Sí, en efecto, son equivalentes.

No, la cosa no va por ahí. La cuestión está en que aunque el estimador no depende de ningún parámetro desconocido, de manera que lo puedes calcular a partir de una muestra, su distribución sí va a depender del parámetro desconocido \( \theta \).

Piensa por ejemplo en el caso en que tienes una población normal de parámetros desconocidos \( N(\mu, \sigma) \). En este caso la media muestral es un estimador de \( \mu \). El cálculo de la media muestral no depende de \( \mu \), pero su distribución sí (de hecho, la distribución de la media muestral es \( N(\mu, \sigma/\sqrt{n}) \).

Ahora, en tu caso se llega a que la distribución del estimador \( T^* \) es degenerada en \( h(\theta) \) para todo \( \theta \) (salvo un conjunto de medida nula). Pero si \( h \) no es una función constante esto es imposible: no puedes tener una variable aleatoria con distribución degenerada en dos valores distintos. Es decir, es imposible que \( P(T^*=a)=P(T^*=b)=1 \) si \( a \neq b \). La única manera de no tener contradicción es que \( h \) sea una función constante, en cuyo caso tienes un estimador perfecto, con ECM cero (ignora la muestra y predice siempre la constante). Pero este es un caso trivial que carece de interés.

En efecto, se me colaron lagunas erratas. Muchas gracias por avisar, ya las he corregido en el mensaje.

No hay una respuesta exacta hasta que no específiques exactamente qué requisitos quieres, pero sí te puedo dar algunas indicaciones.

El problema de cómo de equitativamente está distribuida una cantidad entre una serie de personas es un problema bien estudiado en estadística económica bajo el nombre de "medidas de concentración" o "medidas de desigualdad". Hay varios indicadores (no equivalentes) que puedes calcular que te dicen cómo de bien repartida está una cantidad entre varias personas.
El más famoso seguramente sea el índice de Gini (puedes buscar la fórmula por internet).

Otra muy sencilla de calcular con un programa es la entropía de la distribución. Se calcula de la siguiente manera:
\( S=-\sum_{i=1}^n p_i \log p_i \)
donde hay una cantidad \( T \) a repartir entre \( n \) personas y \( p_i \) es la proporción que se lleva la persona \( i \)-ésima (es decir, si la persona \( i \)-ésima se lleva \( t_i \) tienes que \( p_i=\frac{t_i}{T} \).
Por ejemplo, para la distribución primera que das, \( (1,3,11) \), como el total a repartir es \( 15 \), tendrías \( p_1=\frac{1}{15} \), \( p_2=\frac{3}{15} \) y \( p_3=\frac{11}{15} \). Y su entropía sería:
\( S=-p_1\log p_1 -p_2\log p_2 - p_3\log p_3 \approx 0.72987 \).
Si usamos el criterio de la entropía, cuanto mayor la entropía, más equitativamente estará distribuida la cantidad total entre las diversas personas. Por tanto, debes calcular la entropía de todas las distribuciones posibles y tomar la mayor. En este caso se obtiene que la mejor distribución de las que das es la \( (2,4,9) \), que coincide con lo que esperabas.

Esto debería estar hecho en cualquier libro de teoría de categorías básica, como el de MacLane o el de Emily Riehl, por si lo quieres consultar con más detalles. No es que sea difícil, pero sí que puede llegar a ser un tanto confuso. De hecho estas cosas se ven mejor dibujando las flechas que escribiendo, pero intentaré explicar el argumento.

Lo primero es definir la transformación natural \( \epsilon:F \circ G \Rightarrow 1_D \), que es lo que quieres probar que existe pero no has definido en tu mensaje. Que \( \eta_c:c \to GFc \) sea un objeto inicial en \( (c \downarrow G) \) quiere decir que dado cualquier morfismo\( f:c \to G{\color{red}d} \) existe un único morfismo \( \tilde{f}:Fc \to \color{red}d \) que cumple \( G\tilde{f} \circ \eta_c = f \). Llamamos a \( \tilde{f} \) adjunto de \( f \) por \( \eta \). Ahora, definimos \( \epsilon_d := \widetilde{1_{Gd}} \) donde \( 1_{Gd}:Gd \to Gd \) es el morfismo identidad. Habría que comprobar que si definimos \( \epsilon \) así realmente es una transformación natural, cosa que voy a omitir aquí.

