[acus]

Buen día. Quisiera saber si este enunciado es correcto o estoy pasando algo por alto.


Construye el polinomio \( P(x) \) de grado \( 3 \) tal que sea divisible por \( (x + 1) \), tenga a \( -3 \) como raiz doble y que al dividirlo por \( (x + 4) \) tenga resto \( -9 \)


Resolución:
Yo partí de la idea de que para que el polinomio \( (x + 1) \) sea divisible por un polinomio \( P(x) \), tiene que ser factor del mismo.

Por lo tanto:

\( Q = polinomio\\

P(x) = (x + 1) \cdot Q
 \)
Luego  dada una división entre el polinomio \( P(x) \) y un polinomio \( (x - a) \), con \( a = \) raiz del polinomio \( P(x) \).

\( P(x) \div  (x - a) = Q \)

por lo tanto \( (x - a) \) será factor de \( P(x) \).

Y como el enunciado dice que \( P(x) \) tiene a \( -3 \) como raiz doble lo cual indica que \( (x - (- 3)) \) aparece 2 veces en la factorización de \( P(x) \).

Con lo cual.

\( P(x) = (x + 1) (x + 3) (x + 3) \)

Con eso ya alcanzaría el grado 3 y daría por finalizada la busqueda del polinomio.
Pero ahora el enunciado pide que

\( (x + 1) (x + 3) (x + 3) \div (x + 4) \)

Dé como resultado un resto negativo. en este caso \( resto = -9 \)
Ya intenté aplicar el algoritmos de la división per no logro comprender como hacer que me dé ese resto negativo y según tengo entendido un resto no puede ser negativo.

Entonces ¿el enunciado está mal o yo estoy equivocándome en algún paso?

[manooooh]

Hola

Construye el polinomio \( P(x) \) de grado \( 3 \) tal que sea divisible por \( (x + 1) \), tenga a \( -3 \) como raiz doble y que al dividirlo por \( (x + 4) \) tenga resto \( -9 \)

Resolución:
Yo partí de la idea de que para que el polinomio \( (x + 1) \) sea divisible por un polinomio \( P(x) \), tiene que ser factor del mismo.

Por lo tanto:

\( Q = polinomio\\

P(x) = (x + 1) \cdot Q
 \)
Luego  dada una división entre el polinomio \( P(x) \) y un polinomio \( (x - a) \), con \( a = \) raiz del polinomio \( P(x) \).

\( P(x) \div  (x - a) = Q \)

por lo tanto \( (x - a) \) será factor de \( P(x) \).

Y como el enunciado dice que \( P(x) \) tiene a \( -3 \) como raiz doble lo cual indica que \( (x - (- 3)) \) aparece 2 veces en la factorización de \( P(x) \).

Con lo cual.

\( P(x) = (x + 1) (x + 3) (x + 3) \)

Con eso ya alcanzaría el grado 3 y daría por finalizada la busqueda del polinomio.
Pero ahora el enunciado pide que

\( (x + 1) (x + 3) (x + 3) \div (x + 4) \)

Dé como resultado un resto negativo. en este caso \( resto = -9 \)
Ya intenté aplicar el algoritmos de la división per no logro comprender como hacer que me dé ese resto negativo y según tengo entendido un resto no puede ser negativo.

Entonces ¿el enunciado está mal o yo estoy equivocándome en algún paso?

¡Hasta donde llegaste está muy bien! .

Recordá que la forma general de un polinomio factorizado es

\( Q(x)=\color{red}\boldsymbol a\color{black}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n). \)

Así que tenemos \( P(x)=a(x+1)(x+3)^2 \). Si dividís a este polinomio por \( (x+4) \) (¿sabés cómo?) te debería quedar un resto dependiendo del valor de \( a \), y como el resto por enunciado es \( -9 \) entonces queda una ecuación de una incógnita. En otras palabras, si \( P(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x) \) entonces \( r(x)=-9 \). Hallás \( a \) y tenés el polinomio \( P(x) \) deseado.

¿Podés concluir?

Saludos

[feriva]

según tengo entendido un resto no puede ser negativo.

Hola.

El resto de la división entre polinomios claro que puede ser negativo; creo que te refieres al resto de una división entre números enteros, que es distinto.

Fíjate, desarrolla el polinomio tal cual lo tienes (sin el coeficiente “a”) y te da

\( (x+1)(x+3)^{2}=x^{3}+7x^{2}+15x+9
   \)

Ahora mira a ver qué resto te sale al dividirlo entre x+4; efectúa la división por Euclides

Spoiler

El resto que me sale a mí es “-3” y el cociente es el polinomio \( x^{2}+3x+3
  \), tal que

\( (x^{2}+3x+3)(4+x)=x^{3}+7x^{2}+15x+12
  \); y al sumarle el resto “-3” nos da el que tenías.

Supongo que sabes dividir polinomios por el método de Euclides ( que no es el de Ruffini, el otro) y, si no, ya te lo explica alguien, que yo no me acuerdo del todo y sólo sé que me ha salido bien porque lo he comprobado).

[cerrar]

Saludos.

[manooooh]

Hola feriva

Ojo con el signo, \( a \) debería valer \( 3 \). Revisar aquí: http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=527e170ca018208c66973efdca5ef1f8.

Saludos

[feriva]

Hola feriva

Ojo con el signo, \( a \) debería valer \( 3 \). Revisar aquí: http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=527e170ca018208c66973efdca5ef1f8.

Saludos

Ah, pero no digo que eso sea “a”, digo que es el resto de dividir sin multiplicar previamente el polinomio por “a”.

