[ani_pascual]

Hola:

...


Para mi era \( r(t)=(1/2)gt^2+v_ot+r(0) \)

PD: Puede tener algo que ver con lo que dije arriba del delta \(  t \)?

En el movimiento uniformemente acelerado la aceleración es constante, por tanto,  de \( a=v'(t) \), se deduce que \( \displaystyle\int_{t_0}^ta\,dt=\displaystyle\int_{t_0}^tv'(t)\,dt\Longrightarrow a(t-t_0)=v(t)-v(t_0)\Longleftrightarrow v(t)=v(t_0)+a(t-t_0) \). Teniendo en cuenta que \( v=r'(t) \), integrando otra vez se obtiene \( \displaystyle\int_{t_0}^tr'(t)\,dt=\displaystyle\int_{t_0}^tv(t_0)+a(t-t_0)\,dt\Longleftrightarrow r(t)-r(t_0)=v(t_0)(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \) de donde
\( r(t)=r(t_0)+v(t_0)(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \)
Cuando solo hay un cuerpo en movimiento se suele considerar como instante inicial \( t_0=0 \) y queda la ecuación \( r(t)=r(0)+v(0)t+\dfrac{1}{2}at^2 \), que usualmente se escribe \( \boxed{r(t)=r_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2} \)
Si hay más cuerpos moviéndose con distintos instantes iniciales se usa la fómula general.
Saludos

[sugata]

Inténtalo con un ejemplo sencillo de cálculo.
\( t_0=1s \).sabemos que en este punto \( v_0=0 \)
Si usamos:
\( S(t) =s_0+v_0t-1/2gt^2 \)
¿Cuanto vale S(1)?¿Es cero como debía ser?
Ahora calcula:
\( S(1)=s_0+v_0(t-t_0)-1/2g(t-t_0)^2 \)

[Nub]

Hola:

...


Para mi era \( r(t)=(1/2)gt^2+v_ot+r(0) \)

PD: Puede tener algo que ver con lo que dije arriba del delta \(  t \)?

En el movimiento uniformemente acelerado la aceleración es constante, por tanto,  de \( a=v'(t) \), se deduce que \( \displaystyle\int_{t_0}^ta\,dt=\displaystyle\int_{t_0}^tv'(t)\,dt\Longrightarrow a(t-t_0)=v(t)-v(t_0)\Longleftrightarrow v(t)=v(t_0)+a(t-t_0) \). Teniendo en cuenta que \( v=r'(t) \), integrando otra vez se obtiene \( \displaystyle\int_{t_0}^tr'(t)\,dt=\displaystyle\int_{t_0}^tv(t_0)+a(t-t_0)\,dt\Longleftrightarrow r(t)-r(t_0)=v(t_0)(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \) de donde
\( r(t)=r(t_0)+v(t_0)(t-t_0)+\dfrac{1}{2}a(t-t_0)^2 \)
Cuando solo hay un cuerpo en movimiento se suele considerar como instante inicial \( t_0=0 \) y queda la ecuación \( r(t)=r(0)+v(0)t+\dfrac{1}{2}at^2 \), que usualmente se escribe \( \boxed{r(t)=r_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2} \)
Si hay más cuerpos moviéndose con distintos instantes iniciales se usa la fómula general.
Saludos

Lo entendi, aun asi ni en el libro sale esa formula general, no se porque, aun asi hay alguna forma de pensar el problema pero usando esta formula \( \boxed{r(t)=r_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2} \) ? con lo que dije sobre \( \triangle{t} \) ? ¿Con un cambio de variable?

Otra cosa, Porque integras en ese intervalo y no tomas primitivas? (yo vi la deducion tomando primitivas)

[sugata]

El problema de \( \Delta t \) es que es un incremento. Por ejemplo si  \( \Delta t=1 \) puedes calcular entre 1 y 2 o entre 3 y 4 y saldrá diferente.
Integra en esos intervalos por que en este ejercicio hay un tiempo que no empieza en 0, habitualmente se empieza en 0 y el intervalo sería \( [0,t] \), con lo que quedaría solo la fórmula en t, ya que en 0 se anula el polinomio. Por eso se enseña así.

