos.