[argentinator]

Respecto el ejercicio 16.8, ya lo discutimos con un par de amigos de este curso.

Te copio la discusión que tuvimos por ejemplo con enloalto.

La cuestión es que el Munkres no es muy claro en lo que pretenden en este ejercicio, puesto que afirma que uno obtiene una topología "familiar", pero sin embargo uno necesita el concepto de "homeomorfismo" para poder decir que "es la misma topología" que, por ejemplo \( R_\ell \), cuando se presenta.

Y eso viene en una sección posterior. Así que bueno, cuando veas lo de espacios homeomorfos, podrás decir algo más preciso que "lo más parecido" o "familiar", y decir algo concreto como "homeomorfo a".

Ejercicio 16.8. Si \( L \) es una recta en el plano, describa la topología que \( L \) hereda como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \) y como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l} \). En ambos casos se trata de una topología conocida.

Solución.

No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
\( L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\} \).
Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.

Sea \( U \) un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \), entonces existen \( [a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}} \) y \( (c,d)\in{B_{\mathbb{R}}} \) tal que
\( U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})} \)
Entonces, si \( (w,z)\in{U} \), se tiene que
\( z=mw+n \) y \( a\leq{w}<b \) y \( c<z<d \), de aquí

Aca tendría que estudiar dos casos:
1) \( m>0 \)
entonces \( ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n} \) y \( c<z<d \).
Es decir \( z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}} \).
Ahi me quedo 

En los ejercicios donde hay "planos", "rectas" y cosas por el estilo, incluso tambien "intervalos" y "rayos", es siempre buena idea hacer el dibujo y tratar de comprender la situación geométrica.

¿Qué aspecto tiene un elemento típico de la base en la topología de \( L \)?

Claro que hay que separar en casos...
Sin embargo, toda recta \( L \) en el plano tiene un orden estándar.
Esto es típico de la geometría plana.

Estableciendo el orden "natural" de la recta \( L \), se puede definir allí la topología de los intervalos semiabiertos por la izquierda, y denotamos con \( L_\ell \) a la recta cuando la miramos con esa topología.

Ahora te pregunto si al considerar \( L \) como subespacio de \( \mathbb{R}_\ell\times \mathbb R \) tiene la topología de \( L_\ell \).

Para trabajar con comodidad, hay que probar que la intersección de dos intervalos da otro intervalo, y conviene tener claro qué tipo de intervalo da en cada caso (abierto, semiabierto, etc.).

Una vez probado eso, la traducción de la geometría a la forma analítica es casi directa.
Aunque se dan varios casos distintos, según como se efectúen las "intersecciones" con distintos elementos de la base de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R} \)

Consideremos primero una recta con pendiente positiva.

La base de la topología de subespacio de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R} \) contiene a todos los elementos de la topología de \( L_\ell \).
También contiene a los "intervalos abiertos" de \( L \) con su "orden natural". Pero estos conjuntos ya son "abiertos" en \( L_\ell \), así que no estamos agregando nada a la topología, aunque sí que la "base" subespacio obtenido es mayor...

¿Hay otros elementos posibles en la base de subespacio para L?
Hay 4 casos tipicos posibles, y la respuesta sería, según veo, que no.
(Se puede disentir, claro está!!! ...)

Así que la topología sería la de \( L_\ell \), aunque la base obtenida sea mayor.

El conjunto vacío pertenece también a la base en este caso.

------------------------------------------------------------------------------------

Supongamos ahora que \( L \) tiene pendiente nula, o sea, \( L \) es horizontal.
La situación que se obtiene es similar al caso anterior, salvo que la base es la misma que la  \( L_\ell \), aunque con el agregado del conjunto vacío.

Así que obtenemos otra vez \( L_\ell \).

------------------------------------------------------------------------------

Si la recta \( L \) es vertical, se obtiene la base de segmentos "abiertos", o sea, "sin extremos". Esto nos daría la "topología del orden" de la recta L, que difiere claro está de \( L_\ell \).


--------------------------------------------------------------------------------

El último caso a analizar es el de las rectas de pendiente negativa.

La situación es la misma que para las pendientes positivas, aunque con algunas salvedades en el camino.
Por ejemplo, con el orden natural respecto a la orientación del eje x, la recta \( L \) puede considerarse como ordenada "al revés".
Además, la prueba no es exactamente igual, porque los "bordes" de \( R_\ell \) quedan del lado izquierdo siempre, mientras que la inclinación de las rectas ha quedado ahora para el lado opuesto.

Así que podríamos decir que la topología es la de \( L_\ell \), pero teniendo cuidado de decir en qué sentido se toma el orden en \( L \).



-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ahora pasemos a las rectas \( L \) como subespacios de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell \).

Para las rectas \( L \) de pendiente vertical se obtiene de nuevo \( L_\ell \).

Cuando la recta \( L \) es horizontal, se obtiene de nuevo \( L_\ell \).

Cuando la recta \( L \) es vertical, ahora la cosa cambia, y se obtiene \( L_\ell \).

Finalmente, cuando la recta \( L \) tiene pendiente negativa, se obtiene la topología discreta de \( L \).
¿Por qué? Bastaría probar que cada punto en L es abierto.

¿Y por qué en el resto del ejercicio no se obtuvo la topología discreta?


-------------------------------------------------------------------------------------------

Lo que no entiendo del ejercicio es por qué dice que lo que se obtiene es una "topología familiar". No sé a qué se refiere.

La cuestión es que si uno le da a la recta \( L \) un sistema de coordenadas, olvidándose de su descripción inicial con coordenadas \( (x,y) \), lo que se obtiene es que \( L \) es ahora "lo mismo" que el sistema de números reales \( \mathbb{R} \), y las topologías obtenidas han sido: \( \mathbb{R}_\ell,\mathbb{R},\mathbb{R}_d \), según los casos.

O sea, 3 de las topologías más familiares.

Esto está bien justificado, si consideramos un isomorfismo algebraico entre el sistema \( \mathbb{R} \) de números reales y los puntos de la recta \( L \), dados en la forma analítica siguiente (que además sirve de isomorfismo): \( t\to (t,mt+b) \), por ejemplo.

Hasta ahora no hemos visto isomorfismos topológicos,
pero lo que estamos describiendo es tan sólo un isomorfismo algebraico,
y sólo cuenta la interacción entre \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) y \( L \) con su sistema de coordenadas.

Y además, cuando hablamos de \( \mathbb{R} \), nos estamos refiriendo a "cualquier conjunto que satisfaga los axiomas de los números reales".
Fijate que en la sección 4 se dan a los reales sólo como axiomas, y todas las propiedades de los reales son aplicables a cualquier sistema algebraico que verifique esos axiomas.

Parametrizando las rectas en un espacio vectorial, mediante la manera usual del álgebra lineal básica, se obtiene un sistema coordenado sobre dicha recta que satisface los axiomas de números reales, y es isomorfo a cualquier cosa que consideremos como \( \mathbb{R} \).

Ese es el sentido del álgebra lineal, que en cualquier espacio vectorial hay líneas rectas y nociones de paralelismo (suma vectorial).
Hagamos la salvedad de que, si bien una recta en un espacio vectorial cualquiera tiene una topología idéntica a los reales, si así se desea, esto no quiere decir que el espacio completo esté dotado de alguna topología adecuada.

-------------------------------------------

No vislumbro otro sentido de la palabra "familiar" en el enunciado del ejercicio.
Salvo que me esté saltando algún detalle importante.

[argentinator]

Ej.16.9
b)son comparables...osea obtuve que la topologia usual es mas gruesa que la topologia producto sobre  \( {R_{d}\times{R} \)

Es cierto, pero no es tan extenso el ejercicio que no se pueda escribir acá.

Basta tomar un básico en \( R^2 \) y ver si es abierto en \( R_d\times R \).

Es más, podés tomar un "básico cuyas coordenadas son también básicos en \( R \)" (fijate que hay algún lema por ahí que te dice que si tomás "básicos" en cada coordenada, eso te genera una "base" del producto \( R\times R \)".

Así que tendrías que tomar un conjunto en \( R^2 \) de la forma \( B=U\times V \), con \( U,V \) abiertos en \( R \), y verificar que \( B \) es abierto en \( R_d\times R \).

Pero \( B \) es abierto en \( R_d\times R \) porque \( R_d \) es \( R \) con la topología discreta, en la cual todo conjunto es abierto, o sea que trivialmente \( U \) es abierto en \( R_d \).
Y por otro lado, \( V \) ya era abierto en \( R \).
O sea que \( U\times V \) es abierto en la topología producto \( R_d\times R \).

Y ahí termina.
No me imagino cómo es que te ha quedado muy largo este ejercicio.

Saludos

[argentinator]

Se me hiso largo el ejercicio porque quise gastar tinta ajjajajajja pues ademas probé, que no se puede escribir un abierto de la topologia sobre \( R_d\times R \) como union de abiertos de la topologia usual... por eso... 

En realidad eso pasa sòlo "a veces", así que en ese detalle basta conque encuentres un contraejemplo.
Por ejemplo, como \( \{0\} \) es abierto en \( R_d \), tendrás que \( \{0\}\times R \) es abierto en \( R_d\times R \).

