[__Maxi]

Hola, ¿qué tal? Quisiera que alguno de ustedes me oriente un poco aunque sea sobre qué hacer con estos ejercicios. El 1 y el 2 son similares, quizás si me ayudan con uno, de manera casi análoga saque el otro. Y el 3ro la verdad que la parte a la pude hacer, pero la parte b no se cómo hacerla.
Del ejercicio 1 y 2, cuando hablo de gamma, me refiero a esa gamma de las ecuaciones:

\( P_i \cdot V_i^\gamma = \mbox{cte}  \)

No se preocupen por explicarse demasiado, estos ejercicios son unos que aparecen en una guía donde puedo resolver la mayoría, es decir, no soy un ignorante del tema, conozco las ecuaciones. Pero esta anterior no se como aplicarla.

1) A un gas diatómico (suponer \( \gamma = 1,4 \)) se le comunican 500 calorías, por lo que el gas se dilata a presión constante. Hallar el trabajo de expansión del gas. W = 598 Joule

2) Otro gas diatómico se dilata con presión constante (y gamma = 1,4) realizó un trabajo = a 16 kgfm. ¿Qué cantidad de calor se le comunicó al gas? Rta: Q = 131,3 cal

3) Dentro de un cilindro vertical provisto de un émbolo sin rozamiento hay 1g de nitrógeno.
a) La cantidad de calor necesaria para aumentarle 10° a la temperatura del N.
b) ¿Qué magnitud se elevará el émbolo al ocurrir esto? El émbolo pesa 9,8N y el área de su sección transversal es de 10cm\( ^2 \). La presión que trabaja sobre el émbolo es igual a 1 atm. Rta: a: Q = 2,485 cal, b: d=2,7 cm.

[escarabajo]

Hola,
Para el ejercicio 1, para hallar el trabajo debes resolver la integral
\( \displaystyle\int_{V_o}^{V_f}P.dv \) ,
si conoces que en el proceso se cumple para cualquier P y V que
\( P_o \cdot V_o^\gamma = \mbox{cte} \)

Entonces \( P_o \cdot V_o^\gamma = P.V^\gamma \)
De donde \( \displaystyle\frac{P_o.V_o^\gamma}{V^\gamma} \)=P
Sustituyendo este valor de P en la integral:

W=\( \displaystyle\int_{V_o}^{V_f} dv.\displaystyle\frac{P_o.V_o^\gamma}{V^\gamma}
= P_o.V_o^\gamma.\displaystyle\int_{v_o}^{v_f}dv\displaystyle\frac{1}{V^\gamma} \)
Resolviendo esa integral,y evaluando en los límites hallas
el trabajo, con el otro dato deberás hallar Po y Vo.

Para la parte 3 b, pensá en plantear newton en el émbolo,el
gas se dilata por lo que hará una fuerza sobre el émbolo hacia arriba

Saludos

[aladan]

Hola

La ecuación de partida
                                     \( PV^\gamma= K \)

solo se cumple en las transformaciones adiabáticas, no en las isobaras, como esta.

Saludos

[escarabajo]

Muy cierto lo que dice aladan, me quedé con la expresion esa y no me fije que la presión permanece constante, entonces W=P.(Vf-Vo)

[__Maxi]

Pero cómo saco Vf y Vo ? Y la presión ?

[sakerutari]

Hola! Solo me registré para resolver este problema que me costó bastante tiempo y es muy fácil.

1) \( Q= n*\tilde{Cp}*R \)

2) \( \Delta U=n*\tilde{Cv}*R \)

Dividimos la primera ecuación sobre la segunda, y nos queda de la siguiente manera:

\( \displaystyle\frac{Q}{\Delta U}=\displaystyle\frac{\tilde{Cp}}{\tilde{Cv}} \)

Y sabiendo que: \( \displaystyle\frac{\tilde{Cp}}{\tilde{Cv}}=γ \)

Despejamos y obtenemos \( Q=\Delta U*\gamma \)

Y conociendo la relación \( Q=W+\Delta U \) solo queda reemplazar datos y listo!

Saludos

[delmar]

Hola

Hola! Solo me registré para resolver este problema que me costó bastante tiempo y es muy fácil.

1) \( Q= n*\tilde{Cp}*R \)

2) \( \Delta U=n*\tilde{Cv}*R \)

Dividimos la primera ecuación sobre la segunda, y nos queda de la siguiente manera:

\( \displaystyle\frac{Q}{\Delta U}=\displaystyle\frac{\tilde{Cp}}{\tilde{Cv}} \)

Y sabiendo que: \( \displaystyle\frac{\tilde{Cp}}{\tilde{Cv}}=γ \)

Despejamos y obtenemos \( Q=\Delta U*\gamma \)

Y conociendo la relación \( Q=W+\Delta U \) solo queda reemplazar datos y listo!

