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Mensajes - MatematicaMente

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Buenos días Luis

¿A qué topología te refieres con \( T_4. \)?

La topología es la topología normal y \( T_1 \)

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Topología (general) / Interior y adherencia topología producto
« en: 18 Enero, 2022, 11:31 am »
Buenos días, tengo dificultades a la hora de enfrentarme a topologías producto, cociente, etc.
Estoy ante el siguiente enunciado:
Se considera el espacio producto \( ([0,\infty),T_4)\times S \), S recta de Sorgenfrey. Hallar la adherencia e interior de \( A=[1,2)\times(0,1) \) respecto a la topología producto.

He razonado como sigue:
La recta de Sorgenfrey es el espacio topológico definido sobre la recta real generado por la base: B=\( \{ [a,b):a,b \in \mathbf{R}, a<b\}  \)

Para calcular si un punto es interior o adherente en un e.t. producto \( (X x Y,T^{1} x T^{2}) \) tenemos que tener en cuenta dos cosas:

1) El conjunto que estemos hallando debe ser también un producto i.e., de la forma AxB. En tal caso, el problema que tenemos 'se lleva' a un problema en cada uno de los factores:

int(AxB)=int(A) x int(B)

Luego:

int(\( [1,2)x(0,1) \)) = int([1,2)) x int((0,1)) = (1,2) x (0,1).

2) Para trabajar 'bien' en la topología producto, hay que trabajar con bases de entornos de cada uno de los factores:

Base de entornos de \( x \in [0,\infty) \) en \( T_4 \), B = { \(  B_x | x\in [0,\infty)  \) }, \( B_x=[0,x+\epsilon) \)
Base de entornos de \( x \in (0,1)  \) en S, B = {\( B_{x}^{'} | x \in (-\infty,\infty) \) }, \( B_x=[x,x+\epsilon) \)

Por tanto, una base de entornos de (x,y) en la topología producto \( (T_4, S) \) es {\( [0,x+\epsilon),[x,x+\epsilon) \)}.
Si tomamos ahora \( A=[1,2)x(0,1) \), no hay entornos de los anteriores dentro de A, luego:

int\( ([1,2)x(0,1))=\emptyset \)



No se si estoy razonando bien...

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Muchas gracias, había razonado como usted pero no estaba segura de que estuviese bien.

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Buenas tardes, me he enfrentado a varios problemas sobre bases de entornos y me cuestan bastante.
El siguiente dice así:
\( \forall (x,y)\in\mathbf{R^2} \), se considera la familia de subconjuntos de \( \mathbf{R^2} \), B(x,y)\( ={B_r((x,0))\cup(x,y)} \), con r>0 y \( B_r((x,0)) \) es la bola euclídea de centro \( (x,0) \) y radio r. Probar que \( \forall (x,y)\in \mathbf{R^2} \), B((x,y)) es base de entornos de \( (x,y) \) para algún T sobre \( \mathbf{R^2} \)

He pensado en ver que se cumplen las propiedades que debe verificar toda base de entornos:
1)\( \forall B \in \) B(x) \( x \in B \)
2)\( \forall B_1, B_2 \in \) B(x) \( \exists B \in \) B(x) / \( B \subset B_1\cap B_2 \)
3)\( \forall B_1 \in \) B(x) \( \exists B_2 \in \) B(x) / \( \forall y \in B_2 \exists B \in  \) B(y) \( B \subset B_1 \)

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Topología (general) / Re: Sobre subespacios topológicos
« en: 14 Enero, 2022, 01:18 pm »
Todo comprendido, tendré cuidado con  la notación, sí... Muchas gracias!

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Topología (general) / Re: Sobre subespacios topológicos
« en: 14 Enero, 2022, 12:53 pm »
Buenos días Geometracat, justamente eso es lo que escribí en un principio, basándome en el enunciado. Lo esencial era (corríjame si me equivoco) hallar ese abierto que llamaré W a partir de U y V.
He prodecido como sigue:

Por hipótesis sé:
\( M \in (X,T) \Rightarrow \exists U \in (X,T) ,, M=U\cap A  \)
\( M \in (X,T) \Rightarrow \exists V \in (X,T) ,, M=V\cap B \)

Quiero tener:
\( W \in (X,T),, M=W\cap (A\cup B) \)

Como \( U,V \in (X,T) \Rightarrow U\cap V \in (X,T) \).

(*)\( M=U\cap A \Rightarrow M\subset{U}, M\subset{A} \)
(**)\( M=V\cap B \Rightarrow M\subset{V}, M\subset{B} \)
Por (*)(**) se tiene que: \( M\subset{U\cap V} \in (X,T)  \) y \( M\subset{(A\cup B)} \Rightarrow M\subset{(U\cap V)} \cap (A\cup B) \).

Para demostrar el otro contenido:
\( (U\cap V)\cap(A\cup B)= ( (U\cap V)\cap A ) \cup ( (U\cap V)\cap B )= ( (U\cap A) \cap (U\cap V) ) \cup ( (U\cap V) \cap B ) \subset{M}. \)


¿Cómo lo ve? Gracias de antemano.

