Autor Tema: Mostrar que la intersección de de sucesiones es un conjunto unitario

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28 Junio, 2021, 10:04 pm
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zapayan

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Muy buenas,

Tengo el siguiente problema:

Sea \( (X,d) \) un espacio metrico completo y \( A_n \) una sucesion de subconjuntos cerrados
no vacios  de \( X \) tales que  \( A_{n+1}\subseteq{A_n} \), para todo \( n\in{\mathbb{N}} \) y
\( Lim \) \( diam(A_n)=0 \). Demuestre que \( \cap{A_n} \) con \( n\in{\mathbb{N}} \) es un
conjunto unitario.

Gracias, espero sus aportes, ni idea de como usar el hecho de que es completo.

28 Junio, 2021, 10:30 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Idea: toma \[ x_n \in A_n \]. La condición sobre los diámetros implica que la sucesión \[ (x_n) \] es de Cauchy, luego converge a un punto \[ x \] (aquí se usa la completitud). Ahora demuestra que \[ \bigcap_n A_n =\{x\} \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Junio, 2021, 11:46 pm
Respuesta #2

zapayan

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Idea: toma \[ x_n \in A_n \]. La condición sobre los diámetros implica que la sucesión \[ (x_n) \] es de Cauchy, luego converge a un punto \[ x \] (aquí se usa la completitud). Ahora demuestra que \[ \bigcap_n A_n =\{x\} \].

Preguntas:
¿Me puedo guiar de la demostración de la sucesion de cauchy, es decir usando el \( \epsilon>0 \)?
¿Como usar \( A_{n+1} \) enn la prueba?

saludos



29 Junio, 2021, 12:03 am
Respuesta #3

geómetracat

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No entiendo muy bien tua preguntas. Te pongo el argumento para ver que es sucesión de Cauchy.

Para ver que \[ (x_n) \] es una sucesión de Cauchy debes probar que dado \[ \epsilon>0 \], existe \[ N \] tal que para todo \[ m,n \geq N \], se tiene que \[ d(x_n,x_m)<\epsilon \].

Ahora bien, como \[ \lim_n \operatorname{diam}(A_n)=0 \], existe un \[ N \] tal que \[ \operatorname{diam}(A_N)<\epsilon \]. Si \[ n,m\geq N \] tienes que \[ x_n \in A_n \subseteq A_N \] y similarmente \[ x_m \in A_N \]. Por la condición sobre el diámetro, \[ d(x_n,x_m)<\epsilon \]. Por tanto, la sucesión es de Cauchy.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Junio, 2021, 12:08 am
Respuesta #4

zapayan

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No entiendo muy bien tua preguntas. Te pongo el argumento para ver que es sucesión de Cauchy.

Para ver que \[ (x_n) \] es una sucesión de Cauchy debes probar que dado \[ \epsilon>0 \], existe \[ N \] tal que para todo \[ m,n \geq N \], se tiene que \[ d(x_n,x_m)<\epsilon \].

Ahora bien, como \[ \lim_n \operatorname{diam}(A_n)=0 \], existe un \[ N \] tal que \[ \operatorname{diam}(A_N)<\epsilon \]. Si \[ n,m\geq N \] tienes que \[ x_n \in A_n \subseteq A_N \] y similarmente \[ x_m \in A_N \]. Por la condición sobre el diámetro, \[ d(x_n,x_m)<\epsilon \]. Por tanto, la sucesión es de Cauchy.

Aunque no hayas entendido mi pregunta, fuiste puntual respondiendolas. En efecto
eso era lo que te estaba preguntando pero, ¿lo que me explicaste ahora no funge como hipótesis del problema?
o sea ¿esta de mi parte si la redacto o no?

Gracias

29 Junio, 2021, 08:14 am
Respuesta #5

geómetracat

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Lo que te puse antes es la demostración de que la sucesión \[ (x_n) \] definida en mi primer mensaje es de Cauchy. Ese es el primer paso para resolver tu problema.

Ahora que sabemos que es de Cauchy, por completitud converge a un punto \[ x \in X \]. Lo que te falta por probar es que \[ \bigcap_n A_n = \{x\} \]. Esto lo puedes probar en dos pasos. Primero prueba que \[ x \in \bigcap_n A_n \] (para esto, usa cómo se ha definido la sucesión, que los \[ A_n \] son cerrados y que \[ A_{n+1} \subseteq A_n \]). Y segundo, prueba que solamente hay un elemento en \[ \bigcap_n A_n \] (para esto debes usar la condición sobre los diámetros).

Intenta acabar el problema con estas indicaciones.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)