[zapayan]

Muy buenas tengo el siguiente problema

Muestre que \( \overline{A}=A\cup{A}^{\prime} \) donde \( A^{\prime} \) es un punto de  acumulación
de A.

Intento de prueba: Se intenta probrar la contenencia  \( \overline{A}\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \), luego, sea
\( x\in{\overline{A}} \) tal que \( x\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \), entonces, dado \( r>0 \) existe
\( B(x,r)\cap{A}\neq\emptyset \) siendo esto ultimo un entorno que contiene todos los puntos adherenes de \( A \)
de manera que \( \overline{x}\subseteq{A} \) ... Hasta ahi llego, ni si quiera termino de probar esa continencia para luego
pasar el reciproco.

gracias, espero sus aportes.

[Fernando Revilla]

    Si \( x\in \overline {A} \) entonces, para todo \( r > 0 \) existe \( B(x,r) \) tal que \( B(x,r)\cap A\ne \emptyset \). Ahora distingue los casos \( x\in A \) y \( x\notin A \).

[Luis Fuentes]

Hola

Intento de prueba: Se intenta probrar la contenencia  \( \overline{A}\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \), luego, sea
\( x\in{\overline{A}} \) tal que \( x\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \),

Más allá de lo que te apunta Fernando, la redacción que hacías no tiene sentido.

Sería: sea  \( x\in{\overline{A}} \). Queremos demostrar que \( x\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \)...

O algo así. Pero ese "tal que" no viene a cuento.

Saludos.

[zapayan]

    Si \( x\in \overline {A} \) entonces, para todo \( r > 0 \) existe \( B(x,r) \) tal que \( B(x,r)\cap A\ne \emptyset \). Ahora distingue los casos \( x\in A \) y \( x\notin A \).

Hola, muchas gracias, vamos a ver si entendi. Al parecer voy bien, entonces:
Como existen puntos adherentes en \( A \) que están en \( A \), ya creo que aquí
se entiende que \( x\in{A} \) ahora para el caso de \( x\notin A \) , la cual es una bola
excluyendo su centro, es decir,  dado \( r>0 \) existe \( B(x,r)-(x)\cap{A}\neq \)\( \emptyset \)
están contenidas en \( A \), es decir, su entorno \( (x-r,x+r)\in{A^{\prime}} \).
luego \( \overline{A}\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \)

El reciproco: \( A\cup{A^{\prime}}\subseteq{\overline{A}} \)
sea  \( x\in{A\cup{A^{\prime}}} \) entonces se vera si \( x\in{\overline{A}} \)
hasta ahí llego.
saludos

[zapayan]

Hola

Intento de prueba: Se intenta probrar la contenencia  \( \overline{A}\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \), luego, sea
\( x\in{\overline{A}} \) tal que \( x\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \),

Más allá de lo que te apunta Fernando, la redacción que hacías no tiene sentido.

Sería: sea  \( x\in{\overline{A}} \). Queremos demostrar que \( x\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \)...

O algo así. Pero ese "tal que" no viene a cuento.

Saludos.

Hola, muy buenas luis. En ese caso, usted es el maestro, adelante por favor, en realidad se
chocan en mi cabeza las definiciones, saberlas no es todo, hay que saber redactar y que esta
tenga sentido, puedes continuar. Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

    Si \( x\in \overline {A} \) entonces, para todo \( r > 0 \) existe \( B(x,r) \) tal que \( B(x,r)\cap A\ne \emptyset \). Ahora distingue los casos \( x\in A \) y \( x\notin A \).

Hola, muchas gracias, vamos a ver si entendi. Al parecer voy bien, entonces:
Como existen puntos adherentes en \( A \) que están en \( A \), ya creo que aquí
se entiende que \( x\in{A} \) ahora para el caso de \( x\notin A \) , la cual es una bola
excluyendo su centro, es decir,  dado \( r>0 \) existe \( B(x,r)-(x)\cap{A}\neq \)\( \emptyset \)
están contenidas en \( A \), es decir, su entorno \( (x-r,x+r)\in{A^{\prime}} \).
luego \( \overline{A}\subseteq{A\cup{A}^{\prime}} \)

Me sigue resultando raro como redactas. Esa frase que he marcado en rojo ahí metida es rara.

Sea \( x\in \bar A \).

- Si \( x\in A \), ya hemos terminado porque tenemos que \( x\in A\subset A\cup A' \).

- Si \( x\not\in A \) veamos que \( x\in A'. \) Para cualquier \( r>0 \) tenemos que probar que \( B(x,r)\cap A-\{x\}\neq \emptyset \).
 Pero como \( x\in \bar A \), sabemos que \( B(x,r)\cap A\neq \emptyset \) y como \( x\not\in A \), \( B(x,r)\cap A=B(x,r)\cap A-\{x\} \). De ambas cosas \( B(x,r)\cap A-\{x\}\neq \emptyset \).

El reciproco: \( A\cup{A^{\prime}}\subseteq{\overline{A}} \)
sea  \( x\in{A\cup{A^{\prime}}} \) entonces se vera si \( x\in{\overline{A}} \)

Tienes que escribir que significa cada cosa:

- Que \( x\in A\cup{A^{\prime}} \), significa que \( x\in A \) ó \( x\in A' \). Estudia cada caso.

 - Si \( x\in A \) entonces tienes que demostrar que \( x\in \bar A \). Para ello escribe la definición de estar en \( \bar A \) y comprueba que si \( x\in A \) se cumple.

 - Si \( x\in A' \), continúa...

Hola, muy buenas luis. En ese caso, usted es el maestro, adelante por favor, en realidad se
chocan en mi cabeza las definiciones, saberlas no es todo, hay que saber redactar y que esta
tenga sentido, puedes continuar. Muchas gracias.

 El "puedes continuar" no sé que significa ahí tampoco. 

 Fíjate que hay mil formas correctas de redactar estas cosas; hay gente que le gusta escribir más otros menos. Pero tienen que tener coherencia.

Saludos.