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Temas - MatematicaMente

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Topología (general) / Interior y adherencia topología producto
« en: 18 Enero, 2022, 11:31 am »
Buenos días, tengo dificultades a la hora de enfrentarme a topologías producto, cociente, etc.
Estoy ante el siguiente enunciado:
Se considera el espacio producto \( ([0,\infty),T_4)\times S \), S recta de Sorgenfrey. Hallar la adherencia e interior de \( A=[1,2)\times(0,1) \) respecto a la topología producto.

He razonado como sigue:
La recta de Sorgenfrey es el espacio topológico definido sobre la recta real generado por la base: B=\( \{ [a,b):a,b \in \mathbf{R}, a<b\}  \)

Para calcular si un punto es interior o adherente en un e.t. producto \( (X x Y,T^{1} x T^{2}) \) tenemos que tener en cuenta dos cosas:

1) El conjunto que estemos hallando debe ser también un producto i.e., de la forma AxB. En tal caso, el problema que tenemos 'se lleva' a un problema en cada uno de los factores:

int(AxB)=int(A) x int(B)

Luego:

int(\( [1,2)x(0,1) \)) = int([1,2)) x int((0,1)) = (1,2) x (0,1).

2) Para trabajar 'bien' en la topología producto, hay que trabajar con bases de entornos de cada uno de los factores:

Base de entornos de \( x \in [0,\infty) \) en \( T_4 \), B = { \(  B_x | x\in [0,\infty)  \) }, \( B_x=[0,x+\epsilon) \)
Base de entornos de \( x \in (0,1)  \) en S, B = {\( B_{x}^{'} | x \in (-\infty,\infty) \) }, \( B_x=[x,x+\epsilon) \)

Por tanto, una base de entornos de (x,y) en la topología producto \( (T_4, S) \) es {\( [0,x+\epsilon),[x,x+\epsilon) \)}.
Si tomamos ahora \( A=[1,2)x(0,1) \), no hay entornos de los anteriores dentro de A, luego:

int\( ([1,2)x(0,1))=\emptyset \)



No se si estoy razonando bien...

2
Buenas tardes, me he enfrentado a varios problemas sobre bases de entornos y me cuestan bastante.
El siguiente dice así:
\( \forall (x,y)\in\mathbf{R^2} \), se considera la familia de subconjuntos de \( \mathbf{R^2} \), B(x,y)\( ={B_r((x,0))\cup(x,y)} \), con r>0 y \( B_r((x,0)) \) es la bola euclídea de centro \( (x,0) \) y radio r. Probar que \( \forall (x,y)\in \mathbf{R^2} \), B((x,y)) es base de entornos de \( (x,y) \) para algún T sobre \( \mathbf{R^2} \)

He pensado en ver que se cumplen las propiedades que debe verificar toda base de entornos:
1)\( \forall B \in \) B(x) \( x \in B \)
2)\( \forall B_1, B_2 \in \) B(x) \( \exists B \in \) B(x) / \( B \subset B_1\cap B_2 \)
3)\( \forall B_1 \in \) B(x) \( \exists B_2 \in \) B(x) / \( \forall y \in B_2 \exists B \in  \) B(y) \( B \subset B_1 \)

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Topología (general) / Sobre subespacios topológicos
« en: 13 Enero, 2022, 05:26 pm »
Buenas tardes,me encuentro ante el siguiente problema, pero no me convence el procedimiento que estoy haciendo. Lo dejo por aquí:
Sea \( (X,T) \) e.t. y sean \( A,B \subset{X} \), no vacíos. Demostrar que si \( M\subset{A\cap B} \) ,, M abierto de A con su topología correspondiente y M abierto de B con su topología correspondiente, entonces M es abierto en el subespacio \( A\cup B \) de (X,T).

4
Buenas, no sé cómo resolver este ejercicio. En cuanto veo \( \mathbf{R^2} \) pienso en la medida producto y me sale humo...
Sea \(  \)m la medida de Lebesgue en \( \mathbf{R^2} \):

Demostrar que si \( f \) es una función Borel simple medible, entonces: \( m\{(x, f(x): x \in \mathbf{R}\}=0 \).

