Los matemáticos se han pasado muchos siglos discutiendo si existen o no números infinitesimales, si una función con tramos verticales es o no una función, y cosas así, y en teoría eso se había resuelto fijando definiciones rigurosas de todo, así que este hilo no me parece muy ejemplificante.
Si a mí me preguntan si los números negativos tienen raíz cuadrada, mi respuesta será un sí o un no según quién lo pregunte y en qué contexto, pero el contexto aquí es éste:
[Contexto, estoy cursando 1º del grado en matemáticas]
Y mi opinión es que si un estudiante de matemáticas pregunta si la identidad es lo mismo que una inclusión, hay que responderle que sí, aunque luego se añadan todas las observaciones psicológicas que se quieran añadir, que yo soy el primero que las añadiría. No estoy cuestionando ninguna de ellas. Lo que no puede ser es que a un estudiante le den la definición estándar de función, llegue a la conclusión de que la identidad es lo mismo que una inclusión, pregunte porque le sorprenda su conclusión y se le diga que no, porque entonces se quedará con la impresión falsa de que se ha equivocado en algo, cuando no es así.
Yo creo que todos tenemos claro que estrictamente hablando, en teoría de conjuntos formal, una función se define como dice Carlos.
Pero en mi opinión, a la hora de hacer matemáticas es muy importante el aspecto psicológico, es decir, cómo pensamos las cosas, y ahí está claro que hay una diferencia esencial en cómo pensamos una función cuando decimos "una inclusión" o "la identidad". Pasa algo parecido a cuando decimos que una función es biyectiva. Si entendemos la función única y exclusivamente como el conjunto de pares, preguntarse si una función es biyectiva no tiene sentido hasta que no especifiquemos en qué conjunto de llegada estamos pensando. No obstante, en matemáticas no es extraño hablar de funciones biyectivas, sin especificar el conjunto de llegada, y todo el mundo entiende lo que se quiere decir.
Teniendo esto en cuenta, desde el punto de vista del uso, yo dejaría claro que uno piensa y trabaja de manera distinta con una inclusión que con la identidad, aunque estrictamente se formalicen de la misma forma.
Estoy totalmente de acuerdo. La única observación adicional que haría a esto es que a las matemáticas se les exige consistencia, pero a la psicología no. Y por eso es mejor dejar la psicología en el ámbito de lo "extraoficial". Por ejemplo, si uno asume que una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^\infty \) en un conjunto \( X \) se define como una aplicación \( x: \mathbb N\setminus\{0\}\longrightarrow X \), resulta que, mientras nadie piensa que una inclusión sea lo mismo que la identidad, dudo mucho que nadie considere que la sucesión de números racionales
\( \displaystyle \left\{\left(1+\frac1n\right)^n\right\}_{n=1}^\infty \)
sea algo distinto de esa misma sucesión vista como sucesión de números reales, y es un ejemplo de la misma situación con aplicaciones disfrazadas, y eso es así pese a que la sucesión, vista como sucesión de números reales es convergente, y vista como sucesión de números racionales no lo es.
Cómo comentario adicional, si uno toma otras fundamentaciones (teoría de categorías, teorías de tipos,...) sí que se distinguen a nivel formal las aplicaciones según su conjunto de llegada. Y en mi opinión esto está más cercano a la práctica habitual de las matemáticas que la versión de teoría de conjuntos.
Sí, eso también lo he señalado yo en mi primera intervención. Concretamente estaba pensando en definiciones de "categoría" en teoría de conjuntos en las que se exige que los conjuntos de morfismos sean disjuntos a no ser que tengan el mismo espacio inicial y final. Pero el contexto de la pregunta es la de un estudiante de primer curso de matemáticas, y por eso me parece que la respuesta adecuada a ese contexto es la respuesta conjuntista estándar. Y ahí no tiene cabida este truco:
Dando un criterio de igualdad: Dos conjuntos \( f_{AB}\subset A\times B \) y \( g_{CD}\subset C\times D \) son iguales como aplicaciones si y sólo si \( A=C \wedge B=D\wedge f_{AB}=f_{CD} \)
En teoría de conjuntos no hay más criterio de igualdad que el que dice que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, y cualquier otro tiene que demostrarse a partir de ése. Otra cosa es que, si quieres que ese principio de igualdad valga, sólo tienes que modificar la definición de aplicación, pidiendo que sea una terna (espacio inicial, espacio final, gráfica) y así ya se cumple tu criterio de igualdad. Eso es perfectamente viable. Lo único que he señalado es que no es lo estándar.
