Hola, Carlos, este es un sitio de matemáticas, donde es posible llegar a resolver por medio de las matemáticas ese límite indeterminado cuando tienda a cero el espesor, en particular yo le he dado un par de vueltas a como por encima me lo indicas, y no lo veo, pero dejemos de lado mi posible ignorancia, y asiento que lo puedas hallar.
No sé si no te entiendo yo a ti o no me has entendido tú a mí, porque lo que creo entender de tu mensaje es que crees que yo he dicho que la intensidad del campo gravitatorio de una esfera sobre la propia superficie de la esfera puede calcularse y da lo que dice DCM, a saber, \( g= GM/2r^2 \), pero yo no he dicho eso. Al contrario, lo que digo es que no tiene sentido calcular esa intensidad, porque, según como lo plantees, te dará una cosa u otra (el valor que le da DCM es una posibilidad entre infinitas) y no hay razón para considerar que una es mejor que otra.
Considerar una distribución de masa (o de carga eléctrica) puntual, unidimensional o bidimensional tiene sentido físico cuando se puede ver como una aproximación del caso de una distribución que ocupa una porción muy pequeña del espacio (en el caso puntual) o de un tubo de grosor despreciable (en el caso lineal) o en el de una superficie de grosor despreciable (en el caso bidimensional), pero para ello es necesario que los resultados que obtengas con el modelo puntual, lineal o bidimensional sean esencialmente los mismos (pero más fáciles de calcular) que los que te saldrían sin despreciar dimensiones. Cuando digo "una aproximación", esto puede oscilar entre una aproximación en la que el error sea apreciable, pero lo suficientemente pequeño como para que compense la simplificación del cálculo, o incluso una aproximación con error inapreciable, como si no tienes en cuenta la gravedad de la Luna al estudiar la caída de una piedra.
Por ejemplo, a la hora de estudiar el campo gravitatorio en el exterior de un casquete esférico de grosor despreciable, el resultado es \( g= GM/r^2 \), independientemente de cuál sea el grosor del casquete. Por eso es perfectamente admisible afirmar que éste es el valor del campo gravitatorio (de su módulo, con dirección apuntando hacia el centro del casquete) generado por una esfera de masa M y grosor 0. Eso no es ni más ni menos físicamente imposible que tratar a la Tierra como una partícula puntual al describir su movimiento alrededor del Sol.
Sin embargo, asignar un valor a la intensidad del campo gravitatorio de una esfera de grosor 0 en un punto de la propia esfera no tiene sentido alguno, porque si en lugar de una esfera de grosor 0 consideras un casquete de grosor pequeño, el valor del campo en su interior no se parecerá a un valor límite que podamos tomar como resultado, sino que podrá ser cualquier cosa entre 0 y \( GM/r^2 \) en función de que el punto donde mires esté más cerca o más lejos de sus superficies interior y exterior.
El cálculo que hice en mi mensaje anterior a partir de la fórmula de AlbertR (que no sé si lo has tomado por un argumento a favor de DCM) lo que prueba es que, según cómo hagas tender un casquete esférico a una esfera sin grosor, puedes obtener como intensidad del campo sobre la propia el valor 0, el valor \( GM/r^2 \), el valor \( GM/2r^2 \) y, con pequeñas variantes, podrías conseguir cualquier otro valor intermedio entre los dos primeros. Por eso NO tiene sentido atribuir un valor a ese campo para \( r=R \). No obstante, sí tiene perfecto sentido físico atribuir una intensidad al campo de una esfera de espesor 0 y radio \( R \) para puntos a una distancia de su centro \( r<R \) y \( r>R \), puesto que en este caso el resultado que obtienes es exactamente el mismo que si supones un grosor suficientemente pequeño a la esfera.
Pero mi formación en ingeniería me lo hace ver distinto, no estoy para nada de acuerdo, en darle carácter físico a esa solución,
Si por "esa solución" te refieres al valor \( g= GM/2r^2 \) para la intensidad del campo gravitatorio de una esfera de radio \( r \) sin grosor sobre un punto de la propia esfera, desde luego que no tiene carácter físico,
a fortiori, porque no existe la solución desde un punto de vista matemático.
