Hola

Hola me ayudan por favor.

4)   Una compañía de remises cobra sus servicios de acuerdo al siguiente cuadro tarifario:
Primeros 3 km: $ 8
km restantes: $ 2 el km
No se hacen viajes de más de 500 km

a)   Proponga una función a trozos que lo represente. ¿Cuál es el dominio de la función?¿Y su conjunto de llegada?¿Y su fórmula?
b)   Identifique su conjunto imagen.
c)   Determine e interprete respuesta en términos de la situación real.
d)   Clasifique la función. Realice el gráfico de la misma.

Habría que buscar una función que relacione el precio de llevada en función de los km realizados para cada condición. Como desde los cero  hasta los 3 kilómetros el precio es $8, en ese tramo tenemos una función constante de constante 8. Luego, a partir de  los 3km en adelante hasta los 500km el precio dice que es de $2 por kilómetro, por tanto ahí tienes una función afín. Sabiendo que, por ejemplo, para 4km te saldría $10, y que para 5km te saldría $12, entonces ya tienes los pares ordenados \( (4;10) \) y\( (5;12) \). Aplicando la fórmula para hallar la ecuación de una  recta que pasa por dos puntos llegas a la conclusión de que la recta es \( y=2x+2 \). Te quedaría lo siguiente:

\( f(x)=\begin{cases} 8 & \text{si}&0<{x\leq{3}}\\2x+2 & \text{si}& 3<x\leq{500}{}\end{cases} \)

Pues mirando la fórmula sabemos que si x representa la variable independiente "km", entonces  x debe ser mayor o igual que cero pero menor o igual que 500, ya que viajes de más de 500km no se realizan. De esta forma te queda que \( Dm=[0,500] \).
Luego, con base en eso, es fácil ver que la imagen estará comprendida entre \( [0,1002] \). El conjunto de llegada sería lo mismo que el codominio. Es decir, debemos preguntarnos: ¿cuáles son los posibles valores de salida que podemos tener? Claramente en teoría cualquier número real puede ser la imagen de un elemento del dominio. Pero como el dominio está restringido, los valores que efectivamente salen (definición de imagen) son los comprendidos en \( [0;1002] \).
Es una función a trozos continua en todo el intervalo \( (0,500) \), ya que la función en cada punto de su dominio coincide con el límite cuando x tiende a dichos puntos.
Te adjunto la gráfica aproximada de dicha función, solamente ten en cuenta que esta gráfica debe "terminar" en el punto \( (500,1002) \).
CORRECCIÓN: Cuando \( x=0 \), se tiene f\( (x)=0 \), por tanto debemos agregar esa tercera condición. Cambiaría la gráfica sólo en algunos detalles, ya que en el punto \( (0,8) \) tendríamos un vacío y el punto  \( (0,0) \)debemos dibujarlo como un punto aislado. Entiendo que si no se recorre nada de km pues el precio debería ser nulo.



Saludos

Hola a todos

Tendrías:

\( 21+3\sqrt{8}+6\sqrt{3}+6\sqrt{7}+\sqrt{24}+\sqrt{56}+2\sqrt{21}=(3^2+2+3+7)+2\cdot 3\sqrt{2}+2\cdot 3\cdot \sqrt{3}+2\cdot 3\cdot \sqrt{7}+2\sqrt{2\cdot 3}+2\sqrt{2\cdot 7}+2\sqrt{3\cdot 7}=(3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 \)

En mi humilde opinión yo entiendo que aquí quiere que hagamos el producto de esos términos, o sea que hagamos \( (3.\sqrt{2}.\sqrt{3}.\sqrt{7})^2=(3.\sqrt{42})^2=9.42=378 \). O sea que lo pasamos primero a suma de radicales simples y luego multiplicamos dichos radicales aparte. 

