Hola mathtruco, muchas gracias voy a mirarlo ya por el tema de la beca.
Un gran saludo..

Estimado Luis y Fernando y demás integrantes de esta comunidad.

Te quiero agradecer a ti y Fernando por el apoyo que he recibido todos estos días y por todo este largo tiempo que he acudido a ustedes y quiero agradecerles por todo el aprendizaje que me ha proporcionado todos estos año-
Comparto con ustedes que hoy me he recibido de docente aquí en Uruguay luego de varios años de largo esfuerzo y estudio.

Un enorme abrazo fraterno para todos y seguro que seguiré aprendiendo junto a esta gran comunidad que gracias a varios de ustedes que hicieron posible este "Rincón Matemático" sea un ámbito académico importantísimo en la formación de todos.

Hola Luis prosiguiendo con este problema, me surgió la dudas de si es completo o no.
Aquí tendría que metrizar el espacio, pero no se me ocurre algo.
¿Alguna idea?
0 ¿será complejizar el problema?

Hola Luis ¿ cómo estás?

Siguiendo tu sugerencia, intenté esta demostración:

Sea \( (x_n)_{n \in{}\mathbb{N}} \) una sucesión de Cauchy definida en el espacio dado \( X \), como \( f:X\rightarrow{}Y \) es uniformemente continua se tiene que \( \forall{} \epsilon>0 \) \( \exists{} n_o \)  tal que \( \forall{}n , m \geq{}n_0 \)  \( \left |{x_m - x_n} \right |<\delta \) \( \Rightarrow{}\left |{f(x_m) -f(x_n)}\right |<\epsilon \) quedando probado lo pedido.

¿A ver que te parece esta demostración?

Hola, muchas gracias por tu pronta respuesta.
Te agradezco mucho tu ayuda.

Saludos

Hola me piden demostrar el siguiente resultado.
¿Qué condición debe cumplir una función para llevar sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy?
Me piden probarlo.

Para mi f debería ser un homeomorfismo.

¿Qué opinan?

Perfecto.

Muchas gracias Luis...

Luis el conjunto es la clausura de S que está acotada y es cerrada.
No se si se entiende.

Hola a todos, me piden demostrar el siguiente resultado:
Si una sucesión cuyo recorrido se encuentra en un conjunto \( A \), entonces si converge a un punto \( x \), \( x\in{}\bar{A} \)

Demostración:
Sea \( U\in{}N_x \) y \( (a_n)_{n\in{}\mathbb{N}} \subset{}A \) tal que \( a_n\rightarrow{}x \)
Por definición \( \exists{} n_0 \) tal que \( a_n \in{}U_x  \forall{} n \geq{}n_o \) en particular
\( a_{n_0} \in{} A  \cap{}U_x\neq\emptyset \) \( \forall{}U_x\in{N_x} \) \( \Rightarrow{}x\in{\bar{A}} \)

Ahora me preguntan ¿vale el recíproco?
En este caso no encuentro ejemplos o contrajemplos.

Agradecería de sus comentarios y aportes tanto en la demostración como en el recíproco.

Saludos

Hola muchas gracias, perdón por duplicar el tema, no me di cuenta realmente.

Estoy pensando en la demostración y en cuanto la concluya la comparto para saber sus opiniones.

Saludos