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Mensajes - geómetracat

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Supongamos por reducción al absurdo que \( R \) NO es orden parcial (es orden total). Luego se verifica que \( xRy\vee yRx \) para todo \( x,y\in A \). Como está incluido en \( S \), \( xSy\vee ySx \), que contradice el hecho de que \( S \) sea orden parcial.

¿Está bien?
Sí, está bien.

Lo que haces en el primer mensaje no lo entiendo. No tienes que demostrar que \( R \) es una relación de orden, pues ya te lo dicen como hipótesis. Y además, es falso que si \( S \) es una relación de orden y \( R \subseteq S \) entonces \( R \) es de orden. Por ejemplo, considera como \( R \) la relación vacía, que está contenida en cualquier otra relación pero no es de orden si \( A \neq \emptyset \).

En lo que pones, es falso que \( R \subseteq S \) sea equivalente a \( S^{-1} \subseteq R^{-1} \). De hecho, lo que es cierto es que \( R \subseteq S \) es equivalente a \( R^{-1}\subseteq S^{-1} \). En efecto, si suponemos \( R \subseteq S \) tenemos que \( (x,y)\in R^{-1} \) implica \( (y,x)\in R \subseteq S \) luego \( (x,y)\in S^{-1} \). Luego tenemos que \( R^{-1}\subseteq S^{-1} \). La otra implicación se prueba igual.

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Sí, en efecto, son equivalentes.

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Computación e Informática / Re: Aprender Python
« en: 12 Agosto, 2022, 04:14 pm »
No sé por qué no sale, cambia la palabra automáticamente el foro. Lo que está en estrellitas es "code cademy" pero sin el espacio.

Los ejercicios son tontos porque son de estos de rellenar huecos, que en mi opinión y experiencia no son demasiado útiles. Pero como digo, para aprender la sintaxis básica puede ir bien.

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Estadística / Re: Duda demostración con estimadores
« en: 10 Agosto, 2022, 08:03 pm »
No, la cosa no va por ahí. La cuestión está en que aunque el estimador no depende de ningún parámetro desconocido, de manera que lo puedes calcular a partir de una muestra, su distribución sí va a depender del parámetro desconocido \( \theta \).

Piensa por ejemplo en el caso en que tienes una población normal de parámetros desconocidos \( N(\mu, \sigma) \). En este caso la media muestral es un estimador de \( \mu \). El cálculo de la media muestral no depende de \( \mu \), pero su distribución sí (de hecho, la distribución de la media muestral es \( N(\mu, \sigma/\sqrt{n}) \).

Ahora, en tu caso se llega a que la distribución del estimador \( T^* \) es degenerada en \( h(\theta) \) para todo \( \theta \) (salvo un conjunto de medida nula). Pero si \( h \) no es una función constante esto es imposible: no puedes tener una variable aleatoria con distribución degenerada en dos valores distintos. Es decir, es imposible que \( P(T^*=a)=P(T^*=b)=1 \) si \( a \neq b \). La única manera de no tener contradicción es que \( h \) sea una función constante, en cuyo caso tienes un estimador perfecto, con ECM cero (ignora la muestra y predice siempre la constante). Pero este es un caso trivial que carece de interés.

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Estadística / Re: Serie mas igualada
« en: 10 Agosto, 2022, 01:08 pm »
ese signo menos delante del sumatorio ¿indica que son las restas en lugar de las sumas?
Sí.
Citar
Y tambien, ¿los logaritmos son neperianos o decimales?
Es indiferente mientras uses siempre el mismo, ya que lo usas solo para comparar. La diferencia entre usar logaritmo neperiano o decimal (o binario) es únicamente que estás expresando la entropía en unidades distintas.
vale perfecto esta formula me funciono: \( S=-\sum_{i=1}^n p_i \log p_i \)
Me alegro de que te sirviera.

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Categorías / Re: Objeto inicial y terminal en la categoría coma.
« en: 10 Agosto, 2022, 07:34 am »
En efecto, se me colaron lagunas erratas. Muchas gracias por avisar, ya las he corregido en el mensaje.

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Como \( S^1 \) es compacto y la aplicación cociente \( S^1 \to S^1/R \) es continua y exhaustiva, su imagen \( S^1/R \) es compacta. Pero \( \Bbb R \) no es compacto, por lo que no puede ser homeomorfo a \( S^1/R \).

