Buenas. Sigo con el tema integrales. Esta aclaro que no la encontré en ningún ejercicio, etc.. simplemente me vino a la mente e intenté resolverla (sin éxito  )

\( \displaystyle\int_{}^{} cos(ln(x)) \cdot{dx} \)

Pongo un poco lo que he intentado..

Haciendo el cambio de variable: \( u = ln(x)  \) queda \(  du = 1/x \cdot{dx} \) y \( dx = du \cdot{x} \)

\( \displaystyle\int_{}^{} cos(u) \cdot{du} \cdot{x} \)

Para deshacerme de la \( x \) hago \( x = e^u  \) y queda:

\( \displaystyle\int_{}^{} cos(u) \cdot{du} \cdot{e^u} = \displaystyle\int_{}^{} e^u \cdot{}cos(u) \cdot{du} \)

Y ya no sé cómo seguir. Lo primero que pensé fue en \( sin(e^u) \) pero su derivada da \( cos(e^u)\cdot{e^u} \) y no \( cos(u)\cdot{e^u} \).
Luego pensé en usar la fórmula de integración por partes, pero no se llega a nada (interesante) con eso. Asi que ya he agotado todas mis ideas y (escasos) conocimientos 

Saludos.

Hola Luis. Gracias por la respuesta.

Muchas gracias Geómetracat, ya conseguí terminar los detalles. Algunas cosas de tipeo que se te pasaron  para los que deseen entender la prueba y no tengan confusión son:  \( f:c \to Ga \) debe ser \( f:c \to Gd \), aquí \( G(\epsilon_d \circ G\hat{g}) \circ \eta_c = Gg \circ \eta_c \) debe ser \( G(\epsilon_d \circ F\hat{g}) \circ \eta_c = Gg \circ \eta_c \) y por último donde dice \( \epsilon_d \circ G \hat{g} = g \) tiene que ser \( \epsilon_d \circ F \hat{g} = g \).

Saludos.

Hola.

Si están a un nivel muy bajo es posible que necesites algoritmos más sencillos. Yo para introducir los condicionales empiezo con lo de decidir si un número es par o impar, si un números es múltiplo de otro, si una letra es vocal o consonante, etc.

Luego para los bucles empiezo con algoritmos que te impriman los naturales más pequeños que un número dado, con variaciones como que los imprima de dos en dos o de tres en tres, otro que imprima los \[ n \] primeros cuadrados perfectos, los cuadrados perfectos más pequeños que un número dado, etc.

Luego algoritmos de decisión que combinen condicionales y bucles como el de decidir si un número es cuadrado perfecto, o primo (el algoritmo elemental), etc.

Luego algoritmos que realizan cálculos iterativos como el factorial de un número, o la suma de los primos menores que un número, etc.

Luego la recursividad, si es que el lenguaje la soporta.

Y luego lo de los arrays. Programas de recorrido, que te pidan \[ n \] números y que después te los impriman, otros de búsqueda, que después de pedirte el array te busque un valor concreto y te diga si está o no en la lista (que puede estar ordenada o no). Aquí entrarían también los algoritmos de ordenación.

Y de estructuras de datos pues depende de hasta dónde quieras llegar claro (arrays multidimensionales, pilas, colas, árboles, hashing, etc, etc, etc).

También es muy importante el paradigma, a mí por ejemplo no me gusta empezar de primeras con algo como programación orientada a objetos, por ejemplo, cosas así se las meto cuando están más sueltos con lo de los algoritmos y dominan las sentencias de control básicas. Pero esto ya son cosas que van por gustos, claro.

Creo que en esto de la didáctica de la programación es importante animarles a practicar mucho, hacer variaciones de los códigos, comprobarlos para casos que puedan ser especiales... Mucha práctica en general.

En cuanto a material no te sabría recomendar, la verdad, les voy proponiendo los ejercicios un poco sobre la marcha dependiendo de lo que quiera cada uno y del nivel que tenga.

Un saludo.

Hola

 Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2694580/first-order-characterization-of-strict-convexity

Saludos.