Para un par de variables \( X,Y \) con medias \( \mu_X,\mu_Y \), varianzas \( \sigma_X^2,\sigma_Y^2 \) y covarianza nula la cota de Cantelli queda:
\( P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2} \)
Para construir un ejemplo donde se alcance la cota habría que proceder asi.
Se construye un vector aleatorio \( (X,Y) \) definido de la siguiente forma:
\(
\begin{pmatrix}X\\Y\\\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}\left(\begin{pmatrix}\sigma_X^2\\ \sigma_Y^2\\\end{pmatrix}\cdot Z+\begin{pmatrix}\sigma_Y^2&-\sