Lamento molestar, ¿éste está bien?

Dados los monoides $$\left(\mathbb{R}^3,+\right)$$ y $$\left(\mathbb{R}^2,+\right)$$ y la función $$f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$$ dada por $$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_3, x_2-x_3\right)$$
- Averiguar si $$f$$ es un morfismo de $$(\mathbb{R}^3,+)$$ en $$(\mathbb{R}^2,+)$$
- En caso afirmativo encontrar $$\operatorname{Ker}(f)$$ e $$\operatorname{Im}(f)$$



Para determinar si la función $$ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $$ dada por $$ f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_3, x_2-x_3\right) $$ es un morfismo de monoides, necesitamos verificar si preserva la operación de suma. Es decir, para cualquier par de elementos $$ (a_1, a_2, a_3), (b_1, b_2, b_3) \in \mathbb{R}^3 $$, se debe cumplir que:

$$
f\left((a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3)\right) = f\left(a_1, a_2, a_3\right) + f\left(b_1, b_2, b_3\right)
$$

Al realizar la suma y aplicar la función, obtenemos:

$$
f\left((a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\right) = \left((a_1+b_1)-(a_3+b_3), (a_2+b_2)-(a_3+b_3)\right)
$$

Por otro lado, sumando las imágenes de los elementos por separado:

$$
f\left(a_1, a_2, a_3\right) + f\left(b_1, b_2, b_3\right) = \left(a_1-a_3, a_2-a_3\right) + \left(b_1-b_3, b_2-b_3\right) = \left((a_1-a_3)+(b_1-b_3), (a_2-a_3)+(b_2-b_3)\right)
$$

Como ambas expresiones son iguales, podemos concluir que $$f$$ es un morfismo de $$(\mathbb{R}^3,+)$$ en $$(\mathbb{R}^2,+)$$.

Ahora, para encontrar el núcleo de $$f$$, buscamos todos los elementos de $$\mathbb{R}^3$$ que se mapean al elemento neutro en $$\mathbb{R}^2$$, que es $$(0,0)$$:

$$
\operatorname{Ker}(f) = \{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid f(x_1, x_2, x_3) = (0,0) \}
$$. Esto nos lleva a las siguientes ecuaciones:

$$
x_1 - x_3 = 0 \\
x_2 - x_3 = 0
$$

De aquí, podemos deducir que \( x_1 = x_3 \) y \( x_2 = x_3 \). Por lo tanto, cualquier elemento en \( \mathbb{R}^3 \) de la forma \( (x, x, x) \) estará en el núcleo de \( f \). Así, el núcleo de \( f \) es:

$$
\operatorname{Ker}(f) = \{ (x, x, x) \mid x \in \mathbb{R} \}
$$

Ahora, para encontrar la **imagen** de \( f \), consideramos el rango de valores que \( f \) puede tomar. Dado que \( f \) está definida por \( f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_3, x_2 - x_3) \), cualquier par ordenado \( (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2 \) puede ser obtenido eligiendo \( x_3 \) libremente y ajustando \( x_1 \) y \( x_2 \) para que \( x_1 - x_3 = y_1 \) y \( x_2 - x_3 = y_2 \). Por lo tanto, la **imagen** de \( f \) es todo \( \mathbb{R}^2 \):

$$
\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}^2
$$

Con esto, hemos determinado que \( f \) es un morfismo de monoides y hemos encontrado su núcleo e imagen.

Mensaje de la moderación: se ha corregido ligeramente el \( \LaTeX \), la ortografía y se ha cambiado el título por uno más informativo.

Hola esto esta bien:
Resuelva los siguientes ejercicios, justificando cada paso en las demostraciones:
1. Muestre que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos a y b con la operación binaria de concatenación es un monoide.

