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Temas - nico

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Foro general / Consultar sobre Master
« en: 02 Diciembre, 2021, 11:56 pm »
Hola a todos quería consultarles si conocen alguna Universidad de España o otra de habla hispana donde se imparta un magíster sobre didáctica de la matemática que sea reconocido a nivel internacional. He buscado información en diferentes portales de universidades y encontré una qué es una universidad virtual llamada UNIR de España pero no la conozco realmente ni sé si el curso realmente es reconocido o no. 
Agradezco si pueden aportarme información un gran saludo a todos.

2
Topología (general) / Pregunta 2 Espacios completos
« en: 07 Noviembre, 2021, 03:44 am »
Hola, me realizan la siguiente pregunta y me piden probarlo.

¿Qué condición debe cumplir una función para llevar espacios métricos completos en espacios métricos completos?.
Probar

¿Alguna sugerencia?

Saludos

3
Topología (general) / Pregunta 1 Espacios métricos completos
« en: 07 Noviembre, 2021, 03:41 am »
Hola me piden demostrar el siguiente resultado.
¿Qué condición debe cumplir una función para llevar sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy?
Me piden probarlo.

Para mi f debería ser un homeomorfismo.

¿Qué opinan?


4
Hola a todos, me piden demostrar el siguiente resultado:
Si una sucesión cuyo recorrido se encuentra en un conjunto \( A \), entonces si converge a un punto \( x \), \( x\in{}\bar{A} \)

Demostración:
Sea \( U\in{}N_x \) y \( (a_n)_{n\in{}\mathbb{N}} \subset{}A \) tal que \( a_n\rightarrow{}x \)
Por definición \( \exists{} n_0 \) tal que \( a_n \in{}U_x  \forall{} n \geq{}n_o \) en particular
\( a_{n_0} \in{} A  \cap{}U_x\neq\emptyset \) \( \forall{}U_x\in{N_x} \) \( \Rightarrow{}x\in{\bar{A}} \)

Ahora me preguntan ¿vale el recíproco?
En este caso no encuentro ejemplos o contrajemplos.

Agradecería de sus comentarios y aportes tanto en la demostración como en el recíproco.

Saludos

5
Topología (general) / [BLOQUEADO POR REPETICIÓN] Teorema 3 Continuidad
« en: 05 Noviembre, 2021, 12:35 am »
Hola a todos.
También necesito la demostración de este otro teorema.
\( f:X\rightarrow{}Y \) escontinua \( \Leftrightarrow{} \forall{} V \in{} \tau_Y \) se tiene que \( f^{-1}(F) \) es cerrado en \( (X,\tau_X) \) para cada cerrado \( F \) en \( (Y,\tau_Y) \)

Saludos

6
Topología (general) / Teorema 2 sobre función continua
« en: 05 Noviembre, 2021, 12:30 am »
Hola nuevamente, necesito la demostración de este otro teorema, la verdad no tengo idea de como demostrarlo.
Dada una función \( f:X\rightarrow{}Y \), un punto \( x\in{}X \) y \( \mathbb{B} \) y \( \mathbb{B´} \) bases para \( \tau_X \) y \( \tau_Y \) respectivamente, diremos que \( f \) es continua en \( x \)\( \Leftrightarrow{} \) \( \forall{} B´\in{}\mathbb{B}´ \) con \( f(x) \in{}\mathbb{B}´ \) existe \( B\in{}\mathbb{B} \) con \( x\in{}\mathbb{B} \) tal que \( f(B)\subset{}B´ \)


7
Topología (general) / Teorema 1 sobre función continua
« en: 05 Noviembre, 2021, 12:19 am »
Hola a todos, tengo que demostrar este teorema, he venido buscando información pero no encontré nada por el momento.

\( f:X\rightarrow{}Y \) es continua \( \Leftrightarrow{} \forall{} \) \( V \in{}\tau_Y \) se tiene que \( f^{-1}(F) \) es cerrado en \( (X,\tau_X) \) para cada cerrado \( F \) en \( (Y,\tau_Y) \)


8
Topología (general) / Seno del topólogo
« en: 02 Noviembre, 2021, 12:39 am »
Hola a todos, estoy pensando en una demostración de que la curva seno del topólogo no es un conjunto arconenxo.

