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Matemática => Geometría y Topología => Topología (general) => Mensaje iniciado por: alumnolibre en 16 Noviembre, 2021, 04:54 pm

Título: Compacidad en espacios métricos
Publicado por: alumnolibre en 16 Noviembre, 2021, 04:54 pm
Buenos dias , si alguien pueda ayudarme con este ejercicio por favor

Let \( (K_1,d_1),...,(K_n,d_n) \) be compact metric spaces, and let \( K:=K_1\times ...\times K_n \) be equipped with any of the two (equivalent) metrics \( D_1 \) and \( D_\infty \). Show that \( K \) is compact.

Metrics:

\( D_\infty(x,y):=\max_{j=1...n}d_j(x_j,y_j)\\
D_1(x,y):=\sum_{j=1}^{n}d_j(x_j,y_j)\\
D_\infty\leq D_1\leq n D_\infty  \)
Título: Re: Compacidad en espacios métricos
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Noviembre, 2021, 08:45 pm
Hola

Buenos dias , si alguien pueda ayudarme con este ejercicio por favor

Let \( (K_1,d_1),...,(K_n,d_n) \) be compact metric spaces, and let \( K:=K_1\times ...\times K_n \) be equipped with any of the two (equivalent) metrics \( D_1 \) and \( D_\infty \). Show that \( K \) is compact.

Metrics:

\( D_\infty(x,y):=\max_{j=1...n}d_j(x_j,y_j)\\
D_1(x,y):=\sum_{j=1}^{n}d_j(x_j,y_j)\\
D_\infty\leq D_1\leq n D_\infty  \)

Usa la caracterización/definición de compacidad para espacios métricos: es compacto si y sólo si toda sucesión tiene una subsucesión convergente.

Entonces la idea es, dada una sucesión \( \{(x^1,x^2,\ldots,x^n)_k\} \).

- Por ser \( K_1 \) compacto \( \{x^1_k\} \) tiene una subsucesión convergente, \( \{x^1_{f_1(k)}\} \).
- Por ser \( K_2 \) compacto \( \{x^2_{f_1(k)}\} \). tiene una subsucesión convergente, \( \{x^2_{f_2(k)}\} \).
- Por ser \( K_3 \) compacto \( \{x^3_{f_2(k)}\} \). tiene una subsucesión convergente, \( \{x^3_{f_3(k)}\} \).

 y así sucesivamente.

 Al final comprueba que \( \{(x^1,x^2,\ldots,x^n)_{f_n(k)}\} \) es una subsucesión convergente en el espacio producto con cualquiera de las dos métricas.

Saludos.