Ahora bien, la razón es la que he explicado antes, y no ésta:
sostengo que físicamente imposible conseguir una capa de material, mas fina que una molécula ,átomo, o celda de una red cristalina, dependiendo del material que se trate.
Claro, pero eso no impide que puedas considerar a la Tierra como una partícula puntual a la hora de estudiar su movimiento alrededor del Sol y probar, por ejemplo, que, despreciando la influencia de los demás cuerpos del sistema solar, dicho movimiento cumple las leyes de Kepler. Tratar a la Tierra como una partícula puntual no supone que tengamos que comprimir la Tierra hasta que ocupe un volumen menor que el de un átomo. Si para probar las leyes de Kepler hace falta que nos aplasten a todos, mejor vivimos sin ellas.
En física "para nada es falso", en esa capa es imposible conseguir sin incluir o mediar otras fuerzas que cambian la naturaleza del problema, para aumentar la densidad indefinidamente, es decir, en física hay cota a la densidad, cota al espesor, y cota a la separación mínima entre dos masas diferentes, sin que medien las fuerzas repulsivas electromagnéticas de los electrones de átomos.
Por eso repito , la única forma idealizable de disminuir el espesor, sería reduciendo el número de elementos diferenciales de masa presentes en la capa, el mínimo elemento diferencial a quitar es ese átomo, molécula o celda, luego , la única solución física es reducir la masa, si se reduce la masa la gravedad que provoca cae hasta el límite cero. Por eso para mi es perogrullo. Como donde estoy publicando sitio dedicado a las matemáticas te doy la derecha de que puedes hallar el límite y allí lo dejo.
Pero el límite (del campo gravitatorio en este caso) no existe, pero no por lo que dices. Si lo que dices viniera al caso, por el mismo motivo podrías cuestionar que se calcule el momento de inercia de una esfera hueca. Si el momento de inercia de una esfera hueca (por ejemplo, respecto a un eje que pase por su centro) es el que es, se justifica porque es el límite al que tiende el momento de inercia de un casquete esférico de una masa M fija cuando hacemos que sus dos radios tiendan a un mismo valor. Y con eso sólo estamos diciendo que si estudias, por ejemplo, como cae una esfera hueca rodando sin deslizamiento por un plano inclinado, obtendrás prácticamente el mismo resultado si haces los cálculos con la fórmula de un casquete esférico poniendo los dos radios interior y exterior del casquete que si usas la fórmula para una esfera hueca poniendo un único radio.
Si tienes, digamos, una esfera metálica, de espesor muy fino en comparación con su radio, y quieres calcular cuánto tardará en caer rodando por un plano inclinado, no necesitas medir su espesor (que sería complicado sin emplear instrumentos de medida sofisticados, sobre todo si no puedes romperla para medirlo directamente), sino que te basta medir su diámetro con cualquier instrumento elemental adecuado para ello y podrás obtener resultados precisos con la fórmula para una esfera hueca.
Ahora bien, para deducir matemáticamente la fórmula correcta para el momento de inercia la esfera hueca, tienes que considerar el límite cuando haces tender los dos radios de un casquete esférico a un mismo valor
manteniendo la masa. Eso hace que la densidad tienda a infinito, pero no estamos violando las leyes de la física por ello, porque nadie pretende comprimir realmente una esfera. Simplemente, si tratas como 0 el espesor del casquete, su densidad se vuelve infinita, pero eso significa que si quieres calcular la masa de una esfera hueca, no puedes considerar su densidad tridimensional, sino que necesitas conocer su densidad superficial, cuantos gramos pesa cada centímetro cuadrado (no cúbico) de esfera.