Primero que nada me defino la función \( \alpha:[0,1]\longrightarrow{}\overline{S} \) ; \( \alpha(t)=(x(t) , y(t)) \) , siendo \( \alpha(t)=(x(t) , sen(\displaystyle\frac{1}{x(t)})) \)
donde \( \alpha(0)=(0,0) \) y \( \alpha(1)=(1,sen(1)) \) probemos que (0,0) no está conectado con \( (1,sen(1)) \)

Voy a estudiar la continuidad de cada función componente de la función \( \alpha \)

El conjunto de los \( t \) para los cuales \( \alpha(t)\in{}[-1,1] \) es cerrado y por lo tanto \( \exists{} Sup\{t:\alpha(t)=0\} \)
Considerando el teorema de pasaje considero la sucesión \( t_n \) en donde \( x(t_n)\rightarrow{}0 \) para \( n\rightarrow{\infty} \)
Que sucede ahora con la otra componente. Observemos que \( -1\leq{}sen(\displaystyle\frac{1}{x(t_n)})\leq{}1 \) observemos que \( 0<\forall{\epsilon}<\displaystyle\frac{1}{2} \) tenemos que a partir de un cierto \( n\geq{}n_0 \) , podemos considerar que \( y(t_n)=(-1)^n \) que si \( n  \) es par \( y(t_n)=(-1)^n \) \( y(t_n)= 1 > \displaystyle\frac{1}{2} \) y si \( n \) es impar \( y(t_n)=-1>\displaystyle\frac{1}{2} \) lo que demuestra claramente que la función \( t_n \) no converge. Luego la función \( \alpha \) no es arcoconexa.
Escucho sus sugerencias.
Saludos

9
Topología (general) / Problema 1 conexión y conexidad local
« en: 08 Septiembre, 2021, 03:00 am »
Hola a todos, escribo problema 1 ya que serán una serie de problemas los que consulte por aquí.

Se considera el espacio métrico \( (\mathbb{R}^2 , d) \) con la distancia usual. Definimos dos conjuntos \( A=\left\{{(x,y) \in{}\mathbb{R}^2: 0\leq{}x\leq{}1 , y = \displaystyle\frac{x}{n} , n \in{}\mathbb{N}^*}\right\} \) y \( B=\left\{{(x,0) \in{}\mathbb{R}
^2 : \displaystyle\frac{1}{2}<x<1}\right\} \) Sea \( X=A\cup{}B \)

a) Investiga la conexión y la conexión local de \( A \) y \( \bar{A} \)

b) Halla \( \bar{A}\cap{}B \) y concluye sobre la conexión de \( X \) y \( \bar{X} \). Investiga si \( X \) o \( \bar{X} \) son localmente conexos.

c) Investiga la compacidad de \( X \) y \( \bar{X} \)


a) no tengo idea de como construir una base de entornos abiertos.

b) \( \bar{A}\cap{}B = B \)

B es conexo y \( B\subset{}X\subset{}\bar{A}\Longrightarrow{} X \) es conexo.

\( X\subset{}\bar{X}\subseteq{}\bar{X}\subseteq{}\bar{X} \) y \( X \) conexo entonces \( \bar{X} \) conexo.

Para la parte localmente conexo no tengo idea como hacerlo.

c) No tengo idea como pensarlo.

Agradezco sugerencias.

Saludos

10
Topología (general) / Conexidad y arco conexo - Ejercicio
« en: 30 Agosto, 2021, 09:39 pm »
Hola a todos.
Necesitaría sus aportes para poder resolver este ejercicio. Adjunto la letra.

Considera el subespacio \( X \) de \(  (\mathbb{R}^2 , \tau_u ) \) definido cómo \( X =(\cup{}_{x\in{}\mathbb{Q}} (\{x\} \times{}\mathbb{R}^+_0)) \cup{} (\cup{}_{x \in{}\mathbb{R}-\mathbb{Q}} (\{x\} \times{}\mathbb{R}^-)) \)

1. Probar que \( X \) es conexo.
2. Probar que \( X \) no es arco conexo.

11
Topología (general) / Distancia Ultramétrica - Problema
« en: 05 Agosto, 2021, 05:10 pm »
Hola a todos solicito si pueden guiarme con esta actividad.
Comparto lo que voy desarrollando del mismo.

Sea \( X \) un conjunto y \( d: X \times{} X\rightarrow{\mathbb{\mathbb{R}}}^+_0 \) una función que satisface las siguientes condiciones \( \forall{} x , y , z \in{} X \)

1. \( d(x,y) = 0 \Leftrightarrow{} x = y \)

2.  \( d(x,y) = d(y,x) \)

3. \( d(x,\color{red}z\color{black}) \leq{}máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \)  CORREGIDO
Probar los siguientes item.

1) Verificar que efectivamente \( d \) es una distancia que llamaremos distancia ultramétrica, lo que hace de \( (X,d) \) es un espacio métrico al que denominaremos espacio ultramétrico
Adjunto archivo de como demostré este punto.

