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Mensajes - S.S

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1
Hola franma, gracias por la repuesta.

Es que la verdad es que la persona que dirigue el aula insiste que es la matrix de cofactores y ya no sabía como cuadrar la información.  :)

2
Hola a todos, estoy leyendo un libro  (Introduction to Applied nonlinear Dynamical System and Chaos, Stephen Wiggins, section 19.5A ) y me encontre con las siguientes frases. Voy a escribirlas en ingles para que así ustedes puedan ayudarme.

[...]Where \( A^{*} \) denotes the adjoint of \( A \). [...]
 Depués dice lo siguiente
 [...]Since we are dealing with real vector fields note that \( A^{*} \) is the adjoint with respect to the Eclidean inner product on \( \mathbb{R}^{n} \), i.e., it is the transpose of \( A \), denoted \( A^{T} \). [...]

Mi question es la siguiente se considero la matrix adjunta (\( adj(A) \)) de \( A \) como la matriz de cofactores transpuesta, no veo como eso vaya a coincidir con la matriz transpuesta de \( A \). Por ejemplo:
Si \( A= \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix} \) se tiene que \( A^{T}=\begin{pmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{pmatrix} \) y \( Adj(A)= \begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix} \).

Asi, no sé si estoy interpretando mal las oraciones o que sucede. De antemano les agradezco la colaboración.

3
Hola Luis, Gracias por la respuesta.

Hay un error que tenías también en tu primer mensaje. En realidad \( P^n \) es el conjunto de rectas de \( \Bbb R^{n+1} \). Por ejemplo el plano proyectivo \( P^2 \) corresponde al conjunto de rectas del espacio \( \Bbb R^{3} \).

Pero es no es lo troncal de tu error.

Es verdad, ya lo corregí.  :)

Es que precisamente la estrategia para definir una estructura de variedad diferenciable en \( P^{n} \) entendido como el conjunto de rectas de \( \Bbb R^{n+1} \), es usar la biyección entre el conjunto cociente que indicas. En ese conjunto cociente definimos un atlas, unas cartas y son éstas las que trasladadas \( P^{n} \) mediante su biyección le dan su carácter de variedad diferenciable.

En ese momento es trivial que la aplicación que indicas es un difeomorfismo porque la composición con las cartas es la identidad.

Gracias, esta parte era una de mis dudas principales, porque veia claro que se establecia una estructura diferencial para \( (\mathbb{R^{n+1}}\setminus\{0\})/\sim \) mas no para \( P^{n}(\mathbb{R}) \) por eso intentaba decir que eran iguales como conjuntos y asi \( P^{n}(\mathbb{R}) \) ganaba estructura de variedad diferenciable y me servian las mismas cartas \( x_{i} \).

Vamos a ver si entendí o aún hay cosas por aclarar: . Definimos la biyección \( \varphi^{-1}: (\mathbb{R^{n+1}}\setminus\{0\})/\sim \to P^{n}(\mathbb{R})  \) dada por \( \phi([p])=p \), donde \( p \) es una recta (un elemento) en el espacio proyectivo. Con los pasos del primer mensaje ya dotamos de una estructura diferencial a \( (\mathbb{R^{n+1}}\setminus\{0\})/\sim \), luego para dotar de una estructura diferenciable a \( P^{n}(\mathbb{R}) \) hacemos las cartas \( \varphi^{-1}\circ x_{i} \) con lo que tendremos que \( P^{n}(\mathbb{R}) \) es una variedad diferenciable.

Para provar que \( \varphi:P^{n}(\mathbb{R}) \to  (\mathbb{R^{n+1}}\setminus\{0\})/\sim  \)  es un difeomorfismo hacemos \( x_{i}^{-1}\circ\varphi\circ \varphi^{-1}\circ x_{i} =Id \) \(  \).

De forma similar (Me imagino y suponiendo que lo que lo que crei se me dice en el mensaje anterior esta correcto) hacemos cuando queremos provar que \( \varphi:P^{n}(\mathbb{R}) \to  (\mathbb{S}^{n})/\sim  \) es un isomorfismo. ¿Cierto?

