Rincón Matemático

Matemática => Geometría y Topología => Topología (general) => Mensaje iniciado por: zapayan en 04 Marzo, 2022, 08:45 pm

Título: Demostrar que una función es una métrica en R
Publicado por: zapayan en 04 Marzo, 2022, 08:45 pm
Buenas amigos

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua y creciente (es decir, tal que \( s<t \) implica que
\( f(s)<f(t) \)), demostrar que la función definida por: \( d_f (x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right | \)

Es una métrica en \( \mathbb{R} \)

No se si empecé bien:
Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|=0} \)

De aquí según los axiomas de métrica, ni idea de como seguir.

Agradezco de antemano sus aportes.
Título: Re: Demostrar que una función es una métrica en R
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 04 Marzo, 2022, 09:01 pm
Si \( d_f(x,y) = |f(x)-f(y)|=0  \) entonces \( x=y \) por ser estrictamente creciente.
Tienes que \( d_f(x,y) = |f(x)-f(y)| = |f(y) -f(x)| = \cdots  \).

Y por último:
\( d_f(x,y) = |f(x)-f(y)| = |f(x)-f(z) + f(z) - f(y)| \leq \cdots  \).
Título: Re: Demostrar que una función es una métrica en R
Publicado por: zapayan en 04 Marzo, 2022, 09:30 pm

Pero lo que  hice, ¿Esta bien?.. gracias por la ayuda, lo demás creo divisarlo.
Título: Re: Demostrar que una función es una métrica en R
Publicado por: delmar en 04 Marzo, 2022, 11:45 pm
Hola

Buenas amigos

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua y creciente (es decir, tal que \( s<t \) implica que
\( f(s)<f(t) \)), demostrar que la función definida por: \( d_f (x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right | \)

Es una métrica en \( \mathbb{R} \)

No se si empecé bien:
Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|=0} \)

De aquí según los axiomas de métrica, ni idea de como seguir.

Agradezco de antemano sus aportes.

Lo que se ha demostrar es que la función \( \mu \) es una métrica :

Dado \( f:R\rightarrow{R} \) continua y creciente y

\( \mu:R \ X \ R\rightarrow{[0,\infty)} \)

\( (x,y) \in{R^2}\rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |} \)


Para que sea métrica ha de cumplir tres axiomas :

1) \( \mu(x,y)\geq{0}\wedge \mu(x,y)=0\Leftrightarrow{x=y} \)

2) \( \mu(x,y)=\mu(y,x) \)

3) \( \mu(x,z)\leq{\mu(x,y)+\mu(y,z)} \)

Le he puesto \( \mu \) por la razón, que únicamente después de averiguar si cumple los axiomas, se podrá en el caso de cumplirlos decir que es una métrica y denominarla \( \mu(x,y)=d_f(x,y) \)

1) axioma

\( \forall{x,y\in{R}}, \ \ \mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |\geq{0} \)

si \( x=y\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(x)}\right |=0} \)

si \( x\neq y \) hay dos alternativas

A) x>y   B) x<y

Considerando A)

\( x>y\Rightarrow{f(x)-f(y)>0}\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |>0} \)

Averigua para B) y saca conclusiones

Luego para los otros dos axiomas ve el aporte de Juan Pablo Sancho

Saludos
Título: Re: Demostrar que una función es una métrica en R
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Marzo, 2022, 04:43 pm
Hola

Pero lo que  hice, ¿Esta bien?.. gracias por la ayuda, lo demás creo divisarlo.

No. No está bien.

Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq \color{red}{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|\color{black}=0} \)

Es desigualdad en rojo es falsa. Por ejemplo, prueba con \( f(x)=c \) y verás que no se cumple.

Sería cierto si pusieses:

\( \left |{f(x)-f(y)}\right |\leq max_{t,\color{red}s\color{black}\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(\color{red}s\color{black}\right)\right| \)

Saludos.

P.D. De todas formas eso no es útil para probar que es métrica.
Título: Re: Demostrar que una función es una métrica en R
Publicado por: zapayan en 06 Marzo, 2022, 05:25 pm
Hola

Buenas amigos

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua y creciente (es decir, tal que \( s<t \) implica que
\( f(s)<f(t) \)), demostrar que la función definida por: \( d_f (x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right | \)

Es una métrica en \( \mathbb{R} \)

No se si empecé bien:
Supongamos que \( d_f \) es no negativa y simétrica, luego si \( x=y \) entonces \( d_f (x,y)=0 \)
si \( d_f (x,y)=0 \) para cualquier \( x\in{\mathbb{R}} \),

\( 0\leq{\left |{f(x)-f(y)}\right |}\leq{max_{t\in R}\left|f\left(t\right)-f\left(t\right)\right|=0} \)

De aquí según los axiomas de métrica, ni idea de como seguir.

Agradezco de antemano sus aportes.

Lo que se ha demostrar es que la función \( \mu \) es una métrica :

Dado \( f:R\rightarrow{R} \) continua y creciente y

\( \mu:R \ X \ R\rightarrow{[0,\infty)} \)

\( (x,y) \in{R^2}\rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |} \)


Para que sea métrica ha de cumplir tres axiomas :

1) \( \mu(x,y)\geq{0}\wedge \mu(x,y)=0\Leftrightarrow{x=y} \)

2) \( \mu(x,y)=\mu(y,x) \)

3) \( \mu(x,z)\leq{\mu(x,y)+\mu(y,z)} \)

Le he puesto \( \mu \) por la razón, que únicamente después de averiguar si cumple los axiomas, se podrá en el caso de cumplirlos decir que es una métrica y denominarla \( \mu(x,y)=d_f(x,y) \)

1) axioma

\( \forall{x,y\in{R}}, \ \ \mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |\geq{0} \)

si \( x=y\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(x)}\right |=0} \)

si \( x\neq y \) hay dos alternativas

A) x>y   B) x<y

Considerando A)

\( x>y\Rightarrow{f(x)-f(y)>0}\Rightarrow{\mu(x,y)=\left |{f(x)-f(y)}\right |>0} \)

Averigua para B) y saca conclusiones

Luego para los otros dos axiomas ve el aporte de Juan Pablo Sancho

Saludos

Gracias a todos, ya capte, en realidad no era muy dificil.

saludos