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Estadística / Re: Serie mas igualada
« en: 09 Agosto, 2022, 01:32 am »
No hay una respuesta exacta hasta que no específiques exactamente qué requisitos quieres, pero sí te puedo dar algunas indicaciones.

El problema de cómo de equitativamente está distribuida una cantidad entre una serie de personas es un problema bien estudiado en estadística económica bajo el nombre de "medidas de concentración" o "medidas de desigualdad". Hay varios indicadores (no equivalentes) que puedes calcular que te dicen cómo de bien repartida está una cantidad entre varias personas.
El más famoso seguramente sea el índice de Gini (puedes buscar la fórmula por internet).

Otra muy sencilla de calcular con un programa es la entropía de la distribución. Se calcula de la siguiente manera:
\( S=-\sum_{i=1}^n p_i \log p_i \)
donde hay una cantidad \( T \) a repartir entre \( n \) personas y \( p_i \) es la proporción que se lleva la persona \( i \)-ésima (es decir, si la persona \( i \)-ésima se lleva \( t_i \) tienes que \( p_i=\frac{t_i}{T} \).
Por ejemplo, para la distribución primera que das, \( (1,3,11) \), como el total a repartir es \( 15 \), tendrías \( p_1=\frac{1}{15} \), \( p_2=\frac{3}{15} \) y \( p_3=\frac{11}{15} \). Y su entropía sería:
\( S=-p_1\log p_1 -p_2\log p_2 - p_3\log p_3 \approx 0.72987 \).
Si usamos el criterio de la entropía, cuanto mayor la entropía, más equitativamente estará distribuida la cantidad total entre las diversas personas. Por tanto, debes calcular la entropía de todas las distribuciones posibles y tomar la mayor. En este caso se obtiene que la mejor distribución de las que das es la \( (2,4,9) \), que coincide con lo que esperabas.

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Computación e Informática / Re: Aprender Python
« en: 06 Agosto, 2022, 02:48 pm »
Te dejo algunos recursos que me fueron útiles en algún momento cuando empezaba con Python.
Primero, para aprender la sintaxis básica, no está mal esto: https://www.*****************.com/learn/learn-python-3. Los ejercicios son muy tontos, pero te puede ir bien para acostumbrarte a la sintaxis.
Luego, algunos MOOCs que me gustaron fueron:
https://www.coursera.org/learn/interactive-python-1
https://www.coursera.org/learn/interactive-python-2
Empieza asumiendo que no sabes nada así que son de nivel básico, pero están entretenidos y si no recuerdo mal se aprende bastante.
Otro MOOC un poco más avanzado que me gustó mucho es:
https://www.udacity.com/course/design-of-computer-programs--cs212
Este lo da Peter Norvig que es un grande de la informática, y aprenderás cosas utilísimas como expresiones regulares, la librería itertools, etc.

Al margen de esto, algunos comentarios.

Hay un peligro de programar en Python una vez sabes programar en C que he visto alguna vez,y es que te aprendas la sintaxis básica de Python pero acabes programando en Python igual que lo harías en C. Esto hay que evitarlo a toda costa, precisamente una de las cosas buenas de Python (para mí) son las utilidades más orientadas a la programación funcional. Así que debes intentar pensar lo más posible con listas, list comprehensions, usar map, usar funciones anónimas (expresiones lambda), etc. Puede que cueste un poco la transición al principio, pero a la larga lo agradecerás. Como dices que sabes programar en R, probablemente esto no te cueste demasiado, pues en R también se trabaja mucho con listas, funciones de listas, etc.

Otra cosa a tener en cuenta es para qué quieres aprender a programar en Python. No es lo mismo programar aplicaciones que querer usarlo para analizar datos, hacer machine learning, etc. Por supuesto el núcleo básico es común, pero después difieren mucho. Para ciencia de datos hay que aprender las librerías típicas como pandas, matplotlib, scikit-learn, Keras, etc., que son un mundo en sí mismas.

