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Temas - Ariel Fernández

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1
Buenos días. Les informo que hay problemas para acceder a los links para practicar la escritura con LaTex. No sé que estaría ocurriendo.
Saludos

2
Buenas noches. Sabemos que una función constante, de reales en reales, es continua en la topología usual de \( \mathbb{R} \). Sabemos que una función que va de un espacio topológico a otro es continua cuando la preimagen de todo abierto del espacio codominio es abierta en el espacio dominio. Entonces sea \( f(x)=c \), donde \( c\in{\mathbb{R}} \). Es claro que esta función convierte cualquier intervalo abierto \( (a;b) \) del dominio en el conjunto {\( c \)}. Pero, si tomamos un abierto \( (a;b) \) del codominio, su preimagen es {\( \emptyset  \)}, que es abierto. Pero también es cerrado. ¿Cómo se entiende esto? Sé que es un ejemplo típico para mostrar que una función continua no necesariamente envía abiertos en abiertos, pero me hace un poco agua en el caso de analizar su continuidad con este definición. Sé que es algo en lo que seguramente se me está escapando un detalle. Pero bueno... creo que no está demás preguntarlo.

Saludos

3
Buenas noches a todos. Tengo nuevamente una duda teórica referida a la definición de espacio topológico. Sabemos que se deben cumplir tres condiciones para que un espacio \( X \) y una colección de subconjuntos del mismo, llamémosla \( T \), constituyan un espacio topológico. Ahora bien, la pregunta es ¿por qué esos tres? Tengo entendido, por lo que leí, que se deben dar esas propiedades para que sea posible la definición de conceptos como continuidad y límite. Pero eso me parece un poco vago. Me gustaría escuchar alguna explicación más detallada. ¿En qué afectaría, de manera concreta, por ejemplo, que no se cumpla la condición de que la intersección finita  de abiertos debe ser abierta o, de la misma manera, que la unión arbitraria de abiertos también debe estar en T ?

Saludos

4
Buenas noches. Tengo una duda teórica. ¿Si una sucesión es convergente lo es también su serie asociada? ¿Por qué?
Saludos

5
Buenas noches a todos. Me dan el siguiente ejercicio correspondiente al tema de Transformaciones geométricas. Tenemos la matriz de transformación \( \displaystyle T=\begin{bmatrix}{0.5}&{-0.5}&{0}\\{0.5}&{0.5}&{1}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \) y me piden que conteste lo siguiente:
a) ¿Qué rol cumplen los elementos \( a_{13} \) y \( a_{23} \)?
b) Indique una composición de transformaciones tal que el producto de las matrices que la
representan, sea igual a la submatriz \begin{pmatrix}{0.5}&{-0.5}\\{0.5}&{0.5}\end{pmatrix}. Halle dichas matrices y explique
en palabras cada transformación involucrada.

Lo que pienso y sé:
a) Tengo entendido que esos valores representarían la imagen o el transformado  del origen del sistema de coordenadas. 
b) Debo plantear algún sistema de ecuaciones
Sé lo que sería una matriz ortogonal, movimientos en el plano, submatriz asociada, homotecias, semejanzas, y las matrices asociadas a esas transformaciones.
Saludos

6
Álgebra / ¿Cómo calcular la suma de radicales no semejantes?
« en: 26 Marzo, 2022, 03:53 am »
Buenas noches a todos. ¿Cómo contestarían ante la pregunta de cuál sería el procedimiento para calcular la suma de dos radicales que no son semejantes, es decir, que no tienen el mismo radicando? Por ejemplo: \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \). En los textos de secundaria (al menos aquí en Argentina) generalmente nos dicen que sólo podemos calcular la suma de radicales si son semejantes y cuando no lo son "no se puede" sino que se deja expresado como la misma suma nomás. Pues bien, claramente sabemos que esa suma existe, de ahí a que pareciera no existir un método algorítmico para obtener el resultado exacto (tal y como sería una simple suma de 18+15) es otra cosa. Al alumno se le presentan las siguientes dudas: ¿Cómo se entiende que, en estos casos, hay que "dejar expresado así nomás" como una suma? ¿Por qué no procedemos a calcular esa suma? Cuando ponemos en la calculadora esa suma la máquina nos devuelve el resultado: ¿cómo lo hace?. Pues bien, ¿qué me dicen ustedes que se puede contestar a eso?. ¿Podríamos decirle que este tipo de suma se realiza considerando la aproximación por polinomio de Taylor de la función \( f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)
 en el punto \( (2,3)  \) o hay alguna otra explicación más simple?