Demostrar además que esta condición sigue siendo cierta para toda función \( f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R} \)

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Topología (general) / Demostrar un contenido.
« en: 16 Diciembre, 2021, 07:24 pm »
Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio pero no se por donde empezar.
Sea \( U \) abierto de \( (X,T) \). Probar que \( U \cap \overline{A} \subset \overline{U \cup A} \forall A \subset X \).
Dar un ejemplo en el que no se verifique la igualdad.
Probar que \( D \) denso en \( (X,T) \Rightarrow U \subset \overline{U \cap D} \) y \( \overline{U} = \overline{U \cap D} \)


Gracias de antemano.

6
Buenas, me encuentro ante el siguiente ejercicio:
En \( \mathbb{R^2} \), sean \( L_1 = \{r_x | x \in \mathbf{R}\}, r_x=\{(x,t) \in \mathbf{R^2} | t\in \mathbf{R}\} \) y \( L_2 = L_1 \cup S, S=\{(t,1) \in \mathbf{R^2} | t \in \mathbf{R}\} \). Denotamos \( T(L_1) \) y \(  (L_2) \) a las topologías engendradas por \( L_1 \) y \( L_2 \) respectivamente.
Dado \( A=\{(x,y) \in \mathbf{R^2}| 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\} \). Hallar el interior y la adherencia de A en \( (\mathbf{R^2},T(L_1)) \) y en \( (\mathbf{R^2},T(L_2)) \).
Lo primero que quiero ver es cómo son los abiertos y los cerrados de cada topología. Para ver como son los abiertos utilizo la base dada puesto que todo abierto se puede escribir como unión de elementos de la base. Sin embargo, me he encontrado con dificultades a la hora de usar la siguiente definición de base de una topología:
''Sea B base de T, entonces \( \forall A \in T  \exists B_A \subset{B} , A = \cup_{B \in B_A} B \)''

(Me lía ese subconjunto \( B_A \))

Y por otra parte, me he encontrado con dificultades a la hora de ver cómo son los conjuntos abiertos y cerrados.
Aún así, mi respuesta para la primera topología:

Los abiertos de \( T(L_1) \) son de la forma \( G = \cup_{B \in L_1}B = \cup r_x, t,x \in \mathbf{R} \).
Y los cerrados de \( T(L_1) \) son de la forma \( C= \mathbf{R^2}-r_x \).
Entonces: \( \mathring{A}=\emptyset, adh(A)=\mathbf{R^2} - \cup r_x,  x,t \in (- \infty, 1) \cup (2, \infty) \)


Si alguien es tan amable de corregirme.

7
Topología (general) / Ejercicio sobre sistema de entornos
« en: 13 Diciembre, 2021, 07:20 pm »
Buenas, no estoy segura de si he razonado bien el siguiente ejercicio:
Sobre \( \mathbf{R} \) consideramos \( \forall x \in \mathbf{R} \) la familia:
\( N_x = \{N\subset{\mathbf{R}} | \exists \epsilon > 0, (x-1-\epsilon, x+1+\epsilon)\subset{N}\} \). ¿Es \( N_x \) sistema de entornos de algún espacio topológico?

Bien, de primeras me viene a la mente que va a ser un sistema de entornos de la topología usual en los reales.
He comprobado que se verifican las propiedades que debe de cumplir un sistema de entornos:
a) \( \forall E \in V(x), x \in U \)
b) \( \forall U,V \in V(x), U \cap V \in V(x) \)
c) \( \forall U \in V(x) \exists V \in V(x) \forall y \in V U \in V(y) \)

pero no se si he razonado bien en esta última propiedad:
d) \( \forall U \in V(x) \forall V \subset{X} U \subset{V} \Rightarrow V \in V(x) \)

Razono como sigue: se cumple d) pues, sea \( U = (x-1-\epsilon,x+1+\epsilon) \in V(x), \epsilon > 0 \Rightarrow x\in A \subset{U}, \) A abierto.
Y sea \( V \subset{X}, U \subset{V}. \) Entonces, \( x \in A \subset{V(x)} \). Es decir, V entorno de x tal que \( V \in V(x) \)

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Topología (general) / Sobre fronteras
« en: 10 Diciembre, 2021, 10:41 am »
Buenos días, me encuentro ante el siguiente problema:
Sea \( (X,T) \) e.t, \( A \subset{X} \). Estudiar si \( Fr(A), Fr(Adh(A)) \) y \( Fr(\mathring{A}) \) coinciden. En caso negativo, mostrarlo con contraejemplos y estudiar los contenidos.