Saludos

Hola fmorgade

Debes aplicar la siguiente fórmula: \( (a+b+c) (a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) =a^3+b^3+c^3-3abc \)

En este caso \( a=\sqrt[3]{5} \), \( b=\sqrt[3]{2},   c=-\sqrt[3]{7} \)
Si reemplazas:   \( (a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)= (\sqrt[3]{2})^2+ (\sqrt[3]{5})^2- (\sqrt[3]{7})^2- (\sqrt[3]{10}) +(\sqrt[3]{14})- (\sqrt[3]{35}) \)

Al multiplicar lo anterior por \( {\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7}} \) y siguiendo la fórmula te da (\( 2+5-7-3{\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{7}} \))
Después de hacer lo anterior el denominador te quedará: (\( {2+5-7+3\sqrt[3]{70}})=({7-7+3\sqrt[3]{70}})=({3\sqrt[3]{70}}) \)

Luego al multiplicarlo por \( {\sqrt[3]{4900}}
 \) te da \( {3\sqrt[3]{343000}}=3.70= 210 \) (todo eso en el denominador claro, estoy omitiendo aquí los cálculos en el numerador, ya que a mi entender lo que la consigna quiere es que digamos, una vez racionalizada la expresión, qué racional queda como denominador y no el valor de la expresión misma, que es aproximadamente \( 0.9461 \))

Te dejo el link a un videoe YouTube donde también explica la racionalización de estos casos en donde en el denominador tenemos una suma de tres raíces cubicas:
Espero algo te guíe.

Saludos

Pero entonces, ¿Por qué antes se ha puesto \( X=(0,1)\cup (2,3) \) como indicando que ese sería el referencial? En otras palabras: ¿La topología usual necesariamente debe aplicarse sobre \( \mathbb{R^n} \) y no sobre un subconjunto de éste a no ser que apliquemos la topología relativa?  Porque, por ejemplo, la topología discreta puede aplicarse sobre \( \mathbb{R} \) pero también sobre cualquier otro tomado como referencial o total. Ahí me entro la duda 

O sea, no sé si me explico. Lo que no me queda claro porque tiene que ser el espacio total \( (\mathbb{R};T_{usual})  \) y no \( (X=(0,1)\cup (2,3);T_{usual}) \)....

Hola Luis y Eparoh

Mejor imposible la explicación de ambos  . Tenía en el fondo la idea de que por ahí podría venir la explicación. Es decir, de que no importa si además de abierta la preimagen de un elemento del codominio también sea cerrada, con que sea abierta, de alguna manera, basta. Pero quería estar seguro de ello.

Proposición: Si \( (X, \tau) \) e \( (Y, \sigma) \) son dos espacios topológicos y \( f: X \longrightarrow Y \) es una función constante (es decir, existe un \( y_0 \in Y \) fijo tal que \( f(x)=y_0 \) para todo \( x \in X \)), entonces \( f \) es continua.

Demostración:
Como bien has dicho, para ver que \( f \) es continua debemos ver que tomando \( V \) un abierto cualquiera de \( Y \), se cumple que \( f^{-1}(V) \) es abierto en \( X \). Esta es la definición de continuidad (o una equivalencia que te habrán mostrado si te dieron en primer lugar la definición local de continuidad) para funciones entre espacios topológicos.

Sea pues \( V \) un abierto cualquiera de \( Y \), y observa que como \( f \) es constante tenemos que

\( f^{-1}(V)=\{x \in X: f(x) \in V\} = \{x \in X: y_0 \in V\}=\begin{cases}{\emptyset}&\text{si}& y_0 \not \in V\\X & \text{si}& y_0 \in V\end{cases} \)

Por definición de topología, tanto el conjunto vació como el propio espacio son siempre abiertos, luego en cualquier caso tenemos que \( f^{-1}(V) \) es abierto en \( X \).
Como hemos tomado \( V \) como un abierto arbitrario de \( Y \), ha quedado demostrado que la preimagen de cualquier abierto de \( Y \) es abierta en \( X \), y por tanto que \( f \) es continua. \( \blacksquare \)

Esto esta buenísimo porque con ella ya demostramos, como dices,  que cualquier función constante entre espacios topológicos es continua. De esa forma, si nos dan un ejercicio donde nos pidan analizar la continuidad entre espacios topológicos distintos a \( \mathbb{R^n} \), donde tenemos una función constante entre ambos espacios, bastaría escribir lo que has puesto aquí y ya quedaría probado.

 Y por otra parte hay que tener claro que CERRADO y ABIERTO NO son CONCEPTOS OPUESTOS o EXCLUYENTES. Los cerrados son complementarios de abiertos; pero perfectamente un espacio topológico puede tener conjuntos que sean AL MISMO TIEMPO ABIERTOS y CERRADOS.