Exercise 1.62: Let $$\mathbb{T}_S^n$$ denote the set of terms in $$n$$ variables whose coefficients are elements of the set $$S$$. For example, $$2 x y \in \mathbb{T}_{\mathrm{Z}}^2$$ and $$\pi x^3 \in \mathbb{T}_{\mathbb{R}}^1$$.
(a) Show that if $$S$$ is a monoid, then so is $$T_S^n$$.
(b) Show that if $$S$$ is a monoid, then $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$.
Exercise: Let $$S, T, U$$, and $$V$$ be sets and let $$X \subseteq S \times T, Y \subseteq T \times U$$, and $$Z \subseteq U \times V$$ be subsets. Define
$$
X * Y:=\{(s, u) \in S \times U \mid \exists t \in T:(s, t) \in X \text { and }(t, u) \in Y\} \subseteq S \times U .
$$

Show that
$$
(X * Y) * Z=X *(Y * Z) .
$$
(b) Let $$S$$ be a set. Show that $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ is a monoid. Is it commutative?
(c) What are the invertible elements in the monoid of Part (b)?



1-Para demostrar que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos "a" y "b" con la operación binaria de concatenación es un monoide, debemos mostrar que cumple con las propiedades de un monoide:

1. **Asociatividad:** La operación de concatenación de cadenas es asociativa, es decir, para toda $$x, y, z$$ cadenas, $$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$$.

2. **Elemento neutro:** La cadena vacía $$\varepsilon$$, que no contiene ningún símbolo, actúa como el elemento neutro en esta operación, es decir, para toda cadena $$x$$, se cumple que $$x \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot x = x$$.

Veamos la demostración de cada propiedad:

1. **Asociatividad:**
   - Sean $$x, y, z$$ cadenas formadas por los símbolos "a" y "b".
   - Entonces, $$(x \cdot y) \cdot z$$ representa la concatenación de $$(x \cdot y)$$ con $$z$$.
   - Observamos que la asociatividad de la concatenación de cadenas nos asegura que $$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$$.
   - Por lo tanto, la operación de concatenación es asociativa en este conjunto.

2. **Elemento neutro:**
   - La cadena vacía $$\varepsilon$$ es el elemento neutro en la operación de concatenación.
   - Para cualquier cadena $$x$$ formada por los símbolos "a" y "b", se cumple que $$x \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot x = x$$.
   - Por lo tanto, la cadena vacía $$\varepsilon$$ actúa como el elemento neutro en este conjunto.

Dado que hemos demostrado que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos "a" y "b" con la operación binaria de concatenación cumple con las propiedades de un monoide, podemos concluir que este conjunto forma un monoide.

1.62:
(a) Para demostrar que si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n$$ también lo es, necesitamos verificar dos propiedades: la propiedad cerrada bajo la operación y la existencia de un elemento neutro.

1. **Propiedad cerrada bajo la operación:** Dado que los elementos de $$\mathbb{T}_S^n$$ son términos en $$n$$ variables cuyos coeficientes son elementos de $$S$$, la operación de multiplicación entre términos también dará como resultado un término en $$n$$ variables con coeficientes en $$S$$.
   
2. **Existencia de un elemento neutro:** El elemento neutro en $$\mathbb{T}_S^n$$ es el término que tiene coeficientes neutros del monoide $$S$$. Por ejemplo, si $$S$$ tiene un elemento neutro $e$, entonces el término neutro en $$\mathbb{T}_S^n$$ sería $$ex_1x_2\ldots x_n$$.

Por lo tanto, si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n$$ también lo es.

(b) Para demostrar que si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$, necesitamos encontrar una biyección entre los conjuntos.

Definimos la función $$\phi: \mathbb{T}_S^n \rightarrow S \times \mathbb{M}_n$$ como sigue:
- Para un término $$t$$ en $$\mathbb{T}_S^n$$, asignamos a $$\phi(t)$$ el par $$(c, m)$$, donde $$c$$ es el coeficiente de $$t$$ y $$m$$ es la matriz de coeficientes restantes de $$t$$.

Es claro que $$\phi$$ es biyectiva, ya que podemos recuperar el término original a partir de $$(c, m)$$, multiplicando $$c$$ por la matriz de coeficientes $$m$$.

Por lo tanto, si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$.

Ahora, pasemos al ejercicio 1.63.

Para demostrar la igualdad $$(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$$, primero consideremos un elemento $$(s, u)$$ en $$(X * Y) * Z$$. Esto significa que existe un elemento $$t$$ tal que $$(s, t) \in X$$ y $$(t, u) \in Y * Z$$. Pero si $$(t, u) \in Y * Z$$, entonces existe un elemento $$v$$ tal que $$(t, v) \in Y$$ y $$(v, u) \in Z$$. Por lo tanto, $$(s, t) \in X$$ y $$(t, v) \in Y$$, lo que implica que $$(s, u) \in X * (Y * Z)$$.

