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Temas - Richard R Richard

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Hola a todos.


Como entusiasta de la física, he estado navegando por el subforo destinado y he encontrado varios problemas antiguos, algunos sencillos, otros no tanto , de varios años, que no tienen respuesta o que a veces tienen  una sola respuesta que es o bien solo una simple indicación, y otras en la que la respuesta que se a dado es incompleta y pocas veces he visto sucede que es incluso errónea.
 
Puesto a que puedo como pasatiempo destinarle periódicamente un tiempo a resolverlos, pregunto por mi interés en particular para ese foro, si es útil a la comunidad dar respuesta al hilo, y en general si es bueno para todos los foros que alguien reflote viejos hilos , o hay una opinión formada para no hacerlo.


En mi opinión  creo que no es mejor esperar que alguien más se interese por la solución y repregunte, puesto que si no encuentra la respuesta  lo más probable es que seguirá navegando a que se inscriba...Y que es probable que se inscriba si a menudo halla respuestas similares.


El espíritu no es esperar respuesta de usuarios que hace años no postean, sino incrementar a mi criterio el contenido.


He buscado algún debate similar previo, pero no lo he encontrado.


Saludos y gracias.

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Teoría de números / Algoritmo para hallar números perfectos
« en: 26 Julio, 2022, 04:23 am »

Hola a todos , como parte de mis pasatiempos, he intentado varias formas de hallar un número perfecto impar, sin éxito.. claro.


He pasado por la wikipedia refrescando memoria y leo la siguiente cita



Cita de: wikipedia
El 7 de diciembre de 2018, al descubrirse el número primo más grande \( 2^{82 589 933} − 1 \) ( o M82 589 933 en la notación usual), se obtuvo entonces el mayor número perfecto encontrado hasta esa fecha, número 51 de la lista, con 49.724.095 dígitos:
\( 2^{82 589 932} (2^{82 589 933} − 1) \)
 
Se me ha ocurrido una nueva forma alternativa para intentar suerte, programando con criterio y no tanto fuerza bruta, entonces...


La pregunta es sencilla, existirá registro que por debajo de ese número no existe ningún otro número perfecto, sea este par o impar?


Me da la sensación que solo se probaron números  con el  Teorema de Euclides-Euler. Es decir solo se buscaron los primos de Mersene y se aplicó el teorema, no me queda claro si  se descartaron los \( 2^{82 589 933}-51 \) números restantes...

Hay algún trabajo sobre esa serie  AES..... no se que número es...


La idea nuevamente es no sembrar sobre suelo estéril.


Gracias de antemano.



3
Teoría de números / Existencia de teorema...Reales vs Racionales
« en: 11 Julio, 2022, 03:30 am »
He leído la siguiente afirmación


Citar
Entre dos números reales cualesquiera, siempre podemos encontrar un racional y un irracional por lo menos


Primer pregunta, es cierto? la existencia del real me la supongo, pero con la del racional me lleno de dudas.


Como se demuestra? hay algún teorema?


Gracias.

4
La ecuación \( y^3-x^2=\pm2 \) tiene forma algebraica, (algún pase de términos) que revele que la única solución en los naturales es \( y=3 \) y  \( x=5 \) o que de alguna forma para números mayores es imposible tener solución?


Mi método programado en Phyton  ha llegado de momento a \( y=13355 \) y \( x=1543220 \) sin resultados extra, en minutos, pero la idea es continuar ejecutando a menos que sea absurdo hacerlo porque ya se sabe que no hallaré nada.

5
Teoría de Conjuntos / Conteo de racionales
« en: 09 Junio, 2022, 03:25 am »
He visto unos videos , donde explican como sería la forma de contar el contenido del conjunto de los naturales. los pares,  luego pasan a los enteros, luego a los racionales, y luego a los reales....También por leerlos en el foro me he hecho alguna idea...


Veamos la genialidad de Cantor para demostrar que hay mas reales entre 0 y 1 que enteros la entendí , ningún problema.


El problema es que no entiendo porqué se cree que es biyectiva la relación, que siempre la repito como un lorito porque todos dicen que es correcta, me pregunto si habrá forma de bajarla un nivel para que se comprenda


la biyectibidad entre
 entre un  natural y un entero, (contar a la par sin que sobren ninguno de ellos)

 entre un  natural y un entero par, sin que sobren ninguno de ellos

 entre un  natural y un racional, sin que sobren ninguno de ellos


Es decir que tienen la misma cardinalidad, quizá me equivoque pero entiendo eso significa que tienen el mismo número de elementos.