En cualquier caso, a programar como más se aprende es programando y viendo código de gente que sepa más que tú. Lo mejor es tener algún proyecto que quieras hacer programando en Python e intentar espabilarte para completarlo (una vez te manejes bien con lo básico, claro). Para ello recuerda que Google y stackexchange son tus amigos: cuando no te salga algo búscalo en google y copia-pega el código que necesites (asegurándote que entiendes lo que hace y por qué funciona). También hay muchas páginas con problemas "cortos" para programar, que te pueden ir bien de práctica. Te dejo los enlaces de un par:
https://projecteuler.net/
https://adventofcode.com/

Espero que te sirvan los recursos.

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Categorías / Re: Objeto inicial y terminal en la categoría coma.
« en: 06 Agosto, 2022, 02:27 pm »
Esto debería estar hecho en cualquier libro de teoría de categorías básica, como el de MacLane o el de Emily Riehl, por si lo quieres consultar con más detalles. No es que sea difícil, pero sí que puede llegar a ser un tanto confuso. De hecho estas cosas se ven mejor dibujando las flechas que escribiendo, pero intentaré explicar el argumento.

Lo primero es definir la transformación natural \( \epsilon:F \circ G \Rightarrow 1_D \), que es lo que quieres probar que existe pero no has definido en tu mensaje. Que \( \eta_c:c \to GFc \) sea un objeto inicial en \( (c \downarrow G) \) quiere decir que dado cualquier morfismo\( f:c \to G{\color{red}d} \) existe un único morfismo \( \tilde{f}:Fc \to \color{red}d \) que cumple \( G\tilde{f} \circ \eta_c = f \). Llamamos a \( \tilde{f} \) adjunto de \( f \) por \( \eta \). Ahora, definimos \( \epsilon_d := \widetilde{1_{Gd}} \) donde \( 1_{Gd}:Gd \to Gd \) es el morfismo identidad. Habría que comprobar que si definimos \( \epsilon \) así realmente es una transformación natural, cosa que voy a omitir aquí.

Ahora que tenemos definido \( \epsilon \) hay que comprobar que cada \( \epsilon_d:FGd \to d \) es final en \( (F \downarrow d) \), que como pones en tu mensaje se traduce en ver que para cada morfismo \( g:Fc \to d \) existe un único morfismo \( \hat{g}:c \to Gd \) que cumple \( \epsilon_d \circ F\hat{g} = g \). Con las piezas que tenemos solamente hay una única manera de definir un morfismo \( \hat{g}:c \to Gd \) a partir de \( g:Fc \to d \) que es definiendo \( \hat{g} := Gg \circ \eta_c \). Este sería tu \( \beta \) (yo he usado la notación \( \hat{g} \) en lugar de \( \beta \) para que se vea mejor la conexión con el morfismo original \( g \)). Ahora falta ver que si definimos \( \hat{g} \) así se cumple la igualdad \( \epsilon_d \circ F\hat{g} = g \) y que este es el único morfismo que la cumple.

Para ver esto último, el truco es observar que:
\(
\begin{equation} \tag{1}
G(\epsilon_d \circ F\hat{g}) \circ \eta_c = G\widetilde{1_{Gd}} \circ GF\hat{g} \circ \eta_c = G\widetilde{1_{Gd}} \circ \eta_{Gd} \circ \hat{g} = 1_{Gd} \circ \hat{g} = \hat{g}
\end{equation} \)
donde en la primera igualdad uso la definición de \( \epsilon_d \), en la segunda que \( \eta_c \) es una transformación natural, en la tercera la definición de \( \widetilde{1_{Gd}} \).
Fíjate que hasta aquí no hemos usado la definición de \( \hat{g} \). Si la usamos ahora, obtenemos que:
\( G(\epsilon_d \circ {\color{red} F}\hat{g}) \circ \eta_c = Gg \circ \eta_c \). Luego de aquí deducimos, por la propiedad universal de \( \eta_c \) (la unicidad, en concreto) que debe ser \( \epsilon_d \circ {\color{red} F} \hat{g} = g \), justo lo que queríamos. Esto prueba la existencia.
Para ver la unicidad, si tenemos otra \( \beta \) que cumple \( \epsilon_d \circ F \beta = g \), tenemos que \( \beta = G(\epsilon_d \circ F\beta) \circ \eta_c = Gg \circ \eta_c = \hat{g} \), donde la primera igualdad se sigue de \( (1) \) (recuerda que no habíamos usado nada sobre la forma de \( \hat{g} \) ahí), la segunda por hipótesis y la tercera es la definición de \( \hat{g} \).