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Topología (general) / Sobre subespacios topológicos
« en: 13 Enero, 2022, 05:26 pm »
Buenas tardes,me encuentro ante el siguiente problema, pero no me convence el procedimiento que estoy haciendo. Lo dejo por aquí:
Sea \( (X,T) \) e.t. y sean \( A,B \subset{X} \), no vacíos. Demostrar que si \( M\subset{A\cap B} \) ,, M abierto de A con su topología correspondiente y M abierto de B con su topología correspondiente, entonces M es abierto en el subespacio \( A\cup B \) de (X,T).

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Buenas, no sé cómo resolver este ejercicio. En cuanto veo \( \mathbf{R^2} \) pienso en la medida producto y me sale humo...
Sea \(  \)m la medida de Lebesgue en \( \mathbf{R^2} \):

Demostrar que si \( f \) es una función Borel simple medible, entonces: \( m\{(x, f(x): x \in \mathbf{R}\}=0 \).

Demostrar además que esta condición sigue siendo cierta para toda función \( f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R} \)

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Topología (general) / Re: Demostrar un contenido.
« en: 17 Diciembre, 2021, 12:57 pm »

Tienes que \( U \cap \overline{A} \subset U \subset \overline{U} \) y que \( U \cap \overline{A}  \subset \overline{A} \). En general, también que \( \overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B} \).
Fenomenal. Me faltaba la propiedad de que en un espacio topológico la intersección de la adherencia de dos subconjuntos es igual a la adherencia de la intersección de dos subconjuntos.

Para el siguiente: sea \( x \in U \). Si E es un entorno de \( x \) tenemos que \( E \cap D \neq \emptyset \) por ser D denso. Pero entonces \( E\cap U \) también es un entorno de \( x \) y así \( E \cap U \cap D \neq \emptyset \).

En cuanto al segundo apartado no lo consigo ver...
Consigo razonar que \( U \subset U \cap \overline{D} = U \cap X = U \). Y por tanto, \( \overline{U} = \overline{U \cap \overline{D}} \). Pero no salgo de ahí...

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Topología (general) / Demostrar un contenido.
« en: 16 Diciembre, 2021, 07:24 pm »
Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio pero no se por donde empezar.
Sea \( U \) abierto de \( (X,T) \). Probar que \( U \cap \overline{A} \subset \overline{U \cup A} \forall A \subset X \).
Dar un ejemplo en el que no se verifique la igualdad.
Probar que \( D \) denso en \( (X,T) \Rightarrow U \subset \overline{U \cap D} \) y \( \overline{U} = \overline{U \cap D} \)


Gracias de antemano.

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Dado que en esta topología el conjunto de abiertos coincide con el conjunto de cerrados las únicas posibilidades son que nos encontramos en la topología trivial o la discreta, ¿no? ¿Podríamos decir que estamos en la topología discreta e este caso?

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No soy capaz de encontrar un sentido a esa pregunta. No sé que significado das a "legal".

En realidad para comprobar si efectivamente un conjunto es la adherencia de otra has de preguntarte dos cosas (independientemente de como has llegado a él):

- Si la adherencia propuesta es un cerrado.
- Si es el menor cerrado que contiene al conjunto inicial.

Entiendo...
Explico lo que quería decir: mi intención es construir la adherencia (que como usted dice es cerrada) quitándole a espacio total (el cual es cerrado además de abierto) un abierto tal que eso de lugar a un cerrado. (Primera condición) ENTENDIDO

El problema lo encuentro al especificar qué valores de x y t deben tomar las rectas de la unión, pues no quiero quitar por ejemplo toda la recta vertical \( x=1 \), sino sólo \( \{(x,y) = (1,y) : 1 \leq y \leq 2 \} \).



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Muchas gracias, entendido.
Me queda una última duda...sea la adherencia \( \left[1,2\right]  \) x  \( \mathbf{R} \), esta se ha obtenido quitando al total \( \mathbf{R^2} \), la unión de abiertos \( \cup r_x \) tales que (y aquí está mi duda) \( x,t \notin \left[1,2\right] \). ¿Es legal restringir los valores de x y t al intervalo que deseemos? ¿si lo es, esta unión siga siendo un abierto? ¿O la restricción debe ser obligatoriamente en intervalos abiertos para que la unión sea un abierto?

Gracias

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Topología (general) / Re: Ejercicio sobre sistema de entornos
« en: 14 Diciembre, 2021, 10:32 am »
Muchas gracias!