Spoiler
como se dicta, lo siguiente no es verdadero por eso lo pongo en spoiler
 a priori,
para mi hay del doble de enteros que de naturales,

para mi hay la mitad de enteros positivos pares que de naturales, y la otra mitad son enteros negativos pares , esa puede colar.
pero la que no me cierra para nada es la de los racionales, como hay ciertas fracciones que son unas múltiplos de las otras entiendo que debe ser un numero menor al cuadrado de los números naturales,  o mejor es el cuadrado de la cantidad de números que no tiene divisores en común, pero la veo mucho mas grande que la de los naturales.


 
[cerrar]
donde se puede ver una demostración un tanto mas formal que un video?...


Gracias anticipadas




6
Computación e Informática / Advent of Code 2021 Problema 12
« en: 12 Diciembre, 2021, 02:06 pm »
Con los subsistemas subterráneos de su submarino que subsisten de manera subóptima , la única forma de salir de esta cueva pronto es encontrando un camino usted mismo. No solo un camino: la única forma de saber si ha encontrado el mejor camino es encontrarlos todos .

Afortunadamente, los sensores todavía funcionan en su mayor parte, por lo que construye un mapa aproximado de las cuevas restantes (su entrada de rompecabezas). Por ejemplo:

start-A
start-b
A-c
A-b
b-d
A-end
b-end

Esta es una lista de cómo están conectadas todas las cuevas. Empiezas en la cueva nombrada start y tu destino es la cueva nombrada end. Una entrada como b-d significa que la cueva b está conectada a la cueva d, es decir, puede moverse entre ellas.

Entonces, el sistema de cuevas anterior se ve más o menos así:

      start
     /      \
c--A-----b--d
     \      /
      end

Su objetivo es encontrar la cantidad de caminos distintos que comienzan en start, terminan en end y no visitan pequeñas cuevas más de una vez. Hay dos tipos de cuevas: cuevas grandes (escritas en mayúsculas, como A) y cuevas pequeñas (escritas en minúsculas, como b). Sería una pérdida de tiempo visitar una cueva pequeña más de una vez, pero las cuevas grandes son lo suficientemente grandes como para que valga la pena visitarlas varias veces. Por lo tanto, todos los caminos que encuentres deben visitar cuevas pequeñas como máximo una vez , y puedes visitar cuevas grandes tantas veces como quieras .

Dadas estas reglas, hay 10caminos a través de este ejemplo de sistema de cuevas:

start,A,b,A,c,A,end
start,A,b,A,end
start,A,b,end
start,A,c,A,b,A,end
start,A,c,A,b,end
start,A,c,A,end
start,A,end
start,b,A,c,A,end
start,b,A,end
start,b,end

(Cada línea en la lista anterior corresponde a un solo camino; las cuevas visitadas por ese camino se enumeran en el orden en que fueron visitadas y separadas por comas).

Tenga en cuenta que en este sistema de cuevas, la cueva d nunca es visitada por ningún camino: para hacerlo, la cueva b debería ser visitada dos veces (una en el camino a la cueva d y una segunda vez al regresar de la cueva d), y dado que la cueva bes pequeña, esto No se permite.

Aquí hay un ejemplo un poco más grande:

dc-end
HN-start
start-kj
dc-start
dc-HN
LN-dc
HN-end
kj-sa
kj-HN
kj-dc

Los 19 caminos a través de él son los siguientes:

start,HN,dc,HN,end
start,HN,dc,HN,kj,HN,end
start,HN,dc,end
start,HN,dc,kj,HN,end
start,HN,end
start,HN,kj,HN,dc,HN,end
start,HN,kj,HN,dc,end
start,HN,kj,HN,end
start,HN,kj,dc,HN,end
start,HN,kj,dc,end
start,dc,HN,end
start,dc,HN,kj,HN,end
start,dc,end
start,dc,kj,HN,end
start,kj,HN,dc,HN,end
start,kj,HN,dc,end
start,kj,HN,end
start,kj,dc,HN,end
start,kj,dc,end

Finalmente, este ejemplo aún más grande tiene 226caminos a través de él:

fs-end
he-DX
fs-he
start-DX
pj-DX
end-zg
zg-sl
zg-pj
pj-he
RW-he
fs-DX
pj-RW
zg-RW
start-pj
he-WI
zg-he
pj-fs
start-RW

¿Cuántos caminos a través de este sistema de cuevas hay que visitan pequeñas cuevas como máximo una vez?

Que se diviertan !!!

Saludos

7
Computación e Informática / Advent of Code 2021 Problema 9.
« en: 09 Diciembre, 2021, 09:54 am »
Primero introduces los datos en una matriz de n por m (5x10).
Fabricas un bucle doble para recorre la matriz
Le sumas o restas 1 a la posición o bien en horizontal  solamente o bien vertical (4 casos)
Chequeas que la posición pertenece a la matriz si es correcto , cuentas 1 en la  variable a y chequeas que el valor almacenado en esa ubicación sea mayor que el de la ubicación original. Si es correcto cuentas uno en la variable b.
Si luego a y b coinciden el punto es un pozo.
Y cuentas uno en c , almacenas en un array el valor del punto en la posición c.
Terminado de analizar los 50 puntos , sumas los valores en el array y sumales c.