2) Probar que si \( d(x,y) \neq d(y,z) \Rightarrow{} d(x,\color{red}z\color{black}) = máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \) , por lo que en este espacio ultrmétrico todos los triángulos son isósceles. CORREGIDO

Estudio 3 casos.

Caso i) \( d(x,y) < d(y,z) \)
Caso ii) \( d(x,y) > d(y,z) \)
Caso iii) \( d(x,y) = d(y,z) \)

Demostración: . Caso i) \( d(x,y) < d(y,z) \)
Sea\( d(x,y) < d(y,z) \), se qué \( d(x,y) \leq{}máx\{d(x,y) , d(y,z)\}= d(y,z)\Rightarrow{} d(x,z) \leq{}d(y,z) \) Quiero probar la igualdad, lo hago por el absurdo.

Supongamos que \( d(x,y) < d(y,z) \) entonces \( d(x,y) \leq{}máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \Rightarrow{}d(x,y) < d(y,z) \) lo cual es absurdo. El absurdo proviene de suponer que \( d(x,z) <d(y,z)\Longrightarrow{}d(x,z)=d(y,z) \)
\( d(x,z)= máx\{d(x,y) , d(y,z) \)

Entonces si \( d(x,y) = máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \) y \( d(x,y) = d(x,z) y d(x,z) \neq d(y,z)\Rightarrow{} x , y , z \) son vértices de un triángulo isósceles.

El caso para que \( d(y,z) = máx\{d(x,y) , d(y,z)\} \)

\( d(x,z)\neq d(y,z) \) y \( d(x,y) = d(y,z) \Rightarrow{} x , y , z  \) son vértices de un triángulos isósceles.

Los otros dos casos son similares las demostraciones.

Agradezco sugerencias.

Saludos




12
Probabilidad / Problema de extracción en R
« en: 01 Julio, 2021, 10:19 pm »
Hola a todos, perdón que no supe donde escribir este problema.
Me dan el siguiente sckrip realizado en programa R:
cantidad.de.experimentos=
  k=10
for (i in 1:cantidad.de.experimentos){
  urna1=c("R","R","R","R","R","V","V","V","V","V","V","V")
  (extraigourna1=sample(urna1,2))
  urna2=c(extraigourna1,"R","R","V","V","V","V")
  (extraigourna2=sample(urna2,3))
  urna3=c(extraigourna2,"R","R","R","V","V")
  (extraigourna3=sample(urna3,2,replace=TRUE))
  if ((extraigourna3[1]=="V")|(extraigourna3[1]=="V"))
    dado=sample(c(1,2,3,4,5,6),1)
  else
    dado=sample(c(1,2,3,4,5,6),1,prob=c(1/21,2/21,3/21,4/21,5/21,6/21))
  if (dado<=2)
    k=k+1}

El experimento consiste en lo siguiente:

Se tienen 3 urnas, la urna 1 con 5 tarjetas rojas y 7 tarjetas verdes, la urna 2 con 2 tarjetas rojas y 4 tarjetas verdes, y la urna 3 con 3 tarjetas rojas y 2 tarjetas verdes. Se extraen 2 tarjetas de la urna 1 sin reposición y se las coloca en la urna 2, luego se extraen 3 tarjetas sin reposición de la urna 2 y se las coloca en la urna 3, y luego se extraen 2 tarjetas con reposición de la urna 3. Si las dos tarjetas extraídas de la urna 3 son verdes, lanzo un dado honesto, en caso contrario, lanzo un dado cargado en donde las probabilidades de cada cara son proporcionales al número que hay en la cara. El evento de interés del cual quiero estimar su probabilidad, es el de obtener en el dado un número menor o igual a 2.
  Opción
verdadero
Falso.

En mi caso a mi me queda al correrlo con R que es falso, pero tengo dudas. Pienso además que no está clara la pregunta, que lo que preguntas es si el sckrip está bien o no.

En la parte b) me indican esto:
La probabilidad que se pretende estimar con el script de la pregunta anterior, ¿a cuál de los siguientes intervalos pertenece?

