Autor Tema: Pruebe que x sea un punto de acumulacion de A

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

27 Junio, 2021, 08:22 pm
Leído 289 veces

zapayan

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 222
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

Muy buenas

Tengo el siguiente problema:

Teorema: Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, y \( A\subseteq{X} \). Entonces
un punto \( x\in{X} \) es e calusura de \( A \) si y solo si existe \( {X_n}\subseteq{A} \) tal que
\( lim\:x_n=x \), si \( x \)  es un punto de acumulación de \( A \), existe \( {X_n}\subseteq{A} \)
con todos los terminos distintos entre si tal que \( lim\:x_n=x \).

Ya este teorema esta demostrado, sin embargo tiene un apartado en donde pide demostrar lo siguiente y es lo que no entiendo:

Demuestre la afirmación que corresponde a \( x \) ser un punto de acumulación de \( A \).

Ahora, esto que piden, ¿no lo puedo sustraer de la demostración del teorema antes descrito? la verdad no se como abordar esto.

saludos.

27 Junio, 2021, 09:43 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,499
  • País: es
  • Karma: +0/-0

Muy buenas

Tengo el siguiente problema:

Teorema: Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, y \( A\subseteq{X} \). Entonces
un punto \( x\in{X} \) es e calusura de \( A \) si y solo si existe \( {X_n}\subseteq{A} \) tal que
\( lim\:x_n=x \), si \( x \)  es un punto de acumulación de \( A \), existe \( {X_n}\subseteq{A} \)
con todos los terminos distintos entre si tal que \( lim\:x_n=x \).

Ya este teorema esta demostrado, sin embargo tiene un apartado en donde pide demostrar lo siguiente y es lo que no entiendo:

Demuestre la afirmación que corresponde a \( x \) ser un punto de acumulación de \( A \).

Ahora, esto que piden, ¿no lo puedo sustraer de la demostración del teorema antes descrito? la verdad no se como abordar esto.

saludos.

Tienes que demostrar que \( x \) es un punto de acumulación de \( A \) si y solo si existe una sucesión \( \{x_n: n\in \mathbb{N}\}\subset A \) tal que \( \lim_{n\to\infty}x_n=x \) y \( x_n\neq x_m \) siempre que \( n\neq m \) (para todo \( n,m\in \mathbb{N} \)). Si esto ya ha sido demostrado y conoces la demostración simplemente tendrías que copiarla o intentar demostrarlo por ti mismo sin recurrir a la demostración conocida. Para esto sólo necesitas la definición de ser punto de acumulación de un conjunto.

28 Junio, 2021, 03:52 pm
Respuesta #2

zapayan

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 222
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

Muy buenas

Tengo el siguiente problema:

Teorema: Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, y \( A\subseteq{X} \). Entonces
un punto \( x\in{X} \) es e calusura de \( A \) si y solo si existe \( {X_n}\subseteq{A} \) tal que
\( lim\:x_n=x \), si \( x \)  es un punto de acumulación de \( A \), existe \( {X_n}\subseteq{A} \)
con todos los terminos distintos entre si tal que \( lim\:x_n=x \).

Ya este teorema esta demostrado, sin embargo tiene un apartado en donde pide demostrar lo siguiente y es lo que no entiendo:

Demuestre la afirmación que corresponde a \( x \) ser un punto de acumulación de \( A \).

Ahora, esto que piden, ¿no lo puedo sustraer de la demostración del teorema antes descrito? la verdad no se como abordar esto.

saludos.

Tienes que demostrar que \( x \) es un punto de acumulación de \( A \) si y solo si existe una sucesión \( \{x_n: n\in \mathbb{N}\}\subset A \) tal que \( \lim_{n\to\infty}x_n=x \) y \( x_n\neq x_m \) siempre que \( n\neq m \) (para todo \( n,m\in \mathbb{N} \)). Si esto ya ha sido demostrado y conoces la demostración simplemente tendrías que copiarla o intentar demostrarlo por ti mismo sin recurrir a la demostración conocida. Para esto sólo necesitas la definición de ser punto de acumulación de un conjunto.

Muchas gracias, aplique lo que me indicaste, y creo que pudo salir.

saludos