Sí Luis, he pasado por alto ese detalle básico. Creo que me ocurrió  lo mismo que nos pasa cuando recién empezamos a adentrarnos en la materia (al menos así lo vivimos en nuestro curso) y al preguntarnos si un conjunto es abierto respondemos que no es abierto porque es cerrado, y eso claramente es una justificación falsa. Por cierto, esa dualidad de un conjunto de ser abierto y cerrado al mismo tiempo, ¿es lo que permite denominarlos conjuntos COPLEN no? 

 

Por ejemplo en el espacio topológico \( X=(0,1)\cup (2,3) \) con la topología usual, el conjunto \( (0,1) \) es abierto y cerrado al mismo tiempo.

Claro. Nosotros, en nuestro curso de topología, sólo hemos definido la topología usual sobre \( \mathbb{R^n} \), de tal modo en \( \mathbb{R} \) los abiertos se reducen a los intervalos abiertos, y cuando nos daban un subconjunto del mismo nos decían que debíamos trabajar con la topología relativa para analizar si era abierto o cerrado. Pero en este caso veo que el conjunto, \( X=(0,1)\cup (2,3) \), se esta considerando como espacio total o referencial. Es decir, que se ha cambiado el espacio referencial pero manteniendo la misma topología. ¿Desde cuál perspectiva hay que mirar para decir que \( (0,1) \) es abierto?

Saludos

Pero no te olvides que \( (1+\tau)^n  \) es una progresión geométrica de razón mayor que uno luego habrá un momento que "Explotará" y crecerá más rápido que cualquier polinomio.

Claro de ahí que entonces podríamos decir que en realidad cualquier polinomio que se ponga de numerador, no sólo \( n^{500} \), terminaría provocando el mismo resultado confuso. Lo mismo sucedería que \( n^{2} \) etc....

No es un ataque al ordenador más bien al mal uso de este, que haríamos sin ordenadores.

Claro. Desde luego. Es decir el mal uso en cuanto a solicitarle que resuelva un cálculo insertándole números más allá de lo que concibe o "entiende2. ¿No?

Saludos

Buenas noches a todos. Tengo nuevamente una duda teórica referida a la definición de espacio topológico. Sabemos que se deben cumplir tres condiciones para que un espacio \( X \) y una colección de subconjuntos del mismo, llamémosla \( T \), constituyan un espacio topológico. Ahora bien, la pregunta es ¿por qué esos tres? Tengo entendido, por lo que leí, que se deben dar esas propiedades para que sea posible la definición de conceptos como continuidad y límite. Pero eso me parece un poco vago. Me gustaría escuchar alguna explicación más detallada. ¿En qué afectaría, de manera concreta, por ejemplo, que no se cumpla la condición de que la intersección finita  de abiertos debe ser abierta o, de la misma manera, que la unión arbitraria de abiertos también debe estar en T ?

Saludos

Te pongo este video que explica bastante bien como graficar la sucesión (el sonido es otra cosa):

Perfecto. Lo miré y ahora pude ver las gráficas de cada una de las funciones que me han estado poniendo de ejemplo. Es muy esclarecedor el tener la gráfica. Por ejemplo, la hice con \( a_n = 9  + \dfrac{(-1)^n \cdot 1000}{n}  \) y compruebo que converge a 9 ( eso sí, colocando el deslizador a rango de \( 1000000   \)para poder visualizarlo)

Sucesion_gráfica.

Lo que te indica manooooh es que por ejemplo si \( x = \dfrac{1}{2}  \) no tiene sentido \( (-1)^x  \)  en los reales es un número complejo.

Claaaro. No me había dado cuenta de ello. En cambio, haciendo con deslizador en Geogebra podemos considerar solamente los naturales como dominio y por tanto poder tener la gráfica. Buenísimo. No saben cuanto se los agradezco que me enseñen esto.

Saludos

Hola manoooh

Porque es una función compleja. Aquí tienes un gráfico: https://www.wolframalpha.com/input?i=%28-1%29%5Ex*x

¿Pero por qué Geogebra no podría tomar la función con dominio \( R \), al igual que podría hacerlo, por ejemplo, con \( \displaystyle\frac{1}{n} \) ?

Saludos

Mira aquí:
https://www.geogebra.org/m/penhxh7r#material/hd3ja6cm

Buenísimo. Ahora sí la puedo visualizar mejor. Muchas gracias Juan