De manera similar, podemos demostrar la otra inclusión. Entonces, $$(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$$.

(b) Ahora, para demostrar que $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide, primero notamos que $$\mathcal{P}(S \times S)$$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $$S \times S$$. La operación $$*$$ definida anteriormente toma dos subconjuntos y produce un nuevo subconjunto.

Para verificar que $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide, debemos demostrar las dos propiedades:
1. **Propiedad cerrada bajo la operación $$*$$:** La operación $$*$$ toma dos subconjuntos de $$S \times S$$ y produce otro subconjunto de $$S \times S$$, por lo que la propiedad cerrada se cumple.
2. **Existencia de un elemento neutro:** El elemento neutro sería el conjunto vacío $$\emptyset$$, ya que para cualquier conjunto $$X$$, $$X * \emptyset = \emptyset * X = \emptyset$$.

Por lo tanto, $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide.

(c) Los elementos invertibles en el monoide $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ son aquellos conjuntos que tienen elementos que pueden ser invertidos por otros elementos. En este caso, el conjunto $$\{ (a, a) \mid a \in S \}$$ es invertible ya que cada elemento $$(a, a)$$ tiene un inverso $$(a, a)$$ que al multiplicarlo produce el conjunto $$\{(a, a)\}$$. Sin embargo, este monoide no es conmutativo, ya que la operación $$*$$ depende del orden de los elementos.

Hola estoy resolviendo un problema de EDP y llegue hasta este punto no se como evaluar esto alguien sabra:
$$
\begin{array}{l}
=\left.\frac{2}{5}\left(-\frac{x \cos (\pi n x)}{\pi n}+\frac{\sin (\pi n x)}{\pi^2 n^2}\right)\right|_0 ^{0.5} \\
+\left.\frac{2(\pi n(-\cos (\pi n x)+x \cos (\pi n x))-\sin (\pi n x))}{5 \pi^2 n^2}\right|_{0.5} ^1
\end{array}
$$

Determine cuales de las siguientes funciones son analíticas.
\begin{align*}
f(x) &= |x| \\
f(x) &= \frac{1}{x-4} \\
f(x) &= e^{-x} \\
f(x) &= \sin(3x+1) \\
f(x) &= \frac{1}{x^2-2x+1} \\
f(x) &= x^4+4 \\
f(x) &= \frac{1}{x^3} \\
f(x) &= \frac{4x}{x^4+2x^2+5} \\
f(x) &= \sqrt{x-4}, x>4 \\
f(x) &= |x-3| = \sqrt{(x-3)^2} \\
f(x) &= |x||x-1|
\end{align*}

¿Estará bien esta demostración?

Proposición. Dado un espacio normado $$(X,\|\cdot\|)$$ con base de Schaunder $$\operatorname{der}\left(x_n\right)_{n \in N }$$
si definimos $$\|x\|^*=\sup _{N \in N }\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n x_n\right\|$$, entonces $$\left(X,\|\cdot\|^*\right)$$ es un espacio de Banach $$y$$, en consecuencia, $$(X,\|\cdot\|)$$ también es de Banach.

En primer lugar, supongamos que tenemos un espacio normado $$X$$ con una base de Schauder $$\left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$$. Queremos mostrar que el espacio normado $$\left(X,\|\cdot\|^*\right)$$, donde $$\|x\|^* = \sup_{N\in \mathbb{N}}\left\|\sum_{n=1}^N \alpha_n x_n\right\|$$, es un espacio de Banach.

Para demostrar esto, debemos mostrar que toda sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ converge a un punto en dicho espacio. Recuerda que una sucesión de Cauchy es una sucesión en la que las distancias entre sus términos se vuelven arbitrariamente pequeñas a medida que avanzamos en la sucesión.

Ahora, consideremos una sucesión de Cauchy $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$. Esto significa que para cualquier $$\varepsilon > 0$$, existe un entero $$K$$ tal que para cualquier $$m, n \geq K$$, se cumple que $$\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* < \varepsilon$$.