[0.22,0.23)
[0.23,0.24)
[0.24,0.25)
Ninguna de las restantes opciones es correcta
Pienso que debería poder calcular con la simulación en R la frecuencia relativa, pero el sckrip no me funciona.
¿Alguna sugerencia o ayuda?
Saludos

13
Topología (general) / Espacio T2, T1 , T0
« en: 26 Junio, 2021, 04:16 am »
Hola una consulta.
Dada \( \tau =\{ U \subset{}\mathbb{R} : \mathbb{N}\subset{}U^c\}\cup{}\{\mathbb{R}\} \)

Quiero saber si es Hausdorff, \( T_1 \) o \( T_0 \)

Para mi no es ninguno de los tres, pero tengo dudas.
Agradezco sugerencia
Saludos

14
Probabilidad / Problema de probabilidad
« en: 01 Junio, 2021, 03:37 am »
Hola a todos, tengo el siguiente problema:

Se tienen \( k \) urnas con \( n \) bolas numeradas de \( 1 \) a \( n \). De cada urna se elige al azar una bola. Hallar la probabilidad de que el número mayor  resultante sea \( m \), con \( m\in{}\{1 , 2 ,\ldots , n\} \)
Lo primero que se me ocurre es considerar como la extracción de cada urna como un ensayo de Bernoulli en donde tengo una probabilidad \( p \) de éxito de obtener la bola \( m \) y una probabilidad \( (1-p) \) de no obtenerla. Para mi la probabilidad de éxito sería \( \displaystyle\frac{1}{m} \).
Bien ahora no logro pensar como seguir con el problema.

¿Alguna sugerencia?

Saludos

15
Hola a todos. ¿Cómo están?
Tengo que demostrar lo siguiente, y quería compartir con ustedes un esbozo de lo que he venido trabajado hasta el momento y tener algunos aportes y sugerencias.

Problema: : Investiga si el siguiente enunciado es verdadero o falso, demostrándolo en el primer caso o dando un contraejemplo en el segundo.
En todo espacio topológico \( (X,\tau \)) si se cumple que todo subconjunto propio \( Y \) de \( X \) \( (X \neq Y \subset{X}) \) es discreto entonces \( (X,\tau) \) es discreto o sea \( (\tau = \tau_d) \)

Lo que hice primero fue tratar de pensar en algún contraejemplo.
Consideré \( Y = \left\lbrace{ \left\lbrace{0}\right\rbrace , \left\lbrace{1}\right\rbrace} \right\rbrace \) y como espacio topológico \( (\mathbb{R},\tau_u) \) una base para la topología usual en los reales es \( B=\left\lbrace{(a,b) : a , b \in{}\mathbb{R} , a < b}\right\rbrace \) y verifiqué si con la topología heredada es discreto.

Entonces me plantié varios casos.
1er caso: Considero el básico B = (-1 , 1) , siendo B \( \cap{} \) \( Y \) =  \( \left\lbrace{0}\right\rbrace \)
2do caso: Considero el básico B = (-1 , 2) , siendo B \( \cap{} \) \( Y \) = \( \left\lbrace{ \left\lbrace{0}\right\rbrace , \left\lbrace{1}\right\rbrace} \right\rbrace \)
3er caso: Considero el básico B = (0 , 2) , siendo B \( \cap{} \) \( Y \) =  \( \left\lbrace{1}\right\rbrace \)
4to caso: Considero el básico B = (0 , 1) , siendo B \( \cap{} \) \( Y \) =  \( \emptyset \) (hay otros casos, pero cosideré este para ejemplificar)

La topología heredada \( \tau_y = \left\lbrace{ \emptyset , Y , \left\lbrace{0}\right\rbrace , \left\lbrace{1}\right\rbrace}\right\rbrace \) que claramente la topología heredada es la discreta.

Ahora para este caso si bien el conjunto propio \( Y \) es discreto la topología usual no es igual a la discreta. En esta parte es la que no estoy seguro si quedaría bien justificado con este contraejemlo, o presenta alguna falla mi razonamiento.

Agradezco sus comentarios y sugerencias.
Saludos :laugh:

 

16
Topología (general) / Problema de examen 1
« en: 27 Marzo, 2019, 08:05 pm »
Hola a todos, quiero pedirles si me pueden ayudar a pensar este problema, pero les pido que no realicen la solución si no que me ayuden a razonar y en los casos que no lo esté pensando bien me corrijan la parte conceptual que esté mal.
Planteo por ahora las partes a) y b)

Sea \( \tau \) las familia de subconjuntos de \( \mathbb{R}^2 \) definidos como:

\( \tau = \{ U \subset{} \mathbb{R}^2 : U\setminus (\mathbb{R}  \times{} \{0\}) \in{} \tau_u \} \)

Siendo \( \tau_u \) la topología usual en \(  \mathbb{R}^2 \)

a) Probar que  \( \tau \) define una topología en \(  \mathbb{R}^2 \)

b) ¿Es \(  (\mathbb{R}^2, \tau) \) conexo? Justificar

En la parte a)

Primero que nada, pienso que los abiertos son bolas que no contienen al punto (a,0) (las bolas pueden ser discos o cuadrados o rectángulos) Aquí la duda es que yo interpreté que el porducto cartesiano entre el conjunto de los reales y el cero son puntos (a,0). Pero me surge la duda si no son intevalos (a,0) abiertos.