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Buenas, me encuentro ante el siguiente ejercicio:
En \( \mathbb{R^2} \), sean \( L_1 = \{r_x | x \in \mathbf{R}\}, r_x=\{(x,t) \in \mathbf{R^2} | t\in \mathbf{R}\} \) y \( L_2 = L_1 \cup S, S=\{(t,1) \in \mathbf{R^2} | t \in \mathbf{R}\} \). Denotamos \( T(L_1) \) y \(  (L_2) \) a las topologías engendradas por \( L_1 \) y \( L_2 \) respectivamente.
Dado \( A=\{(x,y) \in \mathbf{R^2}| 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\} \). Hallar el interior y la adherencia de A en \( (\mathbf{R^2},T(L_1)) \) y en \( (\mathbf{R^2},T(L_2)) \).
Lo primero que quiero ver es cómo son los abiertos y los cerrados de cada topología. Para ver como son los abiertos utilizo la base dada puesto que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de la base. Sin embargo, me he encontrado con dificultades a la hora de usar la siguiente definición de base de una topología:
''Sea B base de T, entonces \( \forall A \in T  \exists B_A \subset{B} , A = \cup_{B \in B_A} B \)''

(Me lía ese subconjunto \( B_A \))

Y por otra parte, me he encontrado con dificultades a la hora de ver cómo son los conjuntos abiertos y cerrados.
Aún así, mi respuesta para la primera topología:

Los abiertos de \( T(L_1) \) son de la forma \( G = \cup_{B \in L_1}B = \cup r_x, t,x \in \mathbf{R} \).
Y los cerrados de \( T(L_1) \) son de la forma \( C= \mathbf{R^2}-r_x \).
Entonces: \( \mathring{A}=\emptyset, adh(A)=\mathbf{R^2} - \cup r_x,  x,t \in (- \infty, 1) \cup (2, \infty) \)


Si alguien es tan amable de corregirme.

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Topología (general) / Ejercicio sobre sistema de entornos
« en: 13 Diciembre, 2021, 07:20 pm »
Buenas, no estoy segura de si he razonado bien el siguiente ejercicio:
Sobre \( \mathbf{R} \) consideramos \( \forall x \in \mathbf{R} \) la familia:
\( N_x = \{N\subset{\mathbf{R}} | \exists \epsilon > 0, (x-1-\epsilon, x+1+\epsilon)\subset{N}\} \). ¿Es \( N_x \) sistema de entornos de algún espacio topológico?

Bien, de primeras me viene a la mente que va a ser un sistema de entornos de la topología usual en los reales.
He comprobado que se verifican las propiedades que debe de cumplir un sistema de entornos:
a) \( \forall E \in V(x), x \in U \)
b) \( \forall U,V \in V(x), U \cap V \in V(x) \)
c) \( \forall U \in V(x) \exists V \in V(x) \forall y \in V U \in V(y) \)

pero no se si he razonado bien en esta última propiedad:
d) \( \forall U \in V(x) \forall V \subset{X} U \subset{V} \Rightarrow V \in V(x) \)

Razono como sigue: se cumple d) pues, sea \( U = (x-1-\epsilon,x+1+\epsilon) \in V(x), \epsilon > 0 \Rightarrow x\in A \subset{U}, \) A abierto.
Y sea \( V \subset{X}, U \subset{V}. \) Entonces, \( x \in A \subset{V(x)} \). Es decir, V entorno de x tal que \( V \in V(x) \)

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Topología (general) / Re: Sobre fronteras
« en: 10 Diciembre, 2021, 11:13 am »
Muchas gracias. Por favor, corríjame si me equivoco:
En el primer caso, puesto que estamos en la topología usual, todo punto es un cerrado.
Considerando \( A=\{0\} \) en este caso \( A=adh(A) \) y \( \mathring{A}=\emptyset \) de forma que:
\( Fr(A)=\{0\}\neq Fr(\mathring{A})=\emptyset \)

Por otro lado, sea ahora \( A=(0,1)\cup{(1,2)} \), por estar en la topología usual, la unión de intervalos abiertos es un abierto y \( Fr(A)=\{0,1,2\} \).
\( Adh(A)=[0,2] \) \( \Rightarrow \) \( Fr(adh(A))=\{0,2\}. \)


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Topología (general) / Sobre fronteras
« en: 10 Diciembre, 2021, 10:41 am »
Buenos días, me encuentro ante el siguiente problema:
Sea \( (X,T) \) e.t, \( A \subset{X} \). Estudiar si \( Fr(A), Fr(Adh(A)) \) y \( Fr(\mathring{A}) \) coinciden. En caso negativo, mostrarlo con contraejemplos y estudiar los contenidos.

Me he puesto varios ejemplos y en todos ellos coinciden, pero no consigo hacer un razonamiento teórico.

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Topología (general) / Re: Propiedades de la topología del orden
« en: 10 Diciembre, 2021, 10:25 am »
Buenos días Luis, en efecto \( B \) se define tal y como lo ha escrito.

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Topología (general) / Propiedades de la topología del orden
« en: 08 Diciembre, 2021, 07:26 pm »
Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio que no consigo resolver:
Sea \( (X, \leq) \) un conjunto totalmente ordenado con al menos dos elementos, sea \( B=\left\{{y \in X | x \leq y}\right\} \) y \( T \) la topología engendrada por \( B \). Estudiar las propiedades de separación, compacidad, conexión, conexión local y conexión por caminos.

PD: Cuando se nos dice que X está formado por al menos dos elementos quiere decir que está formado por al menos dos intervalos, ¿no?

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