Corregido. Gracias malboro.

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Álgebra / Re: Problema describir un anillo.
« en: 03 Agosto, 2022, 10:28 pm »
Ya veo. Es que me descuadra un poco que por el hecho de añadir un elemento a un anillo cambie el resultado de sus operaciones (de repente ha pasado de ser \[ 2\cdot{2=4} \] a ser \[ 2\cdot{2=1} \]) o que diferentes elementos pasen a ser el mismo (\[ 0=3 \]), etc.

Tenía en mente los ejemplos en los que a \[ \mathbb{Z} \] se le añade un número irracional y claro, ahí sí que las operaciones en el nuevo anillo incluyen las operaciones en \[ \mathbb{Z} \].

Lo que sucede es que \( \Bbb Z/12\Bbb Z \) no es un dominio de integridad y además estás localizando (inviertiendo) en un divisor del cero.
Si haces el mismo proceso de invertir un elemento en un dominio de integridad, siempre tendrás que hay un embedding del anillo original en el nuevo anillo (esto es lo que pasa en el ejemplo de \( \Bbb Z \) que mencionas). Pero cuando trabajas con anillos que no son dominios de integridad pueden pasar cosas raras que hacen que el anillo "colapse", como en este caso.

Este también es el motivo de que todo dominio de integridad admita un cuerpo de fracciones que contiene al anillo original como subanillo, mientras que en anillos con divisores del cero esto no es posible.

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\begin{align*}
\varphi\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}\right)&=\varphi\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix}\\
&=(a+a')+(d+d')\\
&\color{red}=(a+d)+(a'+d')\\
&\color{red}=\varphi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\varphi\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}.
\end{align*}

Aquí tengo una duda, ¿cómo se sabe que, por ejemplo, \( (a+d)=\varphi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \)? ¿No podría ser \( (a+d)=\varphi\begin{pmatrix}a&m\\k&d\end{pmatrix} \)? No dice nada de cómo deben ser los otros números. Aunque quizás solo lo estoy viendo de izquierda a derecha, pero la igualdad se puede leer también de derecha a izquierda. Creo que ese es mi error.
Las dos igualdades son ciertas. Pero para que una aplicación \( \varphi \) sea un homomorfismo de grupos lo único que se tiene que cumplir es que \( \varphi(A+B)=\varphi(A)+\varphi(B) \) para todas las matrices \( A,B \). Que además se cumpla que \( \varphi(A+B) = \varphi(C)+\varphi(D) \) para otras matrices \( C,D \) no afecta para nada.

Como en este caso se cumple \( \varphi(A+B) = \varphi(C)+\varphi(D) \) es un homomorfismo de grupos, independientemente de que también se cumplan otras identidades.

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Te ayudo con el C). Debemos ver que \( a\cdot(b\odot c)=(a\cdot b)\odot(a\cdot c) \) y que \( (a\odot b)\cdot c=(a\cdot c)\odot(b\cdot c) \) (¿esto también debe verificarse o por la conmutatividad de las operaciones, no es necesario? Pregunta para alguien que sepa).
En principio en un anillo arbitrario hay que comprobar las dos. Pero si sabes que el producto es conmutativo (como es el caso) una se sigue automáticamente de la otra, por lo que solamente es necesario comprobar una de las dos.

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Foro general / Re: Exponencial de base negativa?
« en: 01 Agosto, 2022, 08:04 am »
Le he estado dando vueltas a la función \( f(x)=a^x(\cos(\pi x)+i\sin(\pi x)) \) pero no he tenido éxito consiguiendo que sea una representación en el plano real salvo que se anule el término imaginario, pero es el error que cometí. :(

\( (-8)^{1/3}=8^{1/3}(-1)^{1/3}=2(e^{i\pi})^{1/3}=2e^{i\pi/3}\overset{\text{???}}{=}-2. \)

Es que el error está antes de considerar esa función. La cuestión está en que un número complejo distinto del cero tiene tres raíces cúbicas distintas, mientras que ahí únicamente estás calculando una. En el caso de \( (-8)^{1/3} \), una de esas raíces cúbicas es real (es \( -2 \)), mientras que las otras dos no son reales. En la línea del final calculas una no real, que es \( 2e^{i\pi/3} \). Pero como \( -1 = e^{i\pi} = e^{3i\pi} \) igualmente podrías haber escrito \( (-8)^{1/3} = 8^{1/3}(-1)^{1/3} = 2(e^{3i\pi})^{1/3}=2e^{i\pi} = -2 \).