Ahora que tenemos definido \( \epsilon \) hay que comprobar que cada \( \epsilon_d:FGd \to d \) es final en \( (F \downarrow d) \), que como pones en tu mensaje se traduce en ver que para cada morfismo \( g:Fc \to d \) existe un único morfismo \( \hat{g}:c \to Gd \) que cumple \( \epsilon_d \circ F\hat{g} = g \). Con las piezas que tenemos solamente hay una única manera de definir un morfismo \( \hat{g}:c \to Gd \) a partir de \( g:Fc \to d \) que es definiendo \( \hat{g} := Gg \circ \eta_c \). Este sería tu \( \beta \) (yo he usado la notación \( \hat{g} \) en lugar de \( \beta \) para que se vea mejor la conexión con el morfismo original \( g \)). Ahora falta ver que si definimos \( \hat{g} \) así se cumple la igualdad \( \epsilon_d \circ F\hat{g} = g \) y que este es el único morfismo que la cumple.

Para ver esto último, el truco es observar que:
\(
\begin{equation} \tag{1}
G(\epsilon_d \circ F\hat{g}) \circ \eta_c = G\widetilde{1_{Gd}} \circ GF\hat{g} \circ \eta_c = G\widetilde{1_{Gd}} \circ \eta_{Gd} \circ \hat{g} = 1_{Gd} \circ \hat{g} = \hat{g}
\end{equation} \)
donde en la primera igualdad uso la definición de \( \epsilon_d \), en la segunda que \( \eta_c \) es una transformación natural, en la tercera la definición de \( \widetilde{1_{Gd}} \).
Fíjate que hasta aquí no hemos usado la definición de \( \hat{g} \). Si la usamos ahora, obtenemos que:
\( G(\epsilon_d \circ {\color{red} F}\hat{g}) \circ \eta_c = Gg \circ \eta_c \). Luego de aquí deducimos, por la propiedad universal de \( \eta_c \) (la unicidad, en concreto) que debe ser \( \epsilon_d \circ {\color{red} F} \hat{g} = g \), justo lo que queríamos. Esto prueba la existencia.
Para ver la unicidad, si tenemos otra \( \beta \) que cumple \( \epsilon_d \circ F \beta = g \), tenemos que \( \beta = G(\epsilon_d \circ F\beta) \circ \eta_c = Gg \circ \eta_c = \hat{g} \), donde la primera igualdad se sigue de \( (1) \) (recuerda que no habíamos usado nada sobre la forma de \( \hat{g} \) ahí), la segunda por hipótesis y la tercera es la definición de \( \hat{g} \).

Corregido. Gracias malboro.

\begin{align*}
\varphi\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}\right)&=\varphi\begin{pmatrix}a+a'&b+b'\\c+c'&d+d'\end{pmatrix}\\
&=(a+a')+(d+d')\\
&\color{red}=(a+d)+(a'+d')\\
&\color{red}=\varphi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}+\varphi\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}.
\end{align*}

Aquí tengo una duda, ¿cómo se sabe que, por ejemplo, \( (a+d)=\varphi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \)? ¿No podría ser \( (a+d)=\varphi\begin{pmatrix}a&m\\k&d\end{pmatrix} \)? No dice nada de cómo deben ser los otros números. Aunque quizás solo lo estoy viendo de izquierda a derecha, pero la igualdad se puede leer también de derecha a izquierda. Creo que ese es mi error.

Las dos igualdades son ciertas. Pero para que una aplicación \( \varphi \) sea un homomorfismo de grupos lo único que se tiene que cumplir es que \( \varphi(A+B)=\varphi(A)+\varphi(B) \) para todas las matrices \( A,B \). Que además se cumpla que \( \varphi(A+B) = \varphi(C)+\varphi(D) \) para otras matrices \( C,D \) no afecta para nada.

Como en este caso se cumple \( \varphi(A+B) = \varphi(C)+\varphi(D) \) es un homomorfismo de grupos, independientemente de que también se cumplan otras identidades.

Le he estado dando vueltas a la función \( f(x)=a^x(\cos(\pi x)+i\sin(\pi x)) \) pero no he tenido éxito consiguiendo que sea una representación en el plano real salvo que se anule el término imaginario, pero es el error que cometí.

\( (-8)^{1/3}=8^{1/3}(-1)^{1/3}=2(e^{i\pi})^{1/3}=2e^{i\pi/3}\overset{\text{???}}{=}-2. \)

Es que el error está antes de considerar esa función. La cuestión está en que un número complejo distinto del cero tiene tres raíces cúbicas distintas, mientras que ahí únicamente estás calculando una. En el caso de \( (-8)^{1/3} \), una de esas raíces cúbicas es real (es \( -2 \)), mientras que las otras dos no son reales. En la línea del final calculas una no real, que es \( 2e^{i\pi/3} \). Pero como \( -1 = e^{i\pi} = e^{3i\pi} \) igualmente podrías haber escrito \( (-8)^{1/3} = 8^{1/3}(-1)^{1/3} = 2(e^{3i\pi})^{1/3}=2e^{i\pi} = -2 \).

Más en general, lo que pasa aquí es que la función \( f(x) = a^x \) con \( a \) un número complejo es en general multivaluada, que es consecuencia de la multivaluación del logaritmo complejo, que a su vez es consecuencia de que la exponencial compleja no es inyectiva sino que \( e^{2\pi i k} = 1 \) para todo \( k \in \Bbb Z \).
Si defines la exponencial como \( a^x:=e^{x \log(a)} \), y escribes \( a = |a|e^{i\theta} \), tienes que \( \log(a) = \log(|a|) + i \theta + 2i\pi k  \), con \( k \in \Bbb Z \) y donde \( \log(|a|) \) es el logaritmo real (univaluado). Para cada valor entero de \( k \) tienes un valor distinto para \( \log(a) \).
Si ahora sustituyes en la definición de la exponencial te queda que \( a^x = e^{x \log(a)} = e^{x \log(|a|) + i\theta x + 2i\pi k x} = e^{x\log(|a|)} e^{i\theta x + 2i\pi k x} = |a|^x e^{i\theta x + 2i\pi k x} \), donde aquí \( |a|^x \) es la exponencial real de un número real positivo, la de "toda la vida".

Hasta aquí es válido en general para cualquier número complejo \( a \) no nulo. Ahora vamos a suponer que \( a=-r \), con \( r>0 \) real positivo. En este caso podemos escribir \( a=re^{i\pi} \), de donde nos queda que en este caso \( \theta = \pi \), y la fórmula para los valores de \( (-r)^x \) queda \( (-r)^x = r^x e^{i\pi x + 2i\pi k x} = r^x e^{i \pi (2k+1)x}  \) con \( k \in \Bbb Z \). Nos podemos preguntar ahora para qué valores del exponente \( x \) habrá algún valor real (aunque los demás sean complejos, como en el caso de la raíz cúbica). Para ello hay que preguntarse cuándo va a ser \( e^{i \pi (2k+1)} \) real. Pero una exponencial imaginaria es real si y solo si el argumento es un múltiplo de \( \pi \), por tanto habrá un valor real de \( (-r)^x \) si y solo si existen \( k,n \in \Bbb Z \) tales que \( i \pi (2k+1)x = i \pi n \), si y solo si \( x = \frac{n}{2k+1} \). Es decir, solamente las potencias de raíces impares de números negativos tienen algún valor real.

¿Que has intentado? Para ver si es monoide o no, solo tienes que comprobar si la operación es asociativa y tiene elemento neutro.

¿Son asociativas la suma y el producto de matrices (con coeficientes racionales)? ¿Tienen elemento neutro para la suma y el producto?

No he leído con detalle el mensaje, pero creo que te complicas la vida y el teorema de sigue bastante directo del lema.

Con algo más de detalle. Si \( L(x)=f(x_0)+b(x-x_0) \) es una aproximación afín distinta de \( M(x) \), tienes que \( \lim_{x\to x_0} \frac{E_L(x)}{x-x_0}=f'(x_0)-b \neq 0 \). Por tanto, en un entorno reducido de \( x_0 \) tienes que \( |E_L(x)| > A|x-x_0| \), con \( A>0 \) (por ejemplo, puedes tomar \( A:= \frac{f(x_0)-b}{2} \)). Sin embargo, como \( E_M(x)=o(x-x_0) \), tienes que \( |E_M(x)| < \frac{A}{2}|x-x_0| \) en un entorno reducido de \( x_0 \). Por tanto en el entorno reducido intersección de los dos, \( |E_M(x)|< |E_L(x)| \).

Bien. Y en el razonamiento que seguía, quitando lo de la paridad de k, ¿me he equivocado en alguna cuenta o algo? En éste:

0ª \( n=a+b+c...
  \)

1ª \( kn=at_{1}+bt_{2}+ct_{3}...
  \)

y podemos hacer

2ª \( kn=ak+bk+ck...=at_{1}+bt_{2}+c_{t_{3}}...
  \)

3ª \( a(t_{1}-k)+b(t_{2}-k)+c(t_{3}-k)...=0
  \)

1ª+3ª \( \Rightarrow
  \)

4ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
  \)

Ahora, repito este proceso etiquetando 4ª=(1a)ª:

(1a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...
  \)

(2a)ª \( kn=a(2t_{1}-k)+b(2t_{2}-k)...=ak+bk+ck...
  \)

(3a)ª \( a(2t_{1}-2k)+b(2t_{2}-2k)...=0
  \)

1ª+(3a)ª \( \Rightarrow
  \)

(4a)ª \( kn=a(3t_{1}-2k)+b(3t_{2}-2k)...
  \)

...

Por 4ª y por (4a)ª vemos que los coeficientes de la “tes” y la “k” irán aumentando en una unidad si reptimos el proceso varias veces. Así tendremos coeficientes “m” para las “tes” y coeficientes “m-1” para la k (donde “m” tiene libertad para ser el número que quiera ser) de manera que podemos escribir:

5ª \( kn=a(mt_{1}-(m-1)k)+b(mt_{2}-(m-1)k)...=
  \)

\( kn=a(mt_{1}-mk+k)+b(mt_{2}-mk+k)...=
  \)

Ahora, por el miembro izquierdo de 2ª, sumado a ésta anterior, tenemos

\( 2kn=a(mt_{1}-mk+2k)+b(mt_{2}-mk+2k)...
  \)

Nada más que por saberlo, por si tuviera también algún error.

Creo que está bien. Solo que para justificar que \( k \) no puede ser par es innecesariamente complicado, porque el argumento que di en el primer párrafo de mi anterior mensaje funciona igual y es más sencillo.

Ahí hay otra cosa que puedes tener en cuenta.

Sabemos que la cantidad de divisores de un número, como pueda ser, según su descomposición en potencias de primos, \( 2^{2}\cdot3^{2}\cdot7\cdot11^{4}
  \), por la conocida fórmula es el producto de sus potencias aumentadas en una unidad; en este caso:

\( (2+1)(2+1)(1+1)(4+1)=90
  \) divisores.

En cuanto un primo tiene una potencia impar tendremos un factor par, pues será (impar+1) y k, la cantidad de divisores según la letra que uso, tendría que ser par; pero parece que no puede serlo nunca a partir de lo observado (si no me he equivocado en todo lo demás que he dicho).

Cuidado, una cosa es el número total de divisores (contando al propio \( n \)) y otra el de divisores propios. Como estos difieren en una unidad, cuando uno es para el otro es impar y viceversa. Cuando hay un exponente impar en la factorización tienes que el número total de divisores es par, y por tanto \( k \) es impar. A priori en este caso no hay problema. Por el contrario, si todos los exponentes fueran pares (es decir, \( n \) es un cuadrado perfecto), tendríamos que el número total de divisores es impar y por tanto \( k \) sería par, que es precisamente lo que hemos visto que es imposible. Por tanto, ningún cuadrado puede ser un número perfecto impar.