Gracias de nuevo. :)

4
Hola geómetracat. Gracias por la repuesta.

Con base a lo expuesto, podría plantear un difeomorfismo que coge una recta \( L \) en el proyectivo y le asigna su clase, esto es
   \( \varphi:P^{n}( \mathbb{R})\to (\mathbb{R}^{n}\setminus \{0\})/\sim \) definido por  \( \varphi(L)=[L] \) (La verdad no sé si esto este bien).

Si el difeomorfismo planteado estuviera bien, me surge una duda: Para probar que \( \varphi \) es diferenciable sobre las variedades precisaria de parametrizaciones  para el proyectivo, pero no las tengo, segun mi primer mensaje solo tengo parametrizaciones  para \( (\mathbb{R}^{n}\setminus \{0\})/\sim \), entonces ahí ¿Cuál es la estrategia a seguir para probar que el \( \varphi \) es un difeomorfismo?

Muchas gracias de nuevo.

5
Análisis Matemático / Re: Revision demostracion
« en: 27 Octubre, 2022, 03:06 am »
Hola, parece la clausura. Ya que si \( y \in \overline{Z} \), entonces existe una sequencia \( \{y_{n}\}\subset Z \) tales que \( y_{n}\to y \). Aqui la barra sobre \( Z \) representa la clausura.

6
Hola a todos.  Revisando el espacio proyectivo \( P^{n}(\mathbb{R})=\{\text{el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en}\hspace{2mm}\mathbb{R}^{n+1} \} \) me surgió una duda espero que ustedes me puedan ayudar a disipar.

Para provar que \( P^{n}(\mathbb{R}) \) es una varidad de dimension \( n \) se hizo  lo siguiente:
1. Se establecio una relación de equivalencia \( (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\sim{(\lambda x_{1},\cdots,\lambda x_{n})} \) y establecio el espacio cociente \( (\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\})/\sim{} \).
2. Se establecieron las siguientes vecindades \( V_{i}=\{[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}]\vert\hspace{2mm}x_{i}\neq 0\} \).
3. se establecieron las siguientes cartas \( x_{i}:\mathbb{R}^{n}\to V_{i} \) definidas por \( x_{i}(x_{1},x_{2},\cdots, x_{n})=[x_{1},\cdots, y_{i},1,y_{i-1}, \cdots, y_{n}] \).

Con esto se logra provar que \( P^{n}(\mathbb{R}) \) es una varidad diferencial.

De forma similar podemos establcer una relacion de equivalencia sobre la esfera \( \mathbb{S}^{n} \) dada por \( p\sim q  \) sí, y solamente si \( p=\pm q \) y se establece el espacio cociente \( \mathbb{S}^{n}/\sim \).

Mis preguntas son las siguientes:
 
a. ¿Puedo decir que \( P^{n}(\mathbb{R})= (\mathbb{R}^{n}\setminus \{0\})/\sim \)? o  esto no es correcto.
b.  De forma similar:  ¿Puedo decir que \( P^{n}(\mathbb{R})= \mathbb{S}^{n}/\sim \)? ¿o debo decir   \( P^{n}(\mathbb{R})  \) es difeomorfo a \( \mathbb{S}^{n}/\sim \)?

Gracias de antemano.

Corregido en la definicion del espacio proyectivo

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Lógica / Re: Condición suficiente
« en: 16 Octubre, 2022, 02:03 pm »
Hola.
Yo lo pondría de esta forma:
Si (z) es un lider y un seguidor cree en (z), entonces (z) no miente.

Luego para mi es una condición necesaria. Pero esperemos que alguien con mayor experiencia pase a ver que dice.

8
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Curva asintótica
« en: 15 Octubre, 2022, 09:48 pm »
Gracias franma.