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Moderación. Se han movido aquí los mensajes relativos al problema 8 del advent of code 2021. Aquí el hilo original.



8
Teoría de números / Conjetura Riemann: enfoque estadístico.
« en: 25 Noviembre, 2021, 01:59 am »
Habrá tenido mejor suerte esta gente


https://www.lavoz.com.ar/ciudadanos/un-famoso-enigma-matematico-de-150-anos-tiene-solucion-fisica/?outputType=amp

No veo ningún link al artículo o paper publicado así que no se si es click bait...


Pero si el tema tiene tela para cortar espero algún comentario en este u otro hilo
.

9

Repito la pregunta del titulo :el limite de una sucesión es un elemento mas de la sucesión, o sea el límite esta incluido en la sucesión?.

En una sucesión de infinitos elementos que aparentemente converge a un valor entero dado, es este valor un elemento mas de la sucesión, para mí no , pero no estoy seguro.

Como ejemplo  la sucesión de elementos  \( x=2-\dfrac kn  \)  cualquiera sea \( k \) en el limite de \( n \) tendiendo a infinito la sucesión aproxima a 2, pero es 2 un elemento mas de la sucesión?

10
Cálculo 1 variable / Limite de un sumatorio
« en: 05 Junio, 2021, 04:05 am »

Hola, como va , estoy interesado en que me indiquen alguna vía de resolución  para el siguiente problema

en un problema de física tengo un ratio

\( \dfrac{r_2}{r_1}=x \)  donde el valor de \( x \) no es importante en primera medida

pero si lo que es importante es la subdivisión de ese ratio

\( k=\sqrt[n]{x} \)      ec1

digamos que voy a partir algo en \( n \) trozos pero cada trozo es más grande que en el anterior en una tasa k

así defino variables que son

\( a_i=\dfrac{1+k}{2}k^{i-1} \)

\( r_i=k^{i-1} \)

lo que me interesa calcular o ver es cómo varia un sumatorio en función de como cambia \( n \), el exponente del radicando de la ecuación 1 , que a la vez incrementa el número de términos intermedios del sumatorio.

el sumatorio tiene  dos términos (el inicial y el final) especiales y distintos a los que son iterativos de los que se puede usar una fórmula de recurrencia.


\( \displaystyle F= \left |\sqrt{\frac 2{r_1}-\dfrac{1}{a_1}}-\sqrt{\dfrac{1}{r_1}}\right |+\sum\limits_2^{n-1}  \left |\sqrt{\frac 2{r_i}-\dfrac{1}{a_i}}-\sqrt{\frac 2{r_i}-\dfrac{k}{a_i}}\right |+\left |\sqrt{\frac 2{r_2}-\dfrac{1}{a_n}}-\sqrt{\dfrac{k}{r_2}}\right | \)


busco  el limite de F cuando \( n \) se vuelve grande \( 1000<n<1000000 \), no necesariamente infinito, me interesa saber si puedo hallar un tipo de asíntota o convergencia que salga matemáticamente, porque por programación  numéricamente lo he hecho y hay un límite a la precisión, no me convenzo de lo que obtengo.

Gracias por su atención y anticipadas por cualquier tipo de colaboración.

Spoiler
por si les interesa de que va la cosa en física


trato de averiguar cuanto es el maximo ahorro energetico para cambio de órbitas satelitales, con un numero variable de semi órbitas elípticas , entre dos circulares inicial y final.




[cerrar]



11
Temas de Física / Colisión elástica en dos dimensiones
« en: 20 Mayo, 2021, 01:26 am »

Buenas Richard,
Tal vez, si tienes ganas, puedes plantear algún problema simple de 2 cuerpos, yo lo resuelvo con métodos "tradicionales" y tu con masa reducida, luego comparamos si es en verdad o no mas simple.



Bueno aquí va,

Una esfera de masa \( 3m \)  es lanzada con velocidad \( v_1 \) hacia otra esfera de masa m de igual radio R que se halla en reposo , durante la colisión la recta que une los centros de masa presentan un ángulo de 45° respecto a la  direccion de la velocidad \( v_1 \)  suponiendo la colisión totalmente elástica..

calcular el módulo, dirección y sentido, de la velocidad relativa de las masas luego de la colisión   

a) desde un sistema de referencia estático externo.
b) desde un sistema de referencia que se desplaza a la velocidad del centro de masas del conjunto.
c) te animas a resolver el mismo problema si la colisión es totalmente inelástica.

Que lo disfrutes,  sirva para fijar conocimiento a ti y a quien lo lea , cualquier duda comenta.