Me he puesto varios ejemplos y en todos ellos coinciden, pero no consigo hacer un razonamiento teórico.

9
Topología (general) / Propiedades de la topología del orden
« en: 08 Diciembre, 2021, 07:26 pm »
Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio que no consigo resolver:
Sea \( (X, \leq) \) un conjunto totalmente ordenado con al menos dos elementos, sea \( B=\left\{{y \in X | x \leq y}\right\} \) y \( T \) la topología engendrada por \( B \). Estudiar las propiedades de separación, compacidad, conexión, conexión local y conexión por caminos.

PD: Cuando se nos dice que X está formado por al menos dos elementos quiere decir que está formado por al menos dos intervalos, ¿no?

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Topología (general) / Ejercicio sobre conexidad
« en: 02 Diciembre, 2021, 12:49 pm »
Buenas tardes, llevo intentando resolver un ejercicio desde ayer y no me sale, a ver si alguien puede ayudarme. Dice así:
Sea \( (X,T)  \) un espacio topológico conexo y \( A\subseteq{X} \) subconjunto conexo. Si X\A=\( V \cup W \) con V y W dos abiertos de X\A y disjuntos. Demostrar que \( A \cup V \) y \( A \cup W \) son subconjuntos conexos de X.

Estoy intentando resolver por reducción al absurdo pero no consigo avanzar...

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Buenas, no consigo resolver este ejercicio, el cual debe ser resuelto aplicando el Teorema de Cambio de Variable:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{R^3} n log(1+exp(-||x||)/n))} \)

¿Alguna idea?

Gracias de antemano.

12
Buenas, estudiando curvas algebraicas, me he topado con el concepto de resultante de dos polinomios en el plano afín y con dicho concepto para dos polinomios homogéneos del plano proyectivo.
No me acaba de quedar claro su significado y función, la diferencia entre calcular una resultante rsp. de una variable u otra.
Tampoco me queda claro qué significado,  qué función tiene la 'pieza' que nos da la resultante.
Espero haberme expresado claramente.


Muchas gracias :)

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Buenas tardes, me encuentro ante el siguiente ejercicio y no se ni por donde empezar...

Obtén el desarrollo de Laurent de la función:

f(z)=\( \displaystyle\frac{z^2}{cos(2piz^2)-1} \)

Se me ocurre que tengo que hacer algún cambio de variable para tener (z+i), pero nada más...

Por favor, ayuda! Gracias de antemano.


14
Buenas tardes, me piden determinar el orden del polo de la función:

f(z)=\( \displaystyle\frac{e^z (z-3)}{(z-1)(z-5)} \)

He razonado como sigue:
Los polos de la función serían 1 y 5. Por tanto para determinar el orden del polo z=1, desarrollo en serie de Laurent en torno a dicho punto.
Y lo mismo para z=5.
Sin embargo, mi atasco comienza cuando tras hacer un cambio de variable u=z-1 y descomponer la función en fracciones simples me queda una resta de dos fracciones: la primera de ellas de fácil resolución, pues sólo tendría que desarrollar en serie la exponencial elevada a z, mientras que la otra no se por donde cogerla.

Por favor, ayuda! Un saludo y gracias de antemano.

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Buenas noches, me hallo intentando plantear el siguiente ejercicio, pero no se si lo estoy haciendo bien. Les dejo el enunciado y mi idea:

Sea \( f:\Bbb R\times \Bbb R\to \Bbb R \) definida por:

\( f(x,t)=\begin{cases} 0 & \text{ si }& x=0\\t/x & \text{ si }& x\neq 0\end{cases} \)

Comprobar que aunque \( f \) no sea continua para todo \( (t_0,x_0) \) de \( \Bbb R\times \Bbb R \), existen un intervalo abierto \( I \) de \( \Bbb R \) tal que \( t_0\in{I} \) y por lo menos una solución de \( f(t,x) \) definida sobre \( I \) que verifica \( x(t_0)=x_0 \).