O sea, tengo el cociente que obtengo a mano multiplicado por el divisor; que me da

\( (x^{2}+3x+3)(4+x)=x^{3}+7x^{2}+15x+12
  \)

entonces le sumo el resto que había obtenido

\( (x^{2}+3x+3)(4+x){\color{magenta}-3}=x^{3}+7x^{2}+15x+9
  \)

Y me da el polinomio de partida (tal cual, sin haber buscado el “a” todavía)

Entonces si multiplicamos por “a=3”, efectivamente, tenemos un polinomio equivalente de resto “-9”

\( 3(x^{2}+3x+3)(4+x)-9=3x^{3}+21x^{2}+45x+27
  \).

Que tendrá las mismas raíces.

Saludos.

[I am Bo]

Buenas,
añado que no es necesario realizar ninguna división.
El resto se obtiene calculando \( P(-4) \) (Teorema del resto):

\( P(x)=a\,(x+1)(x+3)^2\\
P(-4)=-3a=-9\longrightarrow \boxed{a=3} \)

Saludos.

PD.

Hola feriva

Ojo con el signo, \( a \) debería valer \( 3 \).
...

Mira bien lo que ha puesto feriva, no dice que \( a \) valga \( -3 \), ha dado un ejemplo de división cuyo resto es \( -3 \).

[manooooh]

Justo venía a comentar eso, iambo jajaja. Mal ahí yo. Perdón feriva.

Es más rápido e inteligente imponer \( P(-4)=-9 \).

Saludos

[feriva]

Es más rápido e inteligente

¿Al cuálo?

Spoiler

Perdón feriva.

No hay por qué pedir perdón hombre; ahora bien, eso de insinuar que he estado zoquete no sé yo...

[cerrar]

Saludos.

[acus]

Hola

Construye el polinomio \( P(x) \) de grado \( 3 \) tal que sea divisible por \( (x + 1) \), tenga a \( -3 \) como raiz doble y que al dividirlo por \( (x + 4) \) tenga resto \( -9 \)

Resolución:
Yo partí de la idea de que para que el polinomio \( (x + 1) \) sea divisible por un polinomio \( P(x) \), tiene que ser factor del mismo.

Por lo tanto:

\( Q = polinomio\\

P(x) = (x + 1) \cdot Q
 \)
Luego  dada una división entre el polinomio \( P(x) \) y un polinomio \( (x - a) \), con \( a = \) raiz del polinomio \( P(x) \).

\( P(x) \div  (x - a) = Q \)

por lo tanto \( (x - a) \) será factor de \( P(x) \).

Y como el enunciado dice que \( P(x) \) tiene a \( -3 \) como raiz doble lo cual indica que \( (x - (- 3)) \) aparece 2 veces en la factorización de \( P(x) \).

Con lo cual.

\( P(x) = (x + 1) (x + 3) (x + 3) \)

Con eso ya alcanzaría el grado 3 y daría por finalizada la busqueda del polinomio.
Pero ahora el enunciado pide que

\( (x + 1) (x + 3) (x + 3) \div (x + 4) \)

Dé como resultado un resto negativo. en este caso \( resto = -9 \)
Ya intenté aplicar el algoritmos de la división per no logro comprender como hacer que me dé ese resto negativo y según tengo entendido un resto no puede ser negativo.

Entonces ¿el enunciado está mal o yo estoy equivocándome en algún paso?

¡Hasta donde llegaste está muy bien! .

Recordá que la forma general de un polinomio factorizado es

\( Q(x)=\color{red}\boldsymbol a\color{black}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n). \)

Así que tenemos \( P(x)=a(x+1)(x+3)^2 \). Si dividís a este polinomio por \( (x+4) \) (¿sabés cómo?) te debería quedar un resto dependiendo del valor de \( a \), y como el resto por enunciado es \( -9 \) entonces queda una ecuación de una incógnita. En otras palabras, si \( P(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x) \) entonces \( r(x)=-9 \). Hallás \( a \) y tenés el polinomio \( P(x) \) deseado.

¿Podés concluir?

Saludos

Muchas gracias por la respuesta. Eso era lo se me estaba pasando. Habia olvidado la forma en la que se escribe un polinomio factorizado.

\( Q(x)=\color{red}\boldsymbol a\color{black}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n). \)

Acabo de terminar y con un \( a = 3 \) se cumplen todas las condiciones.

[acus]

Buenas,
añado que no es necesario realizar ninguna división.
El resto se obtiene calculando \( P(-4) \) (Teorema del resto):

\( P(x)=a\,(x+1)(x+3)^2\\
P(-4)=-3a=-9\longrightarrow \boxed{a=3} \)

Saludos.

PD.

Hola feriva

Ojo con el signo, \( a \) debería valer \( 3 \).
...

Mira bien lo que ha puesto feriva, no dice que \( a \) valga \( -3 \), ha dado un ejemplo de división cuyo resto es \( -3 \).

Recien puedo estar frente a la PC para responder. Precisamente lo resolví a tu manera.

Me valí de que
 Dado un \( P(x) \) y una raiz de ese polinomio. el Polinomio valuado en al raiz será igual a \( 0 \).
\( P(raiz) = 0 \)
Y supuse que si valuo el polinomio en un número distinto de una de sus raices, entonces dará como resultado un número distinto de 0.
\( n = \) un número que no sea raiz de un polinomio
\( P(n) = un número distinto de 0 \)

Yo lo resolví así y verifique que la división diera el resultado correcto. Pero pese a que haya llegado al resultado no sé si este razonamiento que hice es correcto.