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ es una sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$, también es una sucesión de Cauchy en el espacio normado original $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$. Esto implica que la sucesión $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a un punto $$y$$ en el espacio normado $$X$$.

Ahora, vamos a demostrar que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ también converge a $$y$$ en el espacio normado $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$. Para hacer esto, primero fijemos $$\varepsilon > 0$$. Luego, podemos elegir un entero $$K$$ tal que para cualquier $$m, n \geq K$$, se cumple $$\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* < \frac{\varepsilon}{2}$$.

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a $$y$$ en el espacio normado $$X$$, podemos elegir un entero $$N$$ tal que para cualquier $$k \geq N$$, se cumple $$\left\|y_k - y\right\| < \frac{\varepsilon}{2 \|x_1\|}$$.

Ahora, elijamos cualquier $$n \geq N$$. Luego, podemos escribir $$m = \max\{K, n\}$$ y observar lo siguiente:

\begin{align*}
\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* &= \left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i + \sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* \\
&\leq \left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i\right\|^* + \left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* \\
&< \frac{\varepsilon}{2} + \left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^*.
\end{align*}

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ es una sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$, podemos elegir un entero $$M$$ tal que para cualquier $$k \geq M$$, se cumple $$\left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* < \frac{\varepsilon}{2}$$.

Ahora, elijamos cualquier $$k \geq \max\{N, M\}$$. Entonces, obtenemos:

\begin{align*}
\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - y\right\|^* &\leq \left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i\right\|^* + \left\|\sum_{i=n+1}^m \alpha_i y_i\right\|^* + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^* \\
&< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^* \\
&\leq \varepsilon + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^*.
\end{align*}

Dado que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a $$y$$ en el espacio normado $$X$$, podemos elegir un entero $$P$$ tal que para cualquier $$k \geq P$$, se cumple $$\left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\| < \frac{\varepsilon}{2}$$.

Ahora, elijamos cualquier $$k \geq \max\{N, M, P\}$$. Entonces, obtenemos:

\begin{align*}
\left\|\sum_{j=1}^n \alpha_j y_j - y\right\|^* &< \varepsilon + \left\|\sum_{i=m+1}^K \alpha_i y_i - y\right\|^* \\
&< \varepsilon + \frac{\varepsilon}{2} \\
&= \frac{3\varepsilon}{2}.
\end{align*}

Dado que $$\varepsilon$$ era arbitrario, esto demuestra que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ converge a $$y$$ en el espacio normado $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$.

Hemos demostrado que toda sucesión de Cauchy en $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ converge a un punto en dicho espacio. Por lo tanto, podemos concluir que $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ es un espacio de Banach.

Además, como mostramos que $$\left(y_k\right)_{k\in \mathbb{N}}$$ también converge a $$y$$ en el espacio normado original $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$, esto implica que $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$ también es un espacio de Banach.

 Hemos demostrado que $$\left(X, \|\cdot\|^*\right)$$ es un espacio de Banach y que $$\left(X, \|\cdot\|\right)$$ también es un espacio

Hola estara bien esto

3. Sea $$X$$ un $$K$$-espacio vectorial con producto interno. Suponga que $$u$$ y $$v$$ son ortogonales. Pruebe que $$\|u\| \leq\|u+\alpha i\|$$, para todo $$\alpha \in K$$.
4. En el espacio $$R ^3$$ con el producto interno usual, use el proceso de Gram-Schmidt para obtener un conjunto ortogonal a partir del conjunto
$$
\{(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,2)\} \text {. }
$$
5. Utilice la fórmula
$$
P_{ n }(t)=\sum_{j=0}^N(-1)^j \frac{(2 n-2 j) !}{2^n j !(n-j) !(n-2 j) !} t^{n-2 j},
$$
donde $$N=n / 2$$ si $$n$$ es pary $$N=(n-1) / 2$$ si $$n$$ es impar, para determinar los primeros cinco polinomios de Legendre. Luego, grafíquelos en un mísmo plano.:

3 Para demostrar que $$\|u\| \leq \|u+\alpha i\|$$, debemos usar propiedades del producto interno y algunas desigualdades. Dado que u y v son ortogonales, sabemos que su producto interno es cero, es decir, (u, v) = 0. Luego, podemos usar esta propiedad y la definición del producto interno para demostrar la desigualdad:
$$
\begin{align*}
\|u\|^2 & = (u, u) \\
& = (u + \alpha i, u + \alpha i) & \text{[Podemos sumarle 0 a una expresión sin cambiar su valor, entonces } u = u + \alpha i - \alpha i \text{]} \\
& = \|u + \alpha i\|^2 + (\alpha i, u + \alpha i) + (u + \alpha i, \alpha i) + (\alpha i, \alpha i) & \text{[Propiedades del producto interno]} \\
& = \|u + \alpha i\|^2 + \alpha^2(i, i) + \bar{\alpha}(i, u) + \alpha(u, i) & \text{[Propiedades del producto interno y conmutatividad en } K\text{]} \\
& = \|u + \alpha i\|^2 + \alpha^2 \|i\|^2 + \alpha(u, i) + \bar{\alpha}(i, u) & \text{[Propiedad del producto interno]} \\
& = \|u + \alpha i\|^2 + \alpha^2 \|i\|^2 & \text{[Como u y v son ortogonales, entonces }(u,i) = 0\text{]} \\
& = \|u + \alpha i\|^2 + \alpha^2 \|i\|^2 & \text{[Definición de } \|i\|\text{]} \\
& \geq \|u + \alpha i\|^2 & \text{[Como }\|i\|\text{ tiene que ser positivo y}\alpha^2 \geq 0\text{]}
\end{align*}
$$
Por lo tanto, hemos demostrado que $$\|u\| \leq \|u + \alpha i\|$$ para todo $$\alpha \in K$$.

4.  Para obtener un conjunto ortogonal a partir del conjunto {(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,2)} utilizando el proceso de Gram-Schmidt, seguimos los pasos:

El proceso de Gram-Schmidt se utiliza para encontrar un conjunto ortogonal a partir de un conjunto dado en un espacio vectorial con un producto interno. Para aplicar el proceso de Gram-Schmidt, sigue estos pasos:

Dado el conjunto dado: {$$(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,2)$$}

Paso 1: Normaliza el primer vector del conjunto:
$$
v_1 = (1,-1,1)
$$
Dividimos el vector por su norma para obtener la versión normalizada:
$$
u_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|} = \frac{(1,-1,1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)
$$

Paso 2: Calculo el segundo vector ortogonal:
$$
v_2 = (1,0,1)
$$
Restamos la proyección de $$v_2$$ sobre $$u_1$$ para obtener un vector ortogonal a $$u_1$$:
$$
u_2 = v_2 - \operatorname{proy}_{u_1}(v_2) = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1 \rangle}{\|u_1\|^2}u_1
$$
Calculo el producto interno y las normas necesarias para obtener los valores:
$$
\langle v_2,u_1 \rangle = (1,0,1) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}
$$
$$
\|u_1\|^2=\left\|\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)\right\|^2=\frac{1}{3}(1^2+(-1)^2+1^2)=\frac{1}{3}
$$
Sustituyendo los valores en $$u_2$$:
$$
u_2 = (1,0,1) - \frac{1/\sqrt{3}}{1/3}(1,-1,1) = (1,0,1) - \frac{\sqrt{3}}{3}(1,-1,1) = (1-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},1 - \frac{\sqrt{3}}{3})
$$

Paso 3: Calculo el tercer vector ortogonal:
$$
v_3 = (1,1,2)
$$
Realizamos el mismo proceso:
$$
u_3 = v_3 - \operatorname{proy}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proy}_{u_2}(v_3)
$$
Calculo los valores necesarios:
$$
\langle v_3,u_1 \rangle = (1,1,2) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}
$$
$$
\langle v_3,u_2 \rangle = (1,1,2) \cdot (1-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}}
$$
Sustituyendo los valores en $$u_3$$:
$$
u_3 = (1,1,2) - \frac{2/\sqrt{3}}{1/3}(1,-1,1) - \frac{2/\sqrt{3}}{2/3}(1-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = (0,2,1)
$$

El conjunto ortogonal obtenido es:
$$
\left\{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)\right), (1-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{\sqrt{3}}{3}), (0,2,1)\right\}
$$


5.  Para determinar los primeros cinco polinomios de Legendre utilizando la fórmula dada, procedemos de la siguiente manera:

- Cuando n = 0, el polinomio de Legendre correspondiente es $$P_0(t) = 1$$.