Más en general, lo que pasa aquí es que la función \( f(x) = a^x \) con \( a \) un número complejo es en general multivaluada, que es consecuencia de la multivaluación del logaritmo complejo, que a su vez es consecuencia de que la exponencial compleja no es inyectiva sino que \( e^{2\pi i k} = 1 \) para todo \( k \in \Bbb Z \).
Si defines la exponencial como \( a^x:=e^{x \log(a)} \), y escribes \( a = |a|e^{i\theta} \), tienes que \( \log(a) = \log(|a|) + i \theta + 2i\pi k  \), con \( k \in \Bbb Z \) y donde \( \log(|a|) \) es el logaritmo real (univaluado). Para cada valor entero de \( k \) tienes un valor distinto para \( \log(a) \).
Si ahora sustituyes en la definición de la exponencial te queda que \( a^x = e^{x \log(a)} = e^{x \log(|a|) + i\theta x + 2i\pi k x} = e^{x\log(|a|)} e^{i\theta x + 2i\pi k x} = |a|^x e^{i\theta x + 2i\pi k x} \), donde aquí \( |a|^x \) es la exponencial real de un número real positivo, la de "toda la vida".

Hasta aquí es válido en general para cualquier número complejo \( a \) no nulo. Ahora vamos a suponer que \( a=-r \), con \( r>0 \) real positivo. En este caso podemos escribir \( a=re^{i\pi} \), de donde nos queda que en este caso \( \theta = \pi \), y la fórmula para los valores de \( (-r)^x \) queda \( (-r)^x = r^x e^{i\pi x + 2i\pi k x} = r^x e^{i \pi (2k+1)x}  \) con \( k \in \Bbb Z \). Nos podemos preguntar ahora para qué valores del exponente \( x \) habrá algún valor real (aunque los demás sean complejos, como en el caso de la raíz cúbica). Para ello hay que preguntarse cuándo va a ser \( e^{i \pi (2k+1)} \) real. Pero una exponencial imaginaria es real si y solo si el argumento es un múltiplo de \( \pi \), por tanto habrá un valor real de \( (-r)^x \) si y solo si existen \( k,n \in \Bbb Z \) tales que \( i \pi (2k+1)x = i \pi n \), si y solo si \( x = \frac{n}{2k+1} \). Es decir, solamente las potencias de raíces impares de números negativos tienen algún valor real.

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Álgebra / Re: Matrices subgrupos
« en: 31 Julio, 2022, 12:41 pm »
¿Que has intentado, qué dificultades has encontrado? Solamente tienes que comprobar que el producto de dos cualesquiera de esas matrices está en \( V \) y que las inversas también está en \( V \).


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Estructuras algebraicas / Re: Monoides M2
« en: 31 Julio, 2022, 12:39 pm »
¿Que has intentado? Para ver si es monoide o no, solo tienes que comprobar si la operación es asociativa y tiene elemento neutro.

¿Son asociativas la suma y el producto de matrices (con coeficientes racionales)? ¿Tienen elemento neutro para la suma y el producto?

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Lo que sucede es que las tres premisas de las que partes son contradictorias (puedes comprobar que no existe ningún asignación de valores de verdad a \( q,r,t,w \) que haga que 1, 2 y 3 sean verdaderas a la vez). Y a partir de unas premisas contradictorias se puede demostrar cualquier cosa. Por tanto no es de extrañar que puedas probar tanto \( p \) como \( \sim p \). De hecho, si no fueran contradictorias las premisas sería imposible que probaras \( p \), pues es una variable que no aparece en las premisas.

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No he leído con detalle el mensaje, pero creo que te complicas la vida y el teorema de sigue bastante directo del lema.