Saludos

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Topología (general) / Propiedades de Sucesiones
« en: 18 Diciembre, 2021, 04:20 pm »
Hola. Quería que me den su opinión con respecto a esta consigna:

      Analizar la validez de las siguientes afirmaciones

a)   Si trabajamos en espacios métricos, la convergencia de una sucesión depende de la distancia usada.
b)   Si trabajamos en espacios topológicos, una misma sucesión puede converger a valores distintos.

He puesto lo siguiente:
a) falso, porque  la convergencia sólo involucra los entornos de x. Por tanto, al hablar
de convergencia de sucesiones en un espacio métrico E , no es necesario especificar la distancia
concreta d que estemos usando en E , sino solamente la topología que genera

b) Verdadero, ya que cuando el espacio, por ejemplo, no es de hausdorff, la sucesión puede converger a mas de un valor.

Esta bien? Saludos

8
Hola a todos. Nuevamente un problema de topología (voy poniendo cada uno como nuevo tema, creo esto es lo correcto, si no es así me avisan por favor).

"Sea C un subconjunto de los reales formado por unión de intervalos de tal forma que: \( C=[0,1]U(2,3) \). Sea \( T=\{C\}U\{Ai/1\notin Ai\} \).

a) ¿ Es \( (C,T \)) un espacio topológico?
b)¿Es \( (C,T) \) conexo?
c)¿Es\(  (C,T) \) compacto?

Mis respuestas:

a) Sí es un espacio topológico. Por definición C esta en la topología y el \( \emptyset \) también, ya que \( 1\notin \emptyset \). Así cumple la primer propiedad. ¿Cómo demostraría las otras dos?

b)No es conexo porque puedo encontrar una separación del conjunto uniendo dos abiertos disjuntos que me dan todo C. Eso abiertos serían los propios intervalos \( [0,1] \) y \( (2,3) \) ya que cada uno es abierto en la topología inducida por la usual de\(  R \) en \( C \) (ambos intervalos pueden escribirse como una intersección de un abierto de \( R  \) con C).

c) Sí es compacto porque puedo tomar siempre subcubrimiento finito de C los propios intervalos \( [1,0] \) y \( (2,3) \) (esto último no sé si estará del todo bien, porque la definición de compacto en espacios topológicos más bien dice que TODO recubrimientos de abiertos debe admitir un subrecubrimiento finito). ¿Podrían ayudarme?

Saludos

9
Topología (general) / Justificar Conexidad y Compacidad
« en: 18 Julio, 2021, 01:51 am »
Hola a todos. Comparto el siguiente ejercicio y lo que escribí para controlar si está bien.

" Sea \( S \) el subconjunto de los números reales formado por todos los números de la forma \( \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{m} \) con \( n = 1; 2; 3;…; m = 1; 2; 3 \);…(es decir \( n \) y \( m \) naturales).  Determinar si dicho subconjunto es abierto o cerrado (en la topología usual), justificando su respuesta."

Para mí no puede ser abierto porque ninguno de sus puntos es interior. Toda bola abierta centrada en algún punto de S no está totalmente incluida en el mismo. Luego para que sea cerrado debería contener a todos sus puntos de acumulación, pero se me hace que cualquier numero irracional sería punto de acumulación. Pienso en graficar el conjunto, pero si n y m pueden tomar cualquier valor natural, entonces tendría una infinidad de puntos. ¿Qué me podrían decir?
Saludos

10
Topología (general) / Conjuntos Frontera y Homeomorfismo
« en: 16 Julio, 2021, 04:59 am »
Buenas noches a todos. Nuevamente tengo aquí una serie de afirmaciones donde debo justificar su falsedad o veracidad:

 a) ¿Es verdad que la frontera de un conjunto A está formada necesariamente por
puntos de acumulación de A?
b) Suponga que x es un punto frontera de A pero no pertenece a A ¿es
necesariamente punto de acumulación de A?
c) Sea \( R^3 \) con la topología usual, dado el punto (1, 0, 1) \( ∈ R^3 \) hallar su frontera.
d) Hallar la frontera de \( R^3 \)
con la topología usual.
e) Analizar si son homeomorfos los conjuntos \(  A=[0,1) \) y \( B=\{(x,y)\in{R^2}/0<x\leq{1}\wedge y=sen (1/x)\} \)

