Autor Tema: Probar que es espacio métrico completo

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27 Junio, 2021, 05:31 am
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zapayan

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Hola, muy buenas

Tengo el siguiente problema:

Probar que \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) es un espacio metrico completo.

Ahora segun lo que tengo entendido que para que sea un espacio completo si toda sucesion de cauchy contenida
en \( X \) converge a un elemento de \( X \), esto implica un limite de sucesion. Ahora, ¿como lo construyo?

Gracias.

27 Junio, 2021, 09:20 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Probar que \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) es un espacio metrico completo.

Hay varias formas de demostrarlo. Por ejemplo, si habéis dado espacios normados: https://fernandorevilla.es/2021/06/14/todo-espacio-normado-de-dimension-finita-es-de-banach/

27 Junio, 2021, 09:23 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Tengo el siguiente problema:

Probar que \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) es un espacio metrico completo.

Ahora segun lo que tengo entendido que para que sea un espacio completo si toda sucesion de cauchy contenida
en \( X \) converge a un elemento de \( X \), esto implica un limite de sucesion. Ahora, ¿como lo construyo?

Esto es un resultado muy standard. A la hora de escribir una demostración depende un poco de los resultados previos en que te apoyes:

1) Podrías usar que en \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) es de Cauchy (es convergente) si todas sus componentes son de Cauchy (son convergente).

2) Entonces una sucesión de Cauchy en \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) tiene todas sus componentes de Cauchy.

3) En \( \Bbb R \) (con la métrica usual) toda sucesión de Cauchy es convergente:

3.1) Por ser de Cauchy es acotada.
3.2) Por ser acotada tiene una subsucesión convergente.
3.3) Por ser de Cauchy y tener una subsucesión convergente es convergente.

4) Como cada componente es convergente la sucesión original lo es.

Saludos.

P.D Se adelantó Fernando mientras escribía esto.

27 Junio, 2021, 05:00 pm
Respuesta #3

zapayan

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Probar que \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) es un espacio metrico completo.

Hay varias formas de demostrarlo. Por ejemplo, si habéis dado espacios normados: https://fernandorevilla.es/2021/06/14/todo-espacio-normado-de-dimension-finita-es-de-banach/

Muchas gracias profesor Revilla. 

27 Junio, 2021, 05:02 pm
Respuesta #4

zapayan

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Hola

Tengo el siguiente problema:

Probar que \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) es un espacio metrico completo.

Ahora segun lo que tengo entendido que para que sea un espacio completo si toda sucesion de cauchy contenida
en \( X \) converge a un elemento de \( X \), esto implica un limite de sucesion. Ahora, ¿como lo construyo?

Esto es un resultado muy standard. A la hora de escribir una demostración depende un poco de los resultados previos en que te apoyes:

1) Podrías usar que en \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) es de Cauchy (es convergente) si todas sus componentes son de Cauchy (son convergente).

2) Entonces una sucesión de Cauchy en \( (\mathbb{R^n}, \left\|{\cdot{}}\right\|) \) tiene todas sus componentes de Cauchy.

3) En \( \Bbb R \) (con la métrica usual) toda sucesión de Cauchy es convergente:

3.1) Por ser de Cauchy es acotada.
3.2) Por ser acotada tiene una subsucesión convergente.
3.3) Por ser de Cauchy y tener una subsucesión convergente es convergente.

4) Como cada componente es convergente la sucesión original lo es.

Saludos.

P.D Se adelantó Fernando mientras escribía esto.

jajaja casi que simultaneo los mensajes.

Bueno, segun lo que dices, es casi que guiarme de la forma en como se demuestra el teorema de la sucesion
cauchy, ¿estoy equivocado?

28 Junio, 2021, 07:31 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Bueno, segun lo que dices, es casi que guiarme de la forma en como se demuestra el teorema de la sucesion
cauchy, ¿estoy equivocado?

No estoy seguro de a que Teorema te refieres.  :P

Saludos.