Con algo más de detalle. Si \( L(x)=f(x_0)+b(x-x_0) \) es una aproximación afín distinta de \( M(x) \), tienes que \( \lim_{x\to x_0} \frac{E_L(x)}{x-x_0}=f'(x_0)-b \neq 0 \). Por tanto, en un entorno reducido de \( x_0 \) tienes que \( |E_L(x)| > A|x-x_0| \), con \( A>0 \) (por ejemplo, puedes tomar \( A:= \frac{f(x_0)-b}{2} \)). Sin embargo, como \( E_M(x)=o(x-x_0) \), tienes que \( |E_M(x)| < \frac{A}{2}|x-x_0| \) en un entorno reducido de \( x_0 \). Por tanto en el entorno reducido intersección de los dos, \( |E_M(x)|< |E_L(x)| \).

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Sobre el de "Juega bien su carta":
Spoiler
¿Es habitual en Argentina o latinoamérica llamar a las cartas por su nombre en inglés? Porque la solución dada solo tiene sentido usando los números en inglés y "ace", "jack", "queen", "king" para A, J, Q, K, respectivamente. La verdad es que me parece muy tramposo.
[cerrar]

20
Bien. Y en el razonamiento que seguía, quitando lo de la paridad de k, ¿me he equivocado en alguna cuenta o algo? En éste:

0ª \( n=a+b+c...
  \)

1ª \( kn=at_{1}+bt_{2}+ct_{3}...
  \)

y podemos hacer

2ª \( kn=ak+bk+ck...=at_{1}+bt_{2}+c_{t_{3}}...
  \)

3ª \( a(t_{1}-k)+b(t_{2}-k)+c(t_{3}-k)...=0
  \)

1ª+3ª \( \Rightarrow
  \)

4ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
  \)

Ahora, repito este proceso etiquetando 4ª=(1a)ª:

(1a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
  \)

(2a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...=ak+bk+ck...
  \)

(3a)ª \( a(2t_{1}-2k)+b(2t_{2}-2k)...=0
  \)

1ª+(3a)ª \( \Rightarrow
  \)

(4a)ª \( kn=a(3t_{1}-2k)+b(3t_{2}-2k)...
  \)

...

Por 4ª y por (4a)ª vemos que los coeficientes de la “tes” y la “k” irán aumentando en una unidad si reptimos el proceso varias veces. Así tendremos coeficientes “m” para las “tes” y coeficientes “m-1” para la k (donde “m” tiene libertad para ser el número que quiera ser) de manera que podemos escribir:

5ª \( kn=a(mt_{1}-(m-1)k)+b(mt_{2}-(m-1)k)...=
  \)

\( kn=a(mt_{1}-mk+k)+b(mt_{2}-mk+k)...=
  \)

Ahora, por el miembro izquierdo de 2ª, sumado a ésta anterior, tenemos

\( 2kn=a(mt_{1}-mk+2k)+b(mt_{2}-mk+2k)...
  \)

Nada más que por saberlo, por si tuviera también algún error.
Creo que está bien. Solo que para justificar que \( k \) no puede ser par es innecesariamente complicado, porque el argumento que di en el primer párrafo de mi anterior mensaje funciona igual y es más sencillo.

Ahí hay otra cosa que puedes tener en cuenta.

Sabemos que la cantidad de divisores de un número, como pueda ser, según su descomposición en potencias de primos, \( 2^{2}\cdot3^{2}\cdot7\cdot11^{4}
  \), por la conocida fórmula es el producto de sus potencias aumentadas en una unidad; en este caso:

\( (2+1)(2+1)(1+1)(4+1)=90
  \) divisores.

En cuanto un primo tiene una potencia impar tendremos un factor par, pues será (impar+1) y k, la cantidad de divisores según la letra que uso, tendría que ser par; pero parece que no puede serlo nunca a partir de lo observado (si no me he equivocado en todo lo demás que he dicho).
Cuidado, una cosa es el número total de divisores (contando al propio \( n \)) y otra el de divisores propios. Como estos difieren en una unidad, cuando uno es para el otro es impar y viceversa. Cuando hay un exponente impar en la factorización tienes que el número total de divisores es par, y por tanto \( k \) es impar. A priori en este caso no hay problema. Por el contrario, si todos los exponentes fueran pares (es decir, \( n \) es un cuadrado perfecto), tendríamos que el número total de divisores es impar y por tanto \( k \) sería par, que es precisamente lo que hemos visto que es imposible. Por tanto, ningún cuadrado puede ser un número perfecto impar.

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