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Matemática => Geometría y Topología => Topología (general) => Mensaje iniciado por: blnrcc en 22 Enero, 2022, 08:46 pm

Título: ¿Todo conjunto X incluido en R contiene un subconjunto numerable denso en X?
Publicado por: blnrcc en 22 Enero, 2022, 08:46 pm
¿Cómo demostrar que todo conjunto \( X \) incluido en \( \Bbb R \) contiene un subconjunto numerable denso en \( X \)?

Gracias!
Título: Re: ¿Todo conjunto X incluido en R contiene un subconjunto numerable denso en X?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Enero, 2022, 10:48 pm
Hola

¿Cómo demostrar que todo conjunto \( X \) incluido en \( \Bbb R \) contiene un subconjunto numerable denso en \( X \)?

Se supone que \( X \) es infinito. Considera una enumeración del los racionales, \( \{x_n\} \). Para cada \( x_n \) la familia de entornos \( U_{nm}=(x_n-1/m,x_n+1/m) \) con \( m\in \Bbb N \). Son una base de la topología usual.

Para cada \( m,n \) toma un punto \( x_{n,m}\in X\cap U_{nm} \) si  la intersección es no vacía. Si la intersección es vacía toma \( x_{n,m} \) un punto cualquiera de \( X \).

Toma \( A=\{x_{n,m}|n,m\in \Bbb N\} \). Es numerable por que \( \Bbb N\times \Bbb N \) es numerable. Comprueba que es denso en \( X \).

Saludos.