Autor Tema: Mostrar igualdad y continencia de conjuntos

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18 Junio, 2021, 04:27 pm
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zapayan

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Hola, muy buenas tengo el siguiente problema

Si \( X \) e \( Y \) son conjuntos, entonces pruebe que \( P(X)\cap{P(Y)}=P(X\cap{Y}) \) y
\( P(X)\cap{P(Y)} \) \( \subseteq{P(X\cap{Y}}) \)

Lo que se me viene a la mente es que debo encontrar un elemento en comun entre los dos conjuntos para
probar la igualdad, es decir que existe un elemento \( x\in{P(X)\cap{P(Y)}} \) y que ese mismo elemento
este en \( P(X\cap{Y}) \)
 
De ahí en adelante, no me da que hacer. Agradezco sus aportes.

18 Junio, 2021, 05:03 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Si \( X \) e \( Y \) son conjuntos, entonces pruebe que \( P(X)\cap{P(Y)}=P(X\cap{Y}) \) y
\( P(X)\cap{P(Y)} \) \( \subseteq{P(X\cap{Y}}) \)

Te puede ser útil el apartado 1 de https://fernandorevilla.es/2015/04/18/partes-de-uniones-e-intersecciones/, donde se da una versión general.

18 Junio, 2021, 08:00 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Lo que se me viene a la mente es que debo encontrar un elemento en comun entre los dos conjuntos para
probar la igualdad, es decir que existe un elemento \( x\in{P(X)\cap{P(Y)}} \) y que ese mismo elemento
este en \( P(X\cap{Y}) \)

No. Lo que debes es de demostrar que para cualquier  "elemento" (distinto de decir que existe un elemento) \( x\in{P(X)\cap{P(Y)}} \) también está en \( P(X\cap{Y}) \). Y luego el recíproco.

Entrecomillo elemento porque recuerda que los elementos de \( P(X),P(Y) \) son subconjuntos de \( X,Y \) respectivamente. Es perfectamente correcto llamarles elementos, pero simplemente te recuerdo el contexto.

Saludos.