[Nub]

Creo que entendí, muchas gracias a los 3

[feriva]

El problema es que no entendí la solución, específicamente porque se hace \(  t_f-t_0 \)

Si un objeto se deja caer desde el reposo, entonces su altura incial es \( h_{0}=0 \) y su \( v_{0}t \) también cero (para cualquier tiempo, porque la velocidad incial es cero y da igual, el producto es cero). Así, despejando, tienes que la expresión del tiempo se queda simplmente en \( t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \) (porque la del espacio se queda en \( h=0+0+\dfrac{1}{2}gt^{2} \)).

Como las dos llegan al suelo a la vez, en \( t_{f} \), éste es el tiempo asociado a la primera esfera (que se deja caer desde una altura, digamos, \( h_{1} \); \( t_{f}=\sqrt{\dfrac{2h_{1}}{g}} \)) por ahora ólvidate de la otra esfera; y así está clarísimo hasta aquí.

La otra se deja caer después y desde otra altura, y llega al mismo tiempo que la primera; pero no tarda lo mismo desde su punto de partida al suelo, tarda menos, la altua es menor y por eso llega al tiempo que la otra. Por tanto, el tiempo asociado a la caída libre de dicho cuerpo (segunda esfera) no es \( t_{f} \), es menor en \( t_0 \) segundos, que es lo que ha estado cayendo la otra esfera hasta que se deja caer esta última (que ha estado en reposo hasta entonces; sujetada con la mano, podemos suponer).

Luego la fórmula del tiempo, (ésta \( t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)) para la segunda esfera es:

\( t_{f}-t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h_{2}}{g}} \).

Es decir, despejando

\( t_{f}=\sqrt{\dfrac{2h_{2}}{g}}+t_{0} \)

quizá así como una suma se ve mejor.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
La otra se deja caer después y desde otra altura, y llega al mismo tiempo que la primera; pero no tarda lo mismo desde su punto de partida al suelo, tarda menos, la altua es menor y por eso llega al tiempo que la otra. Por tanto, el tiempo asociado a la caída libre de dicho cuerpo (segunda esfera) no es \( t_{f} \), es menor en \( t_0 \) segundos, que es lo que ha estado cayendo la otra esfera hasta que se deja caer esta última (que ha estado en reposo hasta entonces; sujetada con la mano, podemos suponer).

Luego la fórmula del tiempo, (ésta \( t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)) para la segunda esfera es:

\( t_{f}-t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h_{2}}{g}} \).

Es decir, despejando

\( t_{f}=\sqrt{\dfrac{2h_{2}}{g}}+t_{0} \)

quizá así como una suma se ve mejor.

Eso ya tiene más sentido. Me dejé llevar por el dibujo de Nub y me obcequé en pensar que la piedra que se deja caer más tarde lo hacía de una altura mayor, lo cual es imposible compatibilizar con que lleguen al mismo tiempo. Pero si se plantea como dices, entonces sí es posible.
Adjunto una gráfica \( r-t \)

Saludos

[feriva]

Hola:

...
La otra se deja caer después y desde otra altura, y llega al mismo tiempo que la primera; pero no tarda lo mismo desde su punto de partida al suelo, tarda menos, la altua es menor y por eso llega al tiempo que la otra. Por tanto, el tiempo asociado a la caída libre de dicho cuerpo (segunda esfera) no es \( t_{f} \), es menor en \( t_0 \) segundos, que es lo que ha estado cayendo la otra esfera hasta que se deja caer esta última (que ha estado en reposo hasta entonces; sujetada con la mano, podemos suponer).

Luego la fórmula del tiempo, (ésta \( t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)) para la segunda esfera es:

\( t_{f}-t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h_{2}}{g}} \).

Es decir, despejando

\( t_{f}=\sqrt{\dfrac{2h_{2}}{g}}+t_{0} \)

quizá así como una suma se ve mejor.

Eso ya tiene más sentido. Me dejé llevar por el dibujo de Nub y me obcequé en pensar que la piedra que se deja caer más tarde lo hacía de una altura mayor, lo cual es imposible compatibilizar con que lleguen al mismo tiempo. Pero si se plantea como dices, entonces sí es posible.
Adjunto una gráfica \( r-t \)

Saludos

Me apura que me aplaudan los profesionales de las matemáticas (un pobre aficionado como yo... ).

Gracias, ani.

Saludos.