Saludos
Pd cualquier observación sobre el contenido es bienvenida. gracias

12
Una misión  espacial sobre un cohete.

La idea de esta y las siguientes entradas relacionadas es brindar los fundamentos básicos físicos,un compendio de información de diversas fuentes, para entender la complejidad matemática de la modelización y cálculo de trayectorias de vehículos impulsados por motor cohete. No voy a entrar en el diseño de los motores sino que daré por descontado que podríamos disponer de los datos básicos experimentales   como masa, volumen,  potencia, consumos, velocidad media de los gases expulsados etc, para cada ejemplo propuesto.

1)    El modelo sencillo: un sistema de masa variable.

Cuando  queremos describir el movimiento de los cohetes por medio de la mecánica Newtoniana, lo hacemos  en primera medida  por medio  de un '''sistema de masa variable'''.

Un sistema de masa variable , justamente es aquel en el que la masa total  del conjunto de materiales que lo componen  varía con el tiempo. los cohetes pierden una cantidad significativa de masa a medida que queman el combustible, son por supuesto un sistema de masa variable.En estos modelos la segunda ley de Newton \(   \sum F= m a  \)  no se puede aplicar directamente dado que sólo es válida para sistemas de masa constante, por lo tanto, la dependencia de la masa  \( m \) respecto del tiempo \( t \), se puede calcular reescribiendo la segunda ley de Newton añadiendo un término que considera el momento lineal de la  masa que entra o sale del sistema.
Entonces, la ecuación general de movimiento de una masa variable, puede escribirse como:

\(   \vec F_{ext} + \vec v_{rel}\dfrac{d M}{dt} = M \dfrac{d \vec v }{ dt} \)

Donde \( \vec F_ {ext} \) es la fuerza neta externa ejercida en el cuerpo, \( v_{rel} \) es la velocidad relativa de la masa que está escapando (combustible mas comburentes quemados) también llamada  velocidad efectiva de escape  y  denominada como \( v_e \) y por último  \( v \)  es la velocidad del cuerpo del cohete  en un sistema de referencia inercial.Antes de que surja la controversia hay que aclarar que  un sistema de masa variable “no” puede describirse como la derivada respecto del tiempo del producto de la masa con la velocidad, Por dos razones el sistema no es cerrado: como el del cohete que pierde combustible y eyecta gases a distintas velocidades en el  sistema de referencia, no se puede tratar a la masa como una variable en función del tiempo. La fuerza es el cambio en el momento lineal respecto del tiempo. Pero si bien la fuerza sigue siendo el cambio de momento lineal, el momento ya no puede describirse como el producto de masa con la velocidad, sino que se agrega un término nuevo , resultando que se no respeta la invariancia galileana la cual sostiene que un objeto de masa variable con \(   F=0  \) en un marco de referencia inercial, tendrá \(   F\neq 0  \) en otro. Así que  no es correcta derivar expresiones a partir de

\( \cancel{\vec F_{net}= \dfrac{d}{dt}\big [ M_{(t)}\vec v_{(t)}\big ] = M_{(t)} \dfrac{d\ vec v}{dt} + \vec v_{(t)} \dfrac{dM}{dt}} \)

Voy a tratar de  obtener y resolver la ecuación de movimiento de un cohete considerando las ´ fuerzas externas que actúan sobre  él  la función obtenida será dependiente de la variable tiempo. Para estos sistemas tenemos que partir de la forma más general posible de la segunda ley de newton, permitiendo que actue una fuerza externa  \(    \vec F_ { ext} \) en el sistema. Esta fuerza no es la fuerza que impulsa al cohete (la cual es una fuerza interna para el sistema ), si no es mas bien la fuerza producida de ´ algún agente externo al sistema, que pueden ser la fuerza de ´ gravedad que ejerce la tierra o el rozamiento con el aire. Entonces la segunda ley puede expresarse como:

\(    \vec F_ { ext} = \lim\limits_{ \Delta t \to 0} \dfrac{\Delta P}{\Delta t} \)

Hagamos la siguiente consideración el cohete esta en el espacio ingrávido, se cumple la primera ley de Newton que dado un determinado marco de referencia el cohete puede estar en reposo o moverse en MRU a velocidad constante.  Así la cantidad de movimiento inicial del cohete es \(  p_i=Mv_i   \)
Luego  En el intervalo de tiempo \(  \Delta t   \), ocurrirá  un cambio del momento lineal \(  \Delta P   \)
Sabemos que un instante de tiempo posterior \(  \Delta t   \), la masa que originalmente había M ha arrojado cierta cantidad de masa \( - \Delta M   \). La masa restante \(  M +\Delta M  \),  se mueve ahora con una velocidad \(    v + \Delta \vec v \).