Lo que pienso:
a) Es falso porque un punto aislado es un punto frontera pero no necesariamente  de acumulación. Si tengo el conjunto \( A=(0,1)U \{2\} \) entonces \( \{2\} \) es un punto frontera porque todo abierto que contiene a dicho punto tiene intersección no vacía tanto con A (tendría en común ese único punto) como con su complemento. Pero no es punto de acumulación porque todo abierto U que contiene a \( \{2\}  \)menos dicho punto, tiene intersección vacía con A.  (En R con la topo usual)

b) Mi intuición me lleva a pensar que si es punto frontera entonces todo abierto que contiene a dicho punto tiene intersección no vacía con A y con su complemento. Luego, no puede ser un punto aislado porque al no pertenecer el punto al conjunto A , entonces tendría intersección vacía con él, por tanto debe ser de acumulación. (Me guío del hecho de que la definición de punto frontera con el de acumulación solo varía en que en un caso el entorno incluye al punto y en el otro lo excluye).

c) Su frontera sería el propio punto \( (1,0,1) \). Cualquier vecindad alrededor de un punto distinto al mismo tiene intersección vacía con el complemento.

d) Su frontera sería vacía, porque la intersección con el complemento sería vacía

e) La verdad que he intentado ver si hay alguna propiedad topológica que se cumpla en un espacio y no en el otro para decir que no son homeomorfos, pero de momento no me está funcionando. Por ejemplo el conjunto A no es compacto, pero B tampoco lo es (por cierto veo que el conjunto B es una restricción de la curva seno del topólogo). A es conexo y B también. Si quito un punto de A tengo dos componentes conexas, lo mismo sucede con B. Se me acaban los invariantes topológicos (¿la cardinalidad? ¿ el genero?). Si son homeomorfos debería dar el homeomorfismo, pero sé que no  hay un método general que permita hallarlo, por eso es siempre más difícil probar que dos espacios son homeomorfos que el que no lo son.
Saludos

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Análisis Matemático / Topología- Compacidad y Conexidad
« en: 12 Julio, 2021, 03:55 pm »
Buenos días a todos. Tengo este problema que me gustaría compartirlo con ustedes para escuchar sus opiniones. 
"Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones. Demostrar las que son verdaderas y dar un contraejemplo sencillo para aquellas que son falsas.

 a) Si  \( f:D\rightarrow{S^1} \)es continua y sobreyectiva entonces D es compacto.

 b) Si A es un conjunto incluido en R con más de un punto y tal que su interior es vacío, entonces A es no conexo.

 c) Todo conjunto incluido en los reales con la topología cofinita es compacto.

 d) Si Y no es conexo y \( f:D\rightarrow{Y} \) es una función continua y sobreyectiva, entonces D no es conexo. "

Con respecto al punto a puedo decir que si f es sobreyectiva entonces \( f(D)=S^1 \) ya que si es una función  sobreyectiva entonces su conjunto imagen debe coincidir con su codominio. Y si es continua, la preimagen de todo abierto de \( S^1  \)(que no me queda claro cómo serían esos abiertos en ese espacio) debe ser un abierto de \( D \).

Con respecto al punto b tengo duda sobre cuál sería nuestro espacio topológico (supuestamente si no nos dicen eso se tiene que sobreentender la topología usual de R) Suponiendo la topología usual de R (y no la métrica usual porque no me dice tampoco que el espacio sea métrico).

Lo demás no me queda muy en claro cómo demostrarlo.

Saludos

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Buenas noches a todos. Nuevamente tengo un ejercicio de integrales indefinidas que la debemos hacer por fracciones parciales. En una última intervención habíamos considerado que cada vez que el polinomio denominador tenía raíces reales múltiples, debíamos elevar el factor (x-a), con a igual a una raíz, hasta un exponente igual al numero de orden de multiplicidad de la raíz.  Pues ahora tengo lo siguiente:
\( \displaystyle\int_{}^{}\dfrac{5+x}{x^{3}-6x^{2}+9x} \). Las raíces del denominador son x=0 y x=3 (dos veces). Pues siguiente la teoría hacíamos lo siguiente:
\( \displaystyle\int_{}^{}\dfrac{A}{x-3} \)+\( \dfrac{B}{{(x-3)}^{2}} \)+\( \dfrac{C}{x} \). Pero encuentro que el sistema de ecuaciones que se me forma nuevamente se me anula todo. ¿Podrían decirme que me está faltando?
Saludos

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Buenas noches. Tengo una duda sobre la siguiente integral que me piden la resuelva por fracciones simples: \( \displaystyle\int \dfrac{-4x-6}{x^{2}+2x+1} \). El problema es que cuando intento resolver el sistema de ecuaciones me queda indeterminado.
Saludos

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Análisis Matemático / Polinomio de Taylor
« en: 19 Junio, 2021, 05:50 am »
Buenas noches a todos. Con mi tía tenemos una duda con respecto al siguiente ejercicio que dice lo siguiente:
Dado \( f(x)=x^3+\displaystyle\int_{1}^{x^2}e^{\cos{(t\pi/2)}}\, dt \) hallar el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de a=1. Nuestra duda tiene que ver sobre la integración de esa función, nos parece que podría ser de tipo no elemental o directamente no integrable.  Agradecería que nos puedan ayudar. Saludos

Posdata: estoy aprendiendo de a poco a usar LaTex, así que pido disculpas si por ahí me como una mala escritura (lo quiero previsualizar pero no me aparece nada sino solo lo que escribí, no sé por qué ocurre eso).