9
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Curva asintótica
« en: 15 Octubre, 2022, 07:53 pm »
Hola franma, volvi porque creo que la conclusion del ejercicio esta errada.
Luego \( dN_p \alpha'(t)=\begin{pmatrix}{-\frac{1}{r}}&{0}\\{0}&{\frac{\cos(\theta)}{a+r\cos(\theta)}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{0}\\{\frac{\cos(\theta)}{a+r\cos(\theta)}}\end{pmatrix} \)
De donde concluimos que \( \alpha \) no es una curva asintótica.

Ya que como \( p \in \alpha([0,2\pi]) \), debe ser que \( \theta =\frac{\pi}{2} \) con lo  que se tendría

\( dN_p \alpha'(t)=\begin{pmatrix}{-\frac{1}{r}}&{0}\\{0}& {0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{0}\\{0}\end{pmatrix} \). Con eso se tiene por (O-R) que \( \alpha(t) \) si es una curva asintótica.

 ¿Es correcta la afirmación? De nuevo muchas gracias.

10
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Curva asintótica
« en: 14 Octubre, 2022, 03:33 pm »
Hola franma. Gracias por la ayuda ahí ya me quedo claro. No tenía conciencia de quien era \( u(t) \) y \( v(t) \) aun cuando siempre se esta trabajando con estos elementos.  :).

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Geometría Diferencial - Variedades / Curva asintótica
« en: 14 Octubre, 2022, 02:29 am »
Hola a todos, leyendo Manfredo Docarmo me asalto la siguiente duda.

 Considere el toro (\( \mathbb{T} \)) dado por la siguiente parametrización

   \( x(\theta, \varphi)= ((a+r\cos(\theta))\cos(\varphi), (a+r\sin(\theta))\sin(\varphi),r \sin(\theta)) \)

Luego se tiene que la diferencial de la normal de Gauss es

\( dN_{p}=\begin{pmatrix}{-\frac{1}{r}}&{0}\\{0}&{\frac{\cos(\theta)}{a+r\cos(\theta)}}\end{pmatrix} \)

Asi se tiene que la curvatura de Gauss es
\( K= \frac{\cos(\theta)}{r(a+r\cos(\theta))} \)

Con esta informacion se tiene que en \( \theta=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \), La curvatura Gaussiana es cero. La pregunta que me hago es la siguiente:  ¿La curva que resulta de hacer \( x\left(\frac{\pi}{2}, t\right ) \) es una curva asintótica?  esto es ¿ La curva \( \alpha: [0,2\pi]\to \mathbb{T} \) definida por  \( \alpha(t)= (a \cos(t), a \sen(t), r) \) es una curva asintotica?

Lo intente hacer por medio del Teorema de Olinde Rodrigez (O-R)  para provar que \( \alpha(t) \) es una linea de curvatura la cual tiene asociado el valor propio de \( dN_{p} \) igual a  \( 0 \), con lo que probaria que para todo punto sobre la curva \( \alpha(t) \) se tendría que la curvatura normal es cero y por lo mismo \( \alpha(t) \) es una curva asintótica. Pero me encontré con lo siguiente. Para Usar O-R tengo que probar
\( dN_{p}\alpha(t)= \lambda(t)\alpha^{\prime}(t) \)

Mas al intentar hacer (Nó sé si este bien este cálculo aquí y el camino que elegí en si) \( dN_{p}(\alpha(t))= \begin{pmatrix}{-\frac{1}{r}}&{0}\\{0}&{\frac{\cos(\theta)}{a+r\cos(\theta)}}\end{pmatrix}\alpha^{\prime}(t) \) pero lo que sucede es que \( \alpha^{\prime}(t) \) es un vector de \( \mathbb{R}^{3} \). ¿Cuál es el error?

pdta: Yo nó sé si sea curva asintótica, si no lo és ¿cómo puedo refutarlo?

Gracias.