Como \(  \Delta P = \vec p_f – \vec p_i \) . Donde  \(  \vec p_f  \)es el momento final del sistema , en el instante de tiempo \( t + \Delta t  \), y \( p_i \) el momento inicial en el instante  \( t \), entonces

\(  \vec p_f = (M + \Delta M)( \vec v + \Delta \vec v) + (−\Delta M) \vec u  \),

El cambio del momento es
\( \Delta \vec P = (M + \Delta M)( \vec v + \Delta \vec v) + (−\Delta M) \vec u − M\vec v \).

Sustituyendo la expresión  del  cambio del momento en la ´primer ecuación, obtenemos

\( \sum \vec F_ {ext}=\lim\limits_{\Delta t \to 0} M \dfrac{\Delta \vec v }{\Delta t} + \vec v\dfrac{\Delta M}{\Delta t} + \overbrace{\Delta \vec v \dfrac{\Delta M}{ \Delta t}}^{=0} – \vec u\dfrac{\Delta M }{\Delta t} \)

De lo que se obtiene:

\( \sum  \vec F_ {ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + (\vec v –\vec u) \dfrac{dM}{ dt} \)

podemos identificar que el primer término \( d\vec v/dt \) es la aceleración del sistema  cuando empieza a perder masa a una velocidad \( \vec u \) a una tasa de \( |dM /dt| \)
Para ver si en verdad la expresión es la versión mas general de la segunda ley de Newton, basta con identificar algunos términos y ponerlos como la derivada del producto de las funciones de v y M.
Para así obtener:
\( \vec F_{ext}= \dfrac{d (M\vec v)}{dt} −\vec u\dfrac{dM}{ dt}  \)

Llamando velocidad relativa de  los gases  respecto al cohete a
\( \vec  u_{rel}= \vec v- \vec u \)

Así que podemos escribir la ecuación como:
\( \vec  F_{ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec  u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \) .
Cuando el cohete esta en el espacio ingrávido la sumatoria de fuerzas exteriores al sistema es nula \( \vec  F_{ext}=\vec 0  \)
Por lo que trabajando con modulos ahora
\( 0 = M \dfrac{d v}{ dt} +   u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)

Luego \( M \dfrac{d v}{ dt} =-   u_{rel} \dfrac{dM}{ dt} \)

\(  \dfrac{d v}{ dt} =-   u_{rel} \dfrac{dM}{ M dt} \)

Si sabemos que M es en todo momento \( M=M_o-Ct \) donde \( C \) es el consumo de másico de combustible mas comburente del cohete.
Entonces

\( \dfrac{dM}{dt}=-C \)

\( \displaystyle \int_{v}^{v_o} d v=-   u_{rel}\int_{Mo}^{M} \dfrac{dM}{ M } \)

\( v-v_o=-u_{rel}\ln\left|1-\dfrac{C}{M}t\right|  \)

Así tenemos la velocidad en función el tiempo , de modo similar obtenida a la ecuación del cohete de Tsiolkovski 

Si queremos saber la posición entonces hacemos \( v=\dfrac{dy}{dt} \) y volvemos a integrar

\( y(t)=y_o+(v_o+u_r)t+u_r\dfrac{M_o-Ct}{C}\ln{\left|1-\dfrac{C}{M}t \right |} \)


Dejo para los interesados Probar la veracidad de las ecuaciones o mejorar la deducción aclarando los pasos intermedios.

Próximos temas


1.    El modelo sencillo: un sistema de masa variable.   

2.     Un modelo con gravedad 
3.     Un modelo con fricción.   
4.     Un modelo con gravedad variable   
5.     Un modelo con fricción variable, aerodinamía.   
6.     Argumentos para optimizar.   
7.     Ventanas de lanzamiento,fuerzas ficticias, navegación   
8.     Orbitas, definiciones, estimación, formulación.   
9.     Leyes de conservación, que se conserva y que no.   
10.   Consumo energético para el cambio de orbitas   
11.   Orbitas de transferencia   
12.   Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.   
13.   Puntos de Lagrange de un sistema binario de tres cuerpos   
14.   Asistencia gravitatoria
15.   Reentrada atmosférica.
16.   Una pincelada relativista

Pd No se porque es tan dificil y cambiante el formateo del texto escrito en RM. quitar esos
[size] que aparecen por doquier [/size]

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Dudas y sugerencias del foro / PI en rojo
« en: 30 Noviembre, 2020, 05:30 pm »
Cual es el significado de los símbolos Pi en rojo, debajo del nombre de usuario, en cada respuesta del foro, intuyo es algo relacionado el nivel de participación, por comparativa entre usuarios , aunque no estoy seguro, pero si curioso por saber.