Saludos

En esta solución hay un error, aún cuando se llegue a la respuesta. El error esta en las dos primeras aserciones :

1) \( Q=n \ C_p \ (T_2-T_1) \)

2) \( \Delta U= n \ C_v \ (T_2-T_1) \)

Hay que multiplicar por la variación de la temperatura durante el proceso. Luego el resto del desarrollo es cierto

Para el problema 2

Primer principio : \( Q-W=\Delta U \)

Por ser el proceso a presión constante :

\( Q=n \ C_p \ (T_2-T_1) \)

y

\( \Delta U= n \ C_v \ (T_2-T_1) \)

Haciendo el cociente : \( \displaystyle\frac{Q}{\Delta U}=\displaystyle\frac{C_p}{C_v}=\gamma\Rightarrow{\Delta U=\displaystyle\frac{Q}{\gamma}} \)

Luego sustituyendo en la ecuación principal :

\( Q-16=\displaystyle\frac{Q}{1.4} \)

Despejando Q y expresándolo en calorías se llega a la respuesta.

Continuaré con el tercero

Saludos

[sakerutari]

Cierto! Estaba apurado cuando lo hice y no me di cuenta, gracias por la corrección, saludos!

[delmar]

Hola para el problema 3

3) Dentro de un cilindro vertical provisto de un émbolo sin rozamiento hay 1g de nitrógeno.
a) La cantidad de calor necesaria para aumentarle 10° a la temperatura del N.
b) ¿Qué magnitud se elevará el émbolo al ocurrir esto? El émbolo pesa 9,8N y el área de su sección transversal es de 10cm\( ^2 \). La presión que trabaja sobre el émbolo es igual a 1 atm. Rta: a: Q = 2,485 cal, b: d=2,7 cm.

a)
El nitrógeno se lo puede considerar como un gas ideal diatómico, su mólecula es \( N_2 \), en consecuencia el número de moles que hay en el cilindro será :\( n=\displaystyle\frac{m}{M}=\displaystyle\frac{1}{2(14)} \), donde \( M \) es la masa de un mol de \( N_2 \) y m la masa de Nitrogeno en el cilindro.

Para un gas ideal diatómico \( c_v=\displaystyle\frac{5R}{2}=20.8 \) J/mol K, además \( \gamma=1.4\Rightarrow{c_p=1.4(20.8)=29.12} \) J/mol K

El proceso es un calentamiento a presión constante, en donde obviamente hay una expansión y en consecuencia trabajo.

Por ser calentamiento a presión constante se tiene :

\( Q=n \ c_p \ (T_2-T_1)=\displaystyle\frac{1}{28} \ (29.12) \ 10=10.4  \) J, en calorías es la respuesta.

Esto se puede hacer bajo la hipótesis de que el nitrógeno es un gas ideal diatómico.

Continuaré con b)

Saludos

[delmar]

Parte b) del problema 3

Aplicando el primer principio de la termodinámica se tiene :

\( Q-W=\Delta U \)

\( Q=10.4 \) J, se calculo en el apartado a)

La energía interna se puede calcular con la hipótesis de que el nitrógeno se comporta como un gas ideal diatómico.

\( \Delta U=n \ c_v \ (T_2-T_1)=\displaystyle\frac{1}{28} \ 20.8 \ 10= 7.429 \) J

Se obtiene W

\( W=Q-\Delta U=10.4-7.429=2.971 \) J

En una expansión isobárica (presión constante) \( W=P \ (V_2-V_1) \) Ec. 1

\( V_2-V_1=\pi \  r^2 \ h=10 (10^{-4}h)  \), r es el radio del cilindro y h es la altura que se eleva el émbolo, demás esta decirlo que el área de la sección transversal del cilindro precisamente es \( \pi r^2 \)

Cáculo de la presión, P del nitrógeno dentro del cilindro.

Para la expansión isobárica, se supone que el proceso es cuasiestático, es decir un proceso lento de tal manera que el nitrógeno, esta en equilibrio termodinámico en todo momento. En esas circunstancias la suma de fuerzas que se ejercen sobre el émbolo es cero en todo momento.

Por la parte superior el aire le ejerce una fuerza hacia abajo : \( F_a=P_{atm} \ \pi r^2 \)

Por no haber fricción el cilindro no le ejerce fuerza alguna en la dirección vertical

Por la parte inferior el nitrógeno le ejerce una fuerza hacia arriba : \( F_{N_2}=P \ \pi r^2 \)

Estas son las fuerzas por contacto; pero también sobre el émbolo se ejerce una fuerza másica, la cuál es su peso : \( F_g=mg=9.8 \) N , hacia abajo

\( -F_a+F_{N_2}-F_g=0\Rightarrow{} \)

Despejamos P,  \( F_{N_2}=9.8+P_{atm} \ \pi r^2\Rightarrow{P=\displaystyle\frac{9.8+P_{atm} \ \pi r^2}{\pi r^2}}\Rightarrow{P=\displaystyle\frac{9.8+101325(10)(10^{-4})}{(10)(10^{-4})}=11125} \) N/\( m^2 \)

Sustituyendo en la Ec. 1 se tiene :

\( 2.971=P10(10^{-4})h \)

Despejas h (en metros) y se obtiene la respuesta

Saludos