Pero ese conjunto no puede ser abierto en la topología usual, porque si fuera abierto, su proyección sería abierta también en la topología usual de R... pero su proyección es el conjunto \( \{0\} \) en \( R \), que no es abierto en la topología usual de R.

(Otra manera de ver esto último, sin proyecciones, es pararse en un punto, digamos el (0, 0), y ver que no es un "punto interior" del conjunto \( \{0\}\times R \) en la topología usual, porque en tal caso tendría que haber algún rectángulo abierto que contenga al (0, 0) contenido en el conjunto, lo cual no es posible).

[alejandra]

en cuanto al ejercicio 16.8 por lo que leo llegamos a la misma conclusión 
en cuanto al ejercicio 16.9..

\( B_d[ \) base para la topologia usual (\( \tau_d \)) sobre RxR
\( B_p \) para para la topologia producto (\( \tau_p \)) sobre \( R_d\times R \)
\( \forall{(x,y)}\in{RxR} (xb)\times{(cd)}\in{B_d}/ (xy)\in{(xb)\times{(cd)}} \exists{\ { x\ }\times{(cd)}}\in{B_p}/ (xy)\in{ {\ x\}\times{(cd)}}\subset{(xb)\times{(cd)}} \)

Asi \( \tau_d\subset{\tau_p} \)

Se me hiso largo el ejercicio porque quise gastar tinta ajjajajajja pues ademas probé, que no se puede escribir un abierto de la topologia sobre \( R_d\times R \) como union de abiertos de la topologia usual... por eso

[alejandra]

perdon por los idas y vueltas pero no me funciona bien el internet. Mil disculpas!! y gracias

[alejandra]

Ejercicio 16.10
\( \tau_p \) topologia producto generada por \( B=\{ U\times{V}/ U,V abiertos en I \} \)
\( \tau_d \) cuyos elementos son de la forma ((ab)(cd)) con \( (a<c o a=c)\wedge b<d \)
\( \tau=\{ (I\times{I})\cap{(W\times{M})}/ W\times{M}\in{\tau_d} \} \)

i) Sea \( A=((0.5,0.5),(0.75,0.75))\in{\tau_d} \) supongamos que \( A\in{\tau_p} \) esto es \( \exists{U,V} \) abiertos en I de la forma (ab)x(cd) tal que en particular el punto (0.5,1) esta en A=UxV  esto es a<0.5<b, c<1<d, \( (a,b)\times{(cd)}\subset{I\times{I}} \) pero entonces los puntos de intervalo (1,d) estan contenidos en I Absurdo. Así \( \tau_d\not\subset{\tau_p} \)

ii)De forma análoga llegue que \( \tau\not\subset{\tau_d} \)

iii) Sea \( (xy)\in{(ab)\times{(cd)}\in{B_p} \) tal que (ab)(cd) abiertos en I puedo formar a \( \ {x\}\times{(cd)}\in{B_d} \) pues \( (a<c o a=c)\wedge b<d \) y a demas \( (xy)\in{\ {x\}\times{(cd)}\in{B_d}}\subset{(ab)\times{(cd)} \) pues a<x<b  entonces \( B_d\subset{B_p} \) por lema 13.3 \( \tau_p\subset{\tau_d} \)

iv) por i,ii,iii \( \tau\not\subset{\tau_p} \)

v) el abierto \( A=\{0.5\}\times{(0.5,1]}\in{\tau} \) pero no es abierto en \( \tau_p \) pues en caso contrario se tendria que A=UxV con U,V abiertos en I pero

U={0.5} es abierto en I pues existe un entorno para todo punto del unitario totalmente contenido en I pero no pasa lo mismo con
V=(0.5,1] pues para cualquier entorno que contenga en especial al punto 1 tendra elementos fuera de I

entonces \( \tau_p\not\subset{\tau} \)

vi) si \( \tau_d\subset{\tau} \) entonces como \( \tau_p\subset{\tau_d} \) se tendria que \( \tau_p\subset{\tau} \) absurdo por v) entonces  \( \tau_d\not\subset{\tau} \)

Por lo tanto las unicas comparables seran  \( \tau_p y \tau_d \)

uff...esta bien?