14
Si un usuario prefiere que varios mensajes de un hilo, pasen a otro hilo, por ej ... Como se pide para que lo evalúe un moderador

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Teoría de números / Conjetura Goldbach por el absurdo
« en: 24 Diciembre, 2019, 03:23 am »
Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Esto es muy fácil, así que omití o erré en algo  obvio, pero dónde?

16
Teorema de Fermat / UTF por fuerza bruta !!! re bruta...
« en: 19 Diciembre, 2019, 02:32 am »
Hola, se me a ocurrido la feliz idea de probar unos algoritmos de suma ,resta, multiplicación y división, para números muy grandes, ahora que me creo un poco más ayornado intentar con el UTF, a ver que pasa y analizar los datos que arroje .

Pero me pregunte...porque probar con todos los números y cada uno de los \(  x,y,z , n\in \mathbb N \) si es posible, eliminar de la lista unos cuantos, e ir a los que si tienen soluciones posibles.

Para eso  me he planteado como desarrollar números que tengan dicha posibilidad.

0)eliminemos  lo obvio

\( n>2 \)
\( x,y,z\geq1 \)

1) Si \( x^n+y^n=z^n \Longleftrightarrow{}\dfrac{x^n}{z^n}+\dfrac{y^n}{z^n}=1=\left(\dfrac{x}{z}\right)^n+\left(\dfrac{y}{z}\right)^n \)

2)por aritmética modular tenemos \( n\cdot x \mod z+n\cdot y \mod z\equiv{}1 \mod z \)

3) entonces \(  \exists K,a,b \in \mathbb N / \quad n(x+y)=b=a(zK+1) \)

4) sabemos que \( z>x \) y que \( z>y \) y que como\(  x\neq y \) porque el 2 no tiene raíz enésima entera, podemos limitar la búsqueda a \( x<y \) ya que es indistinta una solución \( x=x_o \) y \( y=y_0 \) que \( x=y_0 \) e \( y=x_0 \)

5) si \( n(x+y) \) es \( 0\mod n \) entonces \( K \) es \( \dfrac{n-1}{z} \mod n \)

lo que me indica que  debo hacer una búsqueda tal que

mi variable será z como un contador empiezo en \( z=2\Rightarrow{ } \)  y \( n>3 \) , pero la idea es solo probar para \(  Kz+1 \equiv{}0 \mod n \forall K\geq 1 \) osea para valores

\( b=\dfrac{a}{n}(Kz+1) \) donde \( n|a \)

luego tenemos \( x+y=b \) y haría un bucle en \( y \) desde 2 a \( b/2 \) donde tomando \( x=b-y \) y probando sobre la fórmula del teorema...\( x^n+y^n=z^n \) para ver si la pego!!! ;D

bueno por lo pronto quisiera saber si hay error troncal.... en eliminar de este modo al resto de los candidatos a solución, o me pierdo una parte importante.

también quisiera saber  hasta donde se ha probado por fuerza bruta, es decir para que el intento tenga sentido, espero que sea menor al millón de cifras... digamos una 10-20 cifras talvez ... :-\



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Teoría de números / Número perfectos impares ...existen o no?
« en: 21 Octubre, 2019, 04:50 am »
Gracias a lo conversado en el hilo http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110944.0

He podido modificar parte del desarrollo de un artículo de Blog que publicara en otra web, de la cual ahora hago copia.


Al no ser matemático de carrera, desconozco el rigor necesario para una demostración, pero para eso presento esta entrada, esperando que se me indique donde mi razonamiento falla, y si no es posible, entonces si habré demostrado que es no posible que existan números perfectos impares.

Para los que no sepan que es un número perfecto daré la definición:

Una primera aproximación sería un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

Pero qué es un divisor propio positivo, bueno es otro número también entero que es divisor de otro natural \( N \), pero que es diferente de \( N \).

Los divisores de \( N \) como el \( 1 \) y \( N \) se los llaman impropios.

Pero una mejor definición de Número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos...más el impropio \( 1 \)

Un ejemplo sencillo de número perfecto es el \( 6 \) ya que es el producto de \( 1\cdot 2\cdot 3 \) y esos tres números el \( 1 \), \( 2 \) y \( 3 \) son los divisores propios e impropios que no son el mismo \( 6 \).
Luego al sumar todos ellos \( 1+2+3=6 \) también tenemos como resultado al número perfecto.

Existen otros números perfectos como el \( 28 \) que es \( 2^2\cdot 7=1+2+4+7+14=28 \) pero de los \( 51 \) que se encontraron la actualidad todos ellos son pares.

Los desafíos matemáticos abiertos sobre esta temática son:
Demostrar que los números perfectos son infinitos en cantidad.
Que se encuentre uno que sea impar o bien se demuestre que no existe ninguno.
Este último desafío me cautivó y empecé a dedicarle un poco de tiempo, con lápiz y papel.