Bien, mi idea ha sido la siguiente:

Para la recta \( t=0 \) la función \( f \) no está definida. Aplicando el Teorema de Peano, considero los rectángulos:

\( R1=(-\infty,+\infty)\times (0,+\infty) \)
\( R2=(-\infty,+\infty)\times (-\infty,0) \)

Queremos que \( f \) sea continua en al menos uno de los rectángulos. (LO ES)
Entonces para cierto \( \epsilon>0 \) \( f \) tiene al menos una solución en el intervalo \( [t_0-\epsilon,t_0+\epsilon] \).

Por muy cercano a \( 0 \) que tome \( t_0 \) siempre puedo considerar \( \epsilon \) más cercano al \( 0 \) aún y así no habrá ningún problema, con lo que puedo escribir \( \epsilon \) en función de \( t_0 \), por ejemplo...\( \epsilon=t_0/2 \).


Por favor, agradecería correcciones/ideas.

Muchas gracias!

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Geometría Diferencial - Variedades / Demostrar conexión
« en: 10 Abril, 2019, 05:28 pm »
Tengo una duda sobre un ejercicio de la asignatura Geometria diferencial.
Me dan una variedad riemanniana y su conexión de Levi Civita, y me piden ver si dada una expresión, esta es una conexión.

Simplemente tendría que comprobar que se cumplen las propiedades para una conexión lineal, ¿no?

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Buenas, no se si estoy aplicando bien el concepto de Lipschitzianidad en el siguiente ejercicio:

Sea f(x\( _1 \), x\( _2 \)) = (x\( _1 \) + x\( _2 \)\( ^2 \) , -x\( _2 \)), calcular su constante de Lipschitz, si existe, en el rectángulo [a1,a2]x[b1,b2].

Lo que yo he hecho ha sido:

Sean:

f1= x\( _1 \) + x\( _2 \)\( ^2 \)
f2= -x\( _2 \)

df1/dx\( _1 \)=1 <= 1 = K1
df1/dx\( _2 \)=2x\( _2 \) <= 2(b2) = K2
De manera que f1 lipschitz en el rectángulo con L1= max(K1, K2).

Lo mismo he hecho para f2, obteniendo K3=0, K4=1.
De manera que f2 lipschitz en el rectángulo con L2= max(K3, K4)

Y por lo tanto f lipschitz en el rectángulo con L= max (L1, L2).


¿Está bien? Me gustaría saber si hay alguna manera más de hacerlo.


Gracias!



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Buenas noches, tengo una duda con los distintos casos de descomposición en fracciones parciales.
He encontrado esta fotografía en la que se exponen muy bien algunos casos.
Pero me ha aparecido esta integral mientras hacía ejercicios y no he sabido como descomponerla cuando en el denominador hay una ecuación de grado mayor que uno. Es esta:

\( \dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \)
Considerando que la variable es x e y es una constante.

Muchas gracias=)




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Buenas tardes, me encuentro estudiando las soluciones maximales por primera vez y me he dado cuenta que no soy capaz de imaginarme gráficamente el problema del valor inicial (PVI), con lo cual la teoría que aparece en el tema de las soluciones maximales no puedo atajarla sin haber comprendido lo anterior.

Mi primera duda es:
Tenemos un PVI de la forma:

\( x'=f(t,x) \)
\( x(t_0)=x_0 \)

Lo primero es una función en \( 3 \) dimensiones.
Lo segundo, es una función de \( \mathbb{R} \) a \mathbb{}.

No veo conexión entre ambas.


Mi segunda y última duda es que no entiendo el concepto de solución maximal.


Muchas gracias, un saludo.

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Probabilidad / Problema de mediana...
« en: 12 Agosto, 2017, 12:54 pm »
Buenos días, intentando resolver el siguiente ejercicio de probabilidad me encuentro con que la función de distribución toma valores negativos y el cero, cuando se supone que por definición debe tomar valores entre cero y uno.
Por lo tanto al intentar calcular la mediana, no tiene sentido igualar dicha función de distribución a 1/2.
Podéis ayudarme??

Ejercicio:

Sea X una v.a. unidimensional con función de distribución \( F(x)=(1-e^\frac{x^2}{2})I(0,\infty)(x) \).
Calcular su función de densidad, su mediana y su moda.


Lo siento, no se me da muy bien escribir con LATEX...

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