Saludos

[argentinator]

Ejercicio 16.10
\( \tau_p \) topologia producto generada por \( B=\{ U\times{V}/ U,V abiertos en I \} \)
\( \tau_d \) cuyos elementos son de la forma ((ab)(cd)) con \( (a<c o a=c)\wedge b<d \)
\( \tau=\{ (I\times{I})\cap{(W\times{M})}/ W\times{M}\in{\tau_d} \} \)

Los elementos que has descripto ahí no son "los" abiertos, sino los "básicos" de cada una de las respectivas topologías.
¿Los valores de a, b, c, d, varían en todo R o sólo en el intervalo I?
Hay que ser más específico con eso, pues en \( \tau_d \) y \( \tau \) la cosa es diferente.

________________

La notación en (i) es imprecisa.
Debe decir por ejemplo que \( U=(a, b), V=(c, d) \).

Entiendo que escribir en el foro te está costando, pero también se refleja que hay algunas imprecisiones que trasladás desde lo que escribís en el papel.

_____________

Las ideas más o menos parece que estuvieran correctas, pero me perdí debido a las muchas imprecisiones en la escritura.

¿Podrías reescribir todo lo que está antes del inciso (i), así me ubico mejor?
_____________

Para escribir "frases" dentro de una fórmula, se usa el comando \textsf{}.
Así, algo como \( B=\{ U\times{V}/ U,V abiertos en I \} \), se ve más claro y lindo si escribís:
[tex]B=\{ U\times{V}/ U,V \textsf{\ abiertos en\ }I \}[/tex], que se visualiza así:
\( B=\{ U\times{V}/ U,V \textsf{\ abiertos en\ } I \} \)

Fijate que, para que haya un "espaciamiento" adecuado, puse el comando "\ ", que genera un espacio en el texto: "U, V\textsf{\ abiertos en\ } I".

[argentinator]

Hola Alejandra.

He intentado leer de nuevo tu último ejercicio y la verdad es que me cuesta mucho leerlo.

Creo que no queda más remedio que intentar rescribirlo otra vez desde el comienzo.

__________

Nn obstante, has trabajado con conjuntos "básicos" y eso es correcto.

La topologìa \( \tau \) es estrictamente más fina que la topología \( \tau_p \) y también estrictamente más fina que la topología \( \tau_d \).

Estas últimas dos no son comparables.

Yo podría escribir los cálculos, pero algunos son muy parecidos a los que vos pusiste, por lo tanto quisiera trabajar con lo que ya hiciste.

Saludos

[alejandra]

Hola profe!

La verdad que no se de que manera clarificar lo escrito... pero tratare de dar la idea de cada paso que realicé

i) La idea fue tomar un abierto de la topologia del orden del diccionario sobre IxI y por absurdo trato de ver que es abierto en la topologia del producto sobre IxI pero llego a un absurdo. La clave fue tomar un punto en el cual me sea difícil de tomar un rectángulo y que quede contenido.

iii) tomé un elemento básico UxV de la base de la topologia producto tal que contenga al punto (xy), de manera que después encontré un básico de la  forma {x} x (cd) en la topologia del orden del diccionario. El punto (xy) esta en este ultimo y a su vez este ultimo esta contenido en UxV y por el lema 13.3 se tiene lo llegado

iv)por propiedades de inclusión concluyo lo llegado

v) En este encontre un abierto de la topologia de IxI heredada como subespacio de RxR en la topologia del orden del diccionario. pero no es abierto en la topologia del producto sobre IxI

vi) razonamiento análogo a iv)

Eso fue lo que hice... pero llego a que solo son comparables la topologia producto con la del diccionario nada mas.

Esa es mas  o menos la idea que trate de escribir...

igual desde ya muchas gracias por su disposición espero no serle molesta...

GRACIAS y buenas tardes!

[argentinator]

Hola.

Creo que la idea del planteo es correcta.
Ahora bien, lo que me confunde es que hay cosas que están mal, y me cuesta decirte por qué están mal.

Tengo que ir demasiado en detalle en cada cosa.

Por ejemplo, con la topología producto en IxI, me parece que te has confundido en cómo considerarla,
ya que considerás que un intervalo como (0.5, 1] no es abierto, cuando en realidad sí lo es.

Lo mejor creo que será que yo te dé mi versión de la resolución (lo haré más tarde) para que luego vos puedas comparar y razonar en qué te has equivocado.

________________

En resumen, las ideas que aplicás tienen la intención correcta, y eso me ha complicado corregirte porque luego hay errores mezclados en algunas topologías.

Me parece que te puede estar fallando la comprensión de cómo funciona en general una topología de subespacio.

Más tarde vuelvo con este ejercicio.

A mí no me molesta nada sobre todo esto, debido a que soy yo el que abrió el curso de topología al público.
No te preocupes por eso.
Si yo no pudiera dar el curso por algún motivo, lo suspendería y listo.

Saludos