Veamos si he podido sacarle el jugo...

Un número perfecto es el que cumple que

\( N= \displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

los \( P_w \) son números primos resultantes de la descomposición en factores primos de \( N \)
y los \( e_w \) son los exponentes a los cuales esta elevado el número primo \( P_w \)

Donde el segundo término de la igualdad es la representación del número perfecto como la productoria de todos los factores primos en que se puede descomponer el Número perfecto, cada uno elevado a su respectivo exponente. El tercero consta de la agrupación en dos sumandos, de todos los factores propios y no propios posibles de obtener como permutación de los factores primos elevados como máximo a la respectiva potencia dentro de la productoria y el otro sumando de valor negativo es la multiplicación de todos los factores primos a la máxima potencia. Si se desarrolla la primer serie de sumandos se ve que para eliminar de la lista el propio valor \( N \) hace falta restarlo y es lo que se hace con el último sumando

Otra forma más sencilla de desarrollar la expresión es

\( 2N= 2\displaystyle\prod\limits_{w=1}^nP_w^{e_w}=\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)

Es sencillo darse cuenta que si cualquier \( P_w \) se le asigna el número primo \( 2 \) entonces el número perfecto buscado será par, luego el primo \( 2 \) y al \( 1 \) por razones obvias ,no los vamos a considerar en como posibles valores de \( P_w \) de la productoria.

También podemos prestar atención que la cantidad de sumandos del tercer término de la última ecuación, deberá ser par para que haya una solución posible, esto es que

\( (e_1+1)\cdot(e_2+1)\cdot....(e_n+1) \) sea par .... Luego es necesario que alguno de los \( e_w \) sea impar para que haya solución,(esto reduce las combinaciones posibles de búsqueda por fuerza bruta), pero no nos será de mucha utilidad si queremos avanzar en una demostración general.

Un resultado previo

Analicemos si el sumatorio de un primo elevado a todos los exponentes entre \( 0 \) y \( n \) es menor mayor o igual que ese primo elevado a un exponente una unidad mayor a \( n \).. en fórmulas

\( P^{n+1}\gtreqqless P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)

La finalidad es analizar siempre que \( n>0 \)

Es fácil observar que si \( P=1 \) el resultado es que el símbolo a usar en la ecuación es el \( < \) para todo \( n>0 \).

\( 1^{n+1}< 1^{n}+1^{n-1}+1^{n-2}+....+1^{1}+1^{0} \)


También que si \( P=2 \) el resultado es que el símbolo a usar es el \( > \) para todo \( n\geq1 \).

\( 2^{n+1}> 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

Porque a la vez sucede que

\( 2^{n+1}-1= 2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

por lo que

\( 2\cdot2^n-1=2^{n}+2^{n-1}+2^{n-2}+....+2^{1}+2^{0} \)

luego \( \displaystyle 2\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w}\cdot2^n=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}2^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}= \)\( \displaystyle\left(2^{n+1}-1\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\right) \)

llamando \( Q=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

y \( R=\displaystyle\prod\limits_{w=2}^nP_w^{e_w} \)


\( 2N=\displaystyle 2R\cdot2^n=\left(2^{n+1}-1\right)Q \)

luego

\( R\cdot2^{n+1}=2^{n+1}Q-Q=^{n+1}Q-Q \)

\( Q=2^{n+1}\left( Q-R\right) \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{Q}{Q-R} \)

mientras se cumpla esta relación habrá soluciones de números perfectos pares...

ej \( p_2=3 \)

\( Q= (1+3)=4 \)

\( R=(1*3)=3 \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{4}{4-3}=4\quad\to\quad n=1 \)

\( N=1\cdot2^1\cdot 3=2^03^0+2^13^0+2^03^1+2^13^1-1\cdot2^1\cdot 3=6 \)

Del mismo modo

\( p_2=7 \)

\( Q= (1+7)=8 \)

\( R=(1*7)=7 \)

\( 2^{n+1}=\dfrac{8}{8-7}=8\quad\to\quad n=2 \)

\( N=1\cdot2^2\cdot 7=2^07^0+2^17^0+2^07^1+2^17^1+2^27^0+2^27^1-1\cdot2^2\cdot 7=28 \)

dicha relación se puede comprobar seguro con los 49 números perfectos pares restantes conocidos.

Por eso el primo \( 2 \) a partir de ahora no lo vamos a utilizar en el análisis posterior que limitaremos a sólo primos mayores o iguales a \( 3 \) pero bien vale tener en cuenta sus resultados.