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Foro general / Re: Función continua
« en: 13 Octubre, 2022, 03:31 pm »
Hola Luis.  Que pena interrumpir en un hilo que no he propuesto, pero me quedo una duda en la siguiente  parte (quiza sea una tonteria)

Sea \( A=\{t\in [0,1]\textsf{ tal que }y(t)=1\} \). Acabamos de ver que es no vacío y que es acotado. Sea \( s=inf(A) \). Si \( s>0 \) razonando como antes podríamos encontar \( b=\dfrac{1}{\pi/2+2k\pi} \) y un \( t\in (0,s) \) tal que \( x(t)=b \) e \( y(t)=1 \), es decir, \( t\in A \), lo cual contradice que \( s \) es el ínfimo.

Es que me queda duda cuando quiera proceder como antes, ya que al hacer \( x(s)=x_{s} \) no tengo la certeza de saber si \( x_{s}>0 \), ¿por qué se da esto? Gracias.

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Hola. Yo intentaría de esta forma. (Es un argumento, no una prueba como tal, esperemos que alguien con mayor conocimiento pase y de mas pistas acerca de si el argumento funciona o no)

Supon que \( n=dim F> dim G=m \) y que los elementos de la base de \( F \) son \( V= \{v_{1}, \dots, v_{n}\} \), ahora como \( F\subset G \) debe ser que estos elementos esten en \( G \), asi tendriamos un conjunto \( V \) L.I en \( G \) con mas de \( n \) elementos, lo cual  contradice que el número máximo de vetores L.I en \( G \) es \( m \).

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Hola, Luis gracias por tomarse el tiempo de contestar y corregir el título del enunciado. Lamento volver a cometer ese mismo error.

En cuanto al problema la verdad es que intente dar todo el preambulo de KKT, para que se conocieran las notaciones y demas, pero queda demasiado extenso así que contuve y puse el mensaje como esta a sabiendas de que era difícil una respuesta solo con eso,  La verdad es que  no sé como construir el conjunto de restriciones para el problema, por eso impuse esa \( g \), pero sin que ustedes conozcan la notación que sigo queda complicado, Gracias de nuevo. 

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Hola a todos, tengo lo siguiente   
Mostrar que el problema

      \( \min (x_{1}+1)^{3}\hspace{3mm}\text{sujeto a }\hspace{2mm}0\leq x_{1}+x_{2}\leq x_{1}^{3}+\sigma  \)

   tiene soluciones para todo \( \sigma \in \mathbb{R} \) y encontrar las soluções (locales y globales).

Quisiera poner la función de restrición de la siguiente forma \( g(x_{1},x_{2})=(-x_{1}-x_{2}, -x_{1}^{3}-\sigma)  \) para iniciar el uso de las condiciones de KKT, mas no estoy seguro si esta es la escogencia correcta.

Gracias de antemano.

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Hola Masacrosso, es verdad. Copie y pegue y no percate de ese simbolo, muchas gracias. El enunciado correcto es

Si \( \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \) es abierto y  \( f \in L^1 _{loc}(\mathbb{R}) \) tales que \( \int f\phi dx = 0 \) \( \forall\phi\in C^{c}_{\infty}(\mathbb{R}) \), entonces  \( f = 0 \) en casi toda parte de \( \Omega \).

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Hola me podrian ayudar a probar esto:
Si \( f \in L^1 _{loc}(\mathbb{R}) \) y \( \int f\phi^{\prime} dx = 0 \) \( \forall\phi\in C^{c}_{\infty}(\mathbb{R}) \Rightarrow f = cte \) en casi todo punto

Hola, un resultado que parece al que usted enuncia es
Si \( \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \) es abierto y  \( f \in L^1 _{loc}(\mathbb{R}) \) tales que \( \int f\phi^{\prime} dx = 0 \) \( \forall\phi\in C^{c}_{\infty}(\mathbb{R}) \), entonces  \( f = 0 \) en casi toda parte de \( \Omega \).
Se puede encontrar el enunciado y su prueba en Haim Brezis, "Functional  Analisys, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations" capítulo 4, Corolario 4.24.  Espero le sirva.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Demostraciones
« en: 05 Septiembre, 2022, 05:05 am »
Hola. Si \( Mx=\lambda x \) con \( x\neq 0 \), entonces \( \lambda\|x\|^{2}=\lambda x^{t}x= x^{t}\lambda x= x^{t}(Mx)>0 \), como \( \left\|{x}\right\|>0 \) debe ser que \( \lambda >0 \).

