Autor Tema: Mostrar equivalencias de afirmaciones

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15 Junio, 2021, 08:25 pm
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zapayan

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Buenas tardes, tengo el siguiente problema:

Sea \( X\subseteq{\mathbb{N}} \) no vacío. Decimos que \( X \) es acotado
si existe \( p\in{\Bbb N} \) tal que \( p\geq{n} \), para todo \( n\in{X} \). Ahora bien,
si \( p\in{X} \) entonces \( p \) es llamado elemento máximo de \( X \). Muestre que
las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1- \( X \) es finito
2- \( X \) es acotado
3- \( X \) tiene elemento máximo

Tengo algunas ideas me dirán y/o ayudaran si estoy equivocado. Para probar el primer inciso, ¿debo probar que existe  una biyeccion? ¿basta con eso?. Para el segundo, si mal no recuerdo, se debe probar que el conjunto esta acotado superior e inferiormente, ahi me corrigen. Para el tercero, debo probar que existe un supremo, es decir el elemento mayor del conjunto. Gracias por sus aportes, de antemano

15 Junio, 2021, 09:51 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas tardes, tengo el siguiente problema:

Sea \( X\subseteq{\mathbb{N}} \) no vacío. Decimos que \( X \) es acotado
si existe \( p\in{\Bbb N} \) tal que \( p\geq{n} \), para todo \( n\in{X} \). Ahora bien,
si \( p\in{X} \) entonces \( p \) es llamado elemento máximo de \( X \). Muestre que
las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1- \( X \) es finito
2- \( X \) es acotado
3- \( X \) tiene elemento máximo

Antes de nada. ¿Eres consciente qué lo que te mandan probar es intuitivamente muy obvio? Que para un subconjunto de los naturales es lo mismo decir que es finito, o acotado o que tiene máximo.

Citar
Tengo algunas ideas me dirán y/o ayudaran si estoy equivocado. Para probar el primer inciso, ¿debo probar que existe  una biyeccion? ¿basta con eso?. Para el segundo, si mal no recuerdo, se debe probar que el conjunto esta acotado superior e inferiormente, ahi me corrigen. Para el tercero, debo probar que existe un supremo, es decir el elemento mayor del conjunto. Gracias por sus aportes, de antemano

Por como has redactado este párrafo no sé si estás entendiendo lo que te piden. No tienes que probar 1, 2 y 3. Sino la equivalencia de las tres cosas:

Por ejemplo yo probaría:

3) \( \Rightarrow{} \) 2)

2) \( \Rightarrow{} \) 1)

1) \( \Rightarrow{} \) 3)

Ahora bien a la hora de redactar las demostraciones habría que saber exactamente que definiciones y resultados previos partes. Por ejemplo, ¿qué definición de conjunto finito manejas?.

Saludos.


18 Junio, 2021, 04:16 pm
Respuesta #2

zapayan

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 Hola

Me quedo completamente claro, ya la realice. Entendí lo que quisiste decir, al principio pensé que eran pruebas independientes pero
por lo que me dices, cai en cuenta.

muchas gracias