Entonces para \( P\geq3 \) para todo \( n\geq1 \) siempre sucede que

\( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i \quad \forall P\geq3 \wedge n\geq1  \)

luego al multiplicar en los dos lados por un primo arbitrario \( P_2  \) sigue cumpliéndose

\( P_2\cdot P_1^{n+1}> P_2\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)

\( P_2^m\cdot P_1^{n+1}> P_2^m\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P_1^{i} \)

\( P_2^{m+1}\cdot P_1^{n+1}> \left(\displaystyle\sum \limits_{j=0}^m P^j\right)\cdot \left(\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n P^i\right)=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^n\sum \limits_{j=0}^m P_2^j\cdot P_1^i\quad \Longleftrightarrow \quad \forall P_i\geq3 \)

esto se puede generalizar para la multiplicación de cualquier otro primo


\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w+1}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}\Longleftrightarrow \quad \forall P_w\geq3
 \)

Otro resultado útil es

si \( P^{n+1}> P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0} \)

entonces \( P^{n+1}+P^{n+1}=2P^{n+1}> P^{n+1}+P^{n}+P^{n-1}+P^{n-2}+....+P^{1}+P^{0}=\displaystyle\sum \limits_{i=0}^{n+1} P^i \)

es posible hacer el cambio de variable en los sumatorios cambiando la variable n por una unidad inferior si \( t=n+1 \) quedaría


\( 2P^{t}> \displaystyle\sum \limits_{i=0}^{t} P^i \) y luego reemplazar \( t \) por cualquier otro símbolo

aqui ya no hay una relación dependiente del numero 2, donde despejar \( n \)

ahora es más fácil ver que

\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w\color{red}{\cancel{+1}}}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k} \)

luego que

\( 2 \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
 \)

quedando

\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-\displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}
 \)

y sabiendo que \( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}=P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n} \)

\( \displaystyle\prod\limits_{w=1}^{n}P_{w}^{e_{w}}>\sum\limits_{i=0}^{e_1}\sum\limits_{j=0}^{e_2}....\sum\limits_{k=0}^{e_n}P_1^{i}\cdot P_2^{j}\cdot....\cdot P_n^{k}-P_1^{e_1}\cdot P_2^{e_2}\cdot....\cdot P_n^{e_n}
 \)

He llegado a que siempre la productoria de números primos mayores a \( 2 \) elevados a cualquier exponente es mayor que la sumatoria de todos sus factores propios más el \( 1 \) que surge naturalmente de la productoria de primos elevado a exponente cero.

Conclusión no puede existir un número perfecto impar.... ya que no hay forma de lograr la igualdad de términos si los primos son mayores o iguales a \( 3 \) y los exponentes mayores o iguales a \( 1 \).


Esta demostración, si se puede llamar así, me ha resultado fácil, me temo que seguramente el ojo entrenado de los matemáticos del foro verán dónde me se halla algún error importante, que la rigurosidad necesaria no se cumpla, que desvirtúe la lógica y lo haga falaz.

De hecho de la crítica  a la primera lectura, he podido mejorar mi original y llegar a este desarrollo, espero que los errores que queden sean de forma y no de fondo, o viceversa y todo quede en la nada.


Gracias por tomarse el tiempo leerme y mucho mas agradecido, de que me cuenten su parecer.


*Modificado luego del recordatorio de Luis Fuentes...



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Teoría de números / Número perfectos impares
« en: 17 Octubre, 2019, 05:36 am »
He visto y leído que los números perfectos que se conocen, son solo 51, todos ellos pares y siguen algún tipo de regla de construcción, respecto de potencias de primos.

Según entendí hay dos temas abiertos, al momento de la lectura y vista de un video eran

1) Demostrar que los números perfectos pares, son infinitos....

2) Encontrar un número perfecto impar o bien demostrar el porque no hay números perfectos impares.

respecto a esto último alguien lo ha logrado esto últimamente?
hay trabajos respecto a este tema aquí en el foro?

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Teoría de números / Números Primos, acotación de gaps
« en: 13 Octubre, 2019, 09:03 pm »
Hola, saludos a todos, este es mi primer mensaje.

Quisiera  si es posible me expliquen la definición de cota general a los gaps entre números primos.

Creo que por definición un gap es la diferencia entre dos números primos consecutivos,  dada esta definición es obvio que existe siempre un número primo superior, que es mayor al tamaño del gap...por ende sabemos que tiene cota.

Bien pero también sabemos que el contable del conjunto de los números primos es infinito y aplicando la definición de infinito como " un número tan grande como yo quiera" ,me pregunto cual es la cota para los gaps en dicho conjunto.

Bueno mi respuesta sería un número tan grande como yo quiera, por lo tanto es infinito, en definitiva los gaps como conjunto no tienen cota.

Entiendo claramente que dado un conjunto de números primos de \( N \) elementos , entonces si existe una cota para los \( N-1 \) gaps que se pueden formar...

La pregunta es porque ese paso de lo particular a lo general , hace que que conjunto no tenga cota...


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