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Hola a todos, tengo lo siguiente y quiero resolverlo pero no se como manejar las normas involucradas.
 Considere  la funcion \( \Delta _{p}: W_{0}^{1,p}(\Omega)\to (W_{0}^{1,p}(\Omega))^{*} \) Definida por \( \Delta_{p}(u)= div(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) \), Donde \( W_{0}^{1,p}(\Omega) \) se puede entender como las funciones del espacio de Sobolev \( W^{1,p}(\Omega) \) que se anulan en la frontera de \( \Omega \).

Quisiera usar lo siguiente:  Provemos que \( \Delta_{p} \) es continua en \( u\in W_{0}^{1,p}(\Omega) \). Asi, sea \( \{u_{m}\}\subset W_{0}^{1,p}(\Omega) \), quiero mostrar que \( \left\|{-\Delta_{p}u_{m}- (-\Delta_{p} u)}\right\|_{(W_{0}^{1,p})^{*}}\to 0 \), i.e., \( \displaystyle \sup_{\left\|{v}\right\|\leq 1}|\langle -\Delta_{p}u_{m}- (-\Delta_{p} u),v\rangle |\to 0 \), Mas no sé como proceder y no sé si la idea funcione.

Gracias.

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Optimización (Máximos y Mínimos) / Re: Condiciones de KKT
« en: 01 Septiembre, 2022, 03:26 am »
Hola Luis gracias por la respuesta. Voy a enunciar la version del  Teorema con el que estoy trabajando y luego hago la pregunta para ver si es que estoy intentando justificar algo que no sea necesario.

Considere las funciones \( f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R} \), \( g:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m} \), \( h:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{l} \) y el problema de minimizacion
\( \min f(x) \) sujeto a \( D=\{x \in \mathbb{R}^{n}\vert \hspace{3mm} h(x)=0\hspace{2mm}g(x)\leq 0\} \).


Teorema. (Condiones de KKT).
Sea \( f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R} \) y \( g:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m} \) funciones diferenciables en el punto \( \overline{x}\in \mathbb{R}^{n} \), y \( h:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{l} \) una función diferenciable en una vecindad del punto \( \overline{x} \) con derivada continua en este punto. Sea \( \overline{x} \) um minimizador del problema arriba. Entonces si se cumple una de las siguientes condiones
1. \( h \) y \( g \) son funciones afines.
2.  Condiciones de Mangasarian-Fromovitz Las filas de la matriz jacobiana son linearmente independientes y existe \( d\in kerDh(\overline{x})  \) tales que \( \langle g_{i}^{\prime}(\overline{x},d)\rangle <0 \) para cada \( i\in I(\overline{x})=\{i=1,2,\dots,m\vert \hspace{2mm}g_{i}(\overline{x})=0\} \). 
3.  \( h \) es una función afin , \( g \) es una función convexa y existe \( \hat{x}\in \mathbb{R}^{n} \) tal que \( h(\hat{x})=0 \), \( g(\hat{x})<0 \), \( i=1,2,\dots,m \).     
se tiene que existen \( \overline{\lambda}\in \mathbb{R}^{l} \) y \( \overline{\mu}\in \mathbb{R}_{+}^{m} \) tales que
 
\( L_{x}^{\prime}(\overline{x},\overline{\lambda},\overline{\mu})=0 \), y \( \overline{\mu}_{i}g_{i}=0 \), \( i=1,2,\dots,m \).

Teniendo este Teorema, lo que yo queria era verificar las condiciones del Teorema   para poder encontrar posibles  puntos mínimos y entonces no sabia cual de los items 1,2,3 verificaba el ejercicio en cuestion. Pero entoncese ahora no sé si sea necesario verificar alguno de los items.

Gracias de nuevo.

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