HOla!
No sé si te pueda ayudar mucho.
La pregunta 1 me imagino que se demuestra por contradicción. Supongo que ese límite no existe porque oscila entre -1 y 1 y no hay ningún factor que lo tire hacia abajo.
La seguda se hace por casos.
Para ver que la función es inyectiva. Hacemos lo siguiente.
1º si f(x) = f(y) = 0, la única opción es que x=y=0.
2º si f(x) = f(y) con x,y \( \in \mathbb{Q} \)-{0}. Entonces tenemos que \( \displaystyle\frac{1}{x} =\frac{1}{y} \) y esto implica que x=y.
3º si f(x) = f(y) con x,y \( \in \mathbb{R} \)\Q. Entonces tenemos que x=y.
4º si f(x) = f(y) con x \( \in \mathbb{R} \)\Q, y\( \in \mathbb{Q} \)-{0}. Entonces tenemos que x=1/y. Y esto no se puede dar.
Luego la funció es inyectiva.
Ahora para ver que la función es sobreyectiva, debemos darnos un x en la imagen y encontrar un y en el dominio, tal que f(y)=x.
Entonces,
Si x=0, basta tomar y=0.
Si x \( \in\mathbb{R} \)\Q, tomamos y=x.
Si x \( \in \mathbb{Q} \)\{0}, tomamos y=1/x.
Así la función es sobreyectiva y por lo tanto es biyectiva.
Con respecto a la pregunta tres... no sé. Sé resolver trigonométricas, pero mezcladas,no. De todas maneras lo voy a averiguar y si encuentro algo te cuento.
Saludos,
.
Joce.
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