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Por favor, me podrán ayudar con lo siguiente:

   a) Sean \( B_1 \) y \( B_2  \)dos bolas abiertas en \( (R_2, T\textsf{ usual}) \) tales que \( (x_0,y_0)\in B_1\cap B_2 \). Demostrar que existe una bola abierta \( B \) tal que \( (x_0,y_0)\in B\subset B_1\cap B_2 \).

Muchas gracias

Mensaje corregido desde la administración.

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Buenos días. Mi duda tiene que ver sobre decidir si un conjunto A formado por dos círculos  abiertos ( o sea sin incluir la circunferencia) que sean tangente exteriores conforman un conjunto conexo y conexo por caminos, siempre con la topología usual del plano. Yo digo que no es conexo porque uno puede pensar siempre en una recta que pase por el punto de tangencia de ambos círculos y así concebir una separación del conjunto usando la topología inducida, o sea tomando los dos semiplanos abiertos que me determina la recta en intersección que el conjunto A me daría dos abiertos disjuntos en la topología inducida por la usual en A  cuya unión sería A. Luego, no sería conexo por caminos tampoco porque cada vez que deseo pasar de un punto interior de cada círculo  al otro círculos no se me es posible porque no puedo encontrar un camino contenido en A que uno esos dos puntos , ya que tendría que pasarme en teoría por el punto de tangencia para acceder al otro círculo, pero dijimos que al ser círculos abiertos ese punto de tangencia no pertenece a A. En cambio, si añadimos el punto de tangencia como parte del conjunto A , ahí sí sería un conjunto conexo por caminos y también conexo. ¿Alguien podría decirme si la justificación es correcta? Saludos

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Topología (general) / Homeomorfismo
« en: 22 Mayo, 2021, 11:59 pm »
Buenas podrían darme su opinión sobre este ejercicio: "Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.
a) \( \Bbb N \) y \( \Bbb  Q \) son homeomorfos en \( (\Bbb R, Usual) \)
b) Si \( X \) es un conjunto de infinitos elementos, la colección de subconjuntos finitos de \( X \) unida a \( X \) y el conjunto vacío definen una topología en \( X \).

Considero en particular que el punto (b) podría ser verdadero apelando al hecho de que por mas que la unión sea infinita a lo sumo me daría como resultado todo el espacio que por definición es a su vez también un conjunto abierto. Muchas gracias, saludos desde Argentina.

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Buenas podría darme su opinión sobre este ejercicio: "Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.
a) Un conjunto infinito con la topología discreta no es compacto. b) Un conjunto con más de un elemento es conexo con la topología discreta". Muchas gracias. Sé que el primero es verdadero y el segundo falso pero me interesaría escuchar la justificación.

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Cálculo de Varias Variables / Derivadas parciales. Razón de cambio
« en: 17 Septiembre, 2019, 07:09 pm »
Hola a todos. Quisiera que hagan el gran favor de explicarme lo siguiente:
Sabemos que  el área de un paralegramo es A= a.b. senC , siendo a y b los lados adyacentes y C el ángulo comprendido entre ellos. Si calculamos la derivada parcial del área con respecto al ángulo, me sale que es a.b. cosC. Luego, supongamos que mantenemos fijo a= 10  y b=20 y tomamos un ángulo de 30°. Entonces, la derivada parcial anterior me estaría dando la razón de cambio del área del paralelogramo con respecto al ángulo. Ahora bien, reemplazando los valores en la función de la derivada parcial obtengo que esa razón de cambio es de 100 por raíz de 3.  ¿Significa esto que por cada grado de ángulo el área cambia 100 por raíz de 3 métros cuadrados ? Si es asi, ¿Por qué no concuerdan los valores cuando calculamos el área con un ángulo de 30° con otro de 31°? Con 30° el área me dá 100 metros cuadrados, y con 31° el area me da 103,0076. ¿No debería darme 100+ (100 por raiz de 3) ? ¿Qué estaría mal en  todo esto? Se los agradezco, SALUDOS.

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