- Cuando n = 1, el polinomio de Legendre correspondiente es $$P_1(t) = -t.$$

- Cuando n = 2, según la fórmula dada, tenemos N = n / 2 = 1. Entonces, el polinomio de Legendre correspondiente es:

$$P_2(t) = (-1)^0 \cdot \frac{(2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)!}{2^1 \cdot 0! \cdot (2-0)!} \cdot t^{2-2 \cdot 0} \\
= 1 \cdot \frac{2!}{2} \cdot t^2 \\
= t^2.$$

- Cuando n = 3, según la fórmula dada, tenemos N = (n - 1) / 2 = (3 - 1) / 2 = 1. Entonces, el polinomio de Legendre correspondiente es:

$$P_3(t) = (-1)^0 \cdot \frac{(2 \cdot 3 - 2 \cdot 0)!}{2^1 \cdot 0! \cdot (3-0)!} \cdot t^{3-2 \cdot 0} + (-1)^1 \cdot \frac{(2 \cdot 3 - 2 \cdot 1)!}{2^1 \cdot 1! \cdot (3-1)!} \cdot t^{3-2 \cdot 1} \\
= 1 \cdot \frac{4!}{2} \cdot t^3 - 1 \cdot \frac{2!}{2} \cdot t \\
= 2t^3 - t.$$

- Cuando n = 4, según la fórmula dada, tenemos N = n / 2 = 4 / 2 = 2. Entonces, el polinomio de Legendre correspondiente es:

$$P_4(t) = (-1)^0 \cdot \frac{(2 \cdot 4 - 2 \cdot 0)!}{2^2 \cdot 0! \cdot (4-0)!} \cdot t^{4-2 \cdot 0} + (-1)^1 \cdot \frac{(2 \cdot 4 - 2 \cdot 1)!}{2^2 \cdot 1! \cdot (4-1)!} \cdot t^{4-2 \cdot 1} \\
= 1 \cdot \frac{6!}{8} \cdot t^4 - 1 \cdot \frac{2!}{4} \cdot t^2 \\
= \frac{1}{8} \cdot (720t^4 - 12t^2) \\
= 90t^4 - 3t^2.$$

Entonces, los primeros cinco polinomios de Legendre son:
$$P_0(t) = 1,$$
$$P_1(t) = -t,$$
$$P_2(t) = t^2,$$
$$P_3(t) = 2t^3 - t,$$
$$P_4(t) = 90t^4-3t^2$$
graficar estos polinomios en un mismo plano como se podra hacer alguna idea ?

Hola que tal podrian decirme como se hacen  esto
  Para cada una de las siguientes procesos estocásticos determine la variable
aleatoria y dar el conjunto de estados en intervalos si lo requiere.
a. Número de autos en una fila en una estación de servicios para cargar combustible.
b. El precio de una acción de una empresa que cotiza en la bolsa de valores.
c. El tipo de cambio de moneda del Euro frente al dólar durante un año.
d. La estatura de las personas que asisten a una policlínica en un día.
e. La cantidad de viento medida en nudos por hora durante todos los días del año en un  parque eólico

Según yo:

a) su conjunto de estados es \( E=\{0,1,2,3.....\} \)
b) su conjunto de estado seria un conjunto continuo por ejemplo los números reales pero como seria este conjunto como lo denotaría
c) creo que también es como el anterior pero no se como denotarlo
d) no lo comprendo
e) creo que es \( E=[0,\infty] . \)

Probar que:
$$z \neq 1 \rightarrow 1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}=\frac{1-z^n}{1-z}$$ sin  efectuar la división.
$$a \neq b \rightarrow a^{n-1}+a^{n-2} b+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$$

Hola demostre el lema de Gauss esta es la demostracion quisiera saber si esta correcta o debo agregar algo mas.

Hola me podrian orientar en esta demostración:

Probar que si dados dos eventos aleatorios \( A \) y \( B \) probar que si \( A \cap B=\emptyset \Rightarrow \operatorname{Pr}(A) \leq \operatorname{Pr}(B) \)