[merciparis]

Buenos días, buscaba la solución del siguiente ejercicio.
“Prueba que el espacio cociente que se obtiene al identificar en \( \{0,1\}\times \mathbb{R} \) los puntos \( (0,t) \) y \( (1,t) \) para cada ttex]t\neq 0[/tex] no es de Hausdorff”
Intuitivamente lo veo, pero me gustaría poder formalizarlo en término de los abiertos dados por la relación cociente.
Muchas gracias! Un saludo.

[ani_pascual]

Hola:

Buenos días, buscaba la solución del siguiente ejercicio.
“Prueba que el espacio cociente que se obtiene al identificar en {0,1}x \( \mathbb{R} \) los puntos (0,t) y (1,t) para cada t\( \neq \)0 no es de Hausdorff”
Intuitivamente lo veo, pero me gustaría poder formalizarlo en término de los abiertos dados por la relación cociente.
Muchas gracias! Un saludo.

¡Ah, ya he visto que has corregido. Te iba a preguntar ¿qué conjunto es \( 0,1x(\mathbb{R}) \) ? 
Voy a pensar sobre el ejercicio 
Saludos

[ani_pascual]

Si no estoy equivocado... si denotamos por \( X=\{0,1\}\times \mathbb{R} \) y por \( \sim  \) la relación de equivalencia dada, parece que en el espacio topológico cociente \( \left(X\,/\sim, \tau/\sim\right) \) el elemento \( \overline{(0,0)} \) no se puede separar del elemento \( \overline{(1,0)} \) por abiertos, ya que para cualesquiera entornos abiertos \( U,V \) de \( \overline{(0,0)} \) y \( \overline{(1,0)} \) respectivamente, se tiene que \( U\cap V\neq\emptyset \), pues \( U=p\left(\{0\}\times ]-\varepsilon,\varepsilon[\right)  \) y \( V=p\left(\{1\}\times ]-\delta,\delta[\right) \) de donde \( U\cap V=\left\{\overline{(0,t)}=\overline{(1,t)}: 0<|t|<\min\{\varepsilon,\delta\}\right\}\neq \emptyset \), siendo \( p:X\longrightarrow X/\sim \) la proyección canónica.
Saludos

[merciparis]

Si no estoy equivocado... si denotamos por \( X=\{0,1\}\times \mathbb{R} \) y por \( \sim  \) la relación de equivalencia dada, parece que en el espacio topológico cociente \( \left(X\,/\sim, \tau/\sim\right) \) el elemento \( \overline{(0,0)} \) no se puede separar del elemento \( \overline{(1,0)} \) por abiertos, ya que para cualesquiera entornos abiertos \( U,V \) de \( \overline{(0,0)} \) y \( \overline{(1,0)} \) respectivamente, se tiene que \( U\cap V\neq\emptyset \), pues \( U=p\left(\{0\}\times ]-\varepsilon,\varepsilon[\right)  \) y \( V=p\left(\{1\}\times ]-\delta,\delta[\right) \) de donde \( U\cap V=\left\{\overline{(0,t)}=\overline{(1,t)}: 0<|t|<\min\{\varepsilon,\delta\}\right\}\neq \emptyset \), siendo \( p:X\longrightarrow X/\sim \) la proyección canónica.
Saludos

Estupendo. ¡Muchísimas gracias por la ayuda!