[rosinn]

Hola, tengo un pregunta que creo que es bastante simple pero no consigo dar con la tecla.
Quiero demostrar:
 Sea \( (G,\cdot{}) \) un grupo y \(  a,b\in{}G  \)
 -> el orden de un elemento de un grupo es igual al orden de su inverso.
 -> el orden de \( ab \) es igual al orden de \( ba \)
 -> el orden de \( a \) es igual al orden de \(  bab^{-1} \)

Graciass

[Masacroso]

Hola, tengo un pregunta que creo que es bastante simple pero no consigo dar con la tecla.
Quiero demostrar:
 Sea \( (G,\cdot{}) \) un grupo y \(  a,b\in{}G  \)
 -> el orden de un elemento de un grupo es igual al orden de su inverso.
 -> sean el orden de \( ab \) es igual al orden de \( ba \)
 -> el orden de \( a \) es igual al orden de \(  bab^{-1} \)

Graciass

Para el primero observa (o prueba a demostrar por inducción si no te lo crees) que \( (a^k)^{-1}=(a^{-1})^k \) para todo \( k\geqslant 0 \).

Para el segundo observa que \( b(ab)^k=(ba)^k b \), y para el tercero que \( (bab^{-1})^k =ba^kb^{-1} \), para todo \( k\geqslant 0 \) (si no me crees demuestra cada identidad utilizando inducción).

De esas tres igualdades se sigue fácilmente lo que quieres demostrar en cada caso. Inténtalo y pregunta de nuevo si te surge algún problema.