Hola,

Estoy intentando resolver el siguiente problema de polinomios en cuerpos finitos y no se como hacer el apartado b).
El problema dice:
Sea $$f=x^4-x^3-1 \in\mathbb{F}_3\left[x\right]$$ y $$L$$ el cuerpo de descomposición de $$f$$ sobre $$\mathbb{F}_3$$. Probar que:
a) f es irreducible en $$\mathbb{F}_3\left[x\right]$$
b) $$\left[L:\mathbb{F}_3\right] = 4$$
c) ¿Cuantos elementos tiene L?

El apartado a) lo he probado sin mayor dificultad. Mi duda es cómo resolver los apartados b) y c).

Hola buenas,

Llevo un rato intentando resolver el siguiente problema: Sea $$f \in \mathbb{Q}[t]$$ un polinomio irreducible de grado 5 y $$g = t^{6} + 1$$. ¿Pueden tener los polinomios $$f$$ y $$g$$ alguna raíz compleja común?

He probado que $$g$$ es irreducible en $$\mathbb{Q}[t]$$ y por tanto $$g$$ no se puede factorizar en un polinomio de grado 1 y otro de grado 5. Tengo la sensación de que con eso no puedo concluir que nada acerca de la pregunta inicial. Si alguien tiene alguna idea de cómo resolver el problema sería de gran ayuda.

Hola,
Estoy haciendo un problema en el que hay que calcular las variedades estable e inestable de los puntos de equilibrio. El sistema del problema es: $$x''+2\epsilon x'+x^2-x=0$$ con $$0 \leq \epsilon <1$$. Los puntos de equilibrio son: $$(0,0)$$ y $$(1,0)$$. He conseguido probar que el $$(0,0)$$ es asintóticamente estable y el $$(1,0)$$ es un punto silla (y, por tanto, inestable). Mi duda ahora es sobre como calcular las variedades estables e inestables de cada punto de equilibrio.

Hola buenas, estoy intentando resolver un problema pero no se por donde empezar. El problema dice: Considera el sistema $$x'=Ax$$ donde $$A$$ es una matriz que verifica $$||e^{At}x|| \leq Me^{\alpha t}||x||$$ para todo $$x \in \mathbb{R}^{n}$$, para todo $$t \geq 0$$ y para ciertos $$M>0$$ y $$\alpha \in \mathbb{R}$$. Prueba que si $$h: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ es una función continua que verifica $$\int_{0}^{\infty} |h(t)|dt< +\infty$$ entonces las soluciones de $$x'=Ax+h(t)x$$ verifican $$||x(t)|| \leq \hat{M}e^{\alpha t}||x(0)||$$ para $$t \geq 0$$, para cierta constante $$\hat{M}$$ pero con el mismo $$\alpha$$. Había pensado en utilizar el Lema de Grönwall pero, realmente, no se por donde empezar.

Hola buenas, estaba haciendo un ejercicio de cálculo de integrales por el teorema de los residuos. El caso es que el ejercicio me pide calcular la integral $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos(\pi x)}{x^2-2x+2} dx$$. He utilizado el teorema de los residuos en la frontera semidisco superior de radio R (es decir, el semidisco de radio R con la parte imaginaria positiva) y la recta que va de -R a R (para que el sentido de la integral sea positivo). El caso es que he calculado los polos ($$z=1\pm i$$) y el residuo correspondiente ($$Res(f(z),1+i)=-\pi e^{-\pi}$$) y se me queda lo siguiente, llamando $$C_R$$ a la frontera del semidisco superior: $$ \int_{\alpha_R}^{} \frac{e^{i \pi z}}{z^2-2z+2} dz = \int_{-R}^{R} \frac{e^{i \pi z}}{z^2-2z+2} dz + \int_{C_R}^{} \frac{e^{i \pi z}}{z^2-2z+2} dz = 2 \pi i Res(f(z),1+i) = -\pi e^{-\pi}$$
No se me ocurre ninguna manera de como acotar la integral en $$C_R$$. Lo que sí que se es que una vez esa integral tienda a 0 cuando haga R tender a infinito, solo me queda tomar la parte real de la integral que queda y ya tendré el resultado. ¿Alguien sabe como acotar la integral de $$C_R$$?

El problema dice: Demostrar que si la matriz \( A \) admite \( LU \) entonces todos sus menores principales son no nulos.

Tengo una duda sobre esto y es que el teorema de \( LU \) asegura que toda matriz con todos sus menores principales no nulos admite \( LU \), entonces esta demostración se reduce simplemente a enunciar esto o requiere alguna otra prueba. En caso de hacerse de otra forma, por favor, expliquen cual es y como se hace.