Para probar que es una topología,tengo que probar que \( \emptyset \) y \( \mathbb{R}^2 \) pertenecen a \( \tau_u \)
Podría pensarlo por el lado del complemento, es decir el complmento de \( \mathbb{R}^2 \) es el \( \emptyset \). Pero no me doy cuanta cómo probar que estos dos conjuntos son elementos de \( \tau_u \)

Saludos

17
Probabilidad / Sacar doble par o trío en el Poker
« en: 03 Marzo, 2019, 01:31 pm »
Hola a todos, tengo el siguiente problema:
¿Qué es mas probable de sacar doble par o trío? en una sola mano en una partida de poker.

Doble par consiste en obtener dos pares de cartas con el mismo valor y la restante diferente a ellas.

Trío, consiste en obtener 3 cartas del mismo valor y las dos restantes tienen otros valores.


Para el doble par se me ocurre plantear lo siguiente:


P(doble par) =\( \displaystyle\frac{13.\displaystyle\binom{4}{2}.12\displaystyle\binom{4}{2}.\displaystyle\binom{44}{1}}{\displaystyle\binom{52}{5}} \)

Mi razonamiento es el siguiente, para el primer par tengo 4 barajas, una por palo que se puden tomar 2 para combinarlas. Pero puedo formar en este caso 13 pares, poreso multiplico por 13. En el segundo par el razonamiento es similar pero tengo ahora 12 pares para formar, dado que uno ya salió. Por último, en el caso de la baraja restante tengo combinaciones de 44 tomadas de 1.

Pero la duda es que el resultado me da distinto al que he visto en la web. ¿que estoy haciendo mal?


Para el caso de trío pienso en lo siguiente:

P(trío) = \( \displaystyle\frac{\displaystyle 13\binom{4}{3}.12\displaystyle\binom{4}{2}}{\displaystyle\binom{52}{5}} \)

¿Qué les parece mi planteo?

Saludos

18
Topología (general) / Entornos y familias de entornos
« en: 22 Febrero, 2019, 04:19 pm »
Hola, estoy repasando la definición de entornos y de familia de entornos.

Definición de entorno: Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico y \( x \in{}X \); \( N\subset{}X \), es un entorno de \( x \) si existe un abierto \( U\in{}\tau \) tal que \( x\in{}U \subset{}N \)


Me planteo el siguiente ejemplo, a ver si está bien, considero la topología usual, \( N={2}\cup{}[3,4] \)  y \( X=\mathbb{R} \)

 \( \tau =\{(a,b) : a\leq{}b \) ;\(  a , b \in{}\mathbb{R}\} \) los abiertos de la topología usual pueden ser {1} , (1,2) etc.

Por ejemplo, \( N \) es entorno de {2} ; {3} y {4} pero por ejemplo no es entorno de {1} ni de {5} ya qu en estos dos casos que me propuse cómo ejemplo, no existe un abierto de la topología que contenga a esos números y esté contenido en N.

Familias de entornos; Sea \( N_x = \{N \subset{} X  \): \( N \) es entorno de \( x\}
 \)

Acá puedo pensar el siguiente ejemplo:

\( N_2 = \{ \{2\} ; (3,4) ....., \} \)


Quisiera saber si voy bien...


Saludos



19
Topología (general) / Topología relativa
« en: 21 Febrero, 2019, 09:56 pm »
Hola, en cuanto a la definición de topología relativa, quiero poder entenderla bien.

Sea \( (X,\tau) \) un espacio topológico e \( Y\subset{}X \) (Y un subconjunto de X) , se llama topología relativa en \( Y \) a


\( \tau_u =\{ U \cap{}Y : U \in\tau\} \) ¿acá U son abiertos de la topología tau? ¿son todos los abiertos?


Quisiera ver si pueden plantear un ejemplo para poder entender mejor. Yo intenté considerar con la topología de los complementos finitos, pero me quedé medio trancado.


Gracias.


Saludos

20
Topología (general) / Topología discreta
« en: 21 Febrero, 2019, 09:50 pm »
Hola me surge una nueva consulta, la topología discreta está definida cómo

\( \tau = P(X) \) o sea ¿es el conjunto potencia de X? ¿Como puedo probar las partes 2 y 3 (la intersección finita) y las uniones arbitrarias?

Saludos.

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