Eso no tiene ningún misterio. Si consideras la Tierra como una partícula puntual, entonces su densidad es infinita, pero no pasa nada. Simplemente, si quieres describir una distribución de masas puntuales, no puedes considerar una función de densidad que se integra en el volumen en el que quieres calcular la masa, sino que tienes que considerar un múltiplo de una delta de Dirac (o una combinación lineal de deltas de Dirac si tienes varias masas puntuales). Similarmente, el mero hecho de considerar una esfera hueca (sin grosor) ya supone que estás considerando que su distribución de masa tiene densidad infinita, pues tienes una masa M contenida en una región del espacio de volumen arbitrariamente pequeño, pero por eso no hay que considerar densidades tridimensionales, sino bidimensionales. Suponemos (falsamente) que la esfera no tiene grosor y, a cambio, trabajamos con una función de densidad superficial.
Lo que sí quiero expresar es que físicamente no será \( g=\dfrac{GM}{2r^2} \) que lo demuestre resolviendo la integral de 1 "átomo" de espesor con la masa separada al menos 1 "átomo" de distancia de cualquier otra. Tampoco a "ciencia" cierta se podría medir para cotejar el grado de veracidad , al menos con los elementos actuales, solo se trata un resultado matemático anecdótico, que a ningún físico , matemático o ingeniero lo pueda desvelar sus implicancias. Y resalto que no se debería usar , ni como pretexto, para permitir otras elucubraciones descabelladas que no tienen sentido en el mundo físico.
No es el caso ni por asomo, por ejemplo de excelencia, el de las matemáticas involucradas en las ecuaciones de campo de Einstein que bien resueltas, dan predicciones, que se comprueban y comprobaron mediante experimentos recién 100 años después de formuladas usando técnicas avanzadas.
En este caso de este hilo saca conclusiones por usar puntos del espacio que no están en el dominio de la función, (pararse donde no se debe) para obtener un resultado que se puede también obtener de otras formas , como nos demuestras, incluso es un valor posible por el teorema del valor medio, si la "función gravedad" obtenida por integración resultase continua, pero para nada habilita a decir que esa integral no sirve o tiene utilidad cuando todos sus parámetros toman valores físicamente posibles.
El resumen del hilo es basarse en características matemáticas de la función integrada , burlando para que fue concebida, tomar el valor cuando es discontinua, y asegurar que que no sirve para nada más, por su resultado mágico. Espero que den cabida de modo alguno a esa aberración.
No. La integral que considera DCM está bien calculada y da lo que él dice que da, pero no puede considerarse como "el valor correcto" de la intensidad del campo gravitatorio de una esfera hueca (sin grosor) porque puedes calcularla de infinitas formas y obtener infinitos resultados distintos, según cómo hagas tender los radios interior y exterior de un casquete esférico a un mismo valor. Si, por ejemplo, tomas \( R_1 = r-\epsilon \) y \( R_2 = r+2\epsilon \) y haces tender \( \epsilon \) a 0 obtendrás un valor distinto de los tres que consideré en mi mensaje anterior, y con variantes así puedes obtener infinitos resultados distintos.
Lo que te digo es que la razón por la que no tiene sentido fijar un valor para el campo de una esfera hueca en un punto de su superficie, no es que no tenga sentido hablar de esferas huecas porque no hay densidades infinitas. De hecho, sí tiene perfecto sentido hablar del campo gravitatorio de una esfera hueca de masa M en puntos interiores y exteriores, y no pasa nada con que ello resulte de calcular el límite del campo de un cascarón cuando hacemos tender sus radios a un mismo valor manteniendo la masa constante, como tiene que ser, si no queremos que nos salga una esfera de masa \( M=0 \), que no generaría ningún campo gravitatorio.
Te digo que considerar distribuciones de masa o de carga puntuales, lineales o bidimensionales es una forma de modelizar ciertos fenómenos físicos que es perfectamente legítima y conveniente cuando realmente se pueden ver como casos límite de distribuciones tridimensionales con una o varias dimensiones despreciables. Te digo que no puedes (ni necesitas) anatemizar una técnica perfectamente válida y operativa en los contextos adecuados para refutar un caso en el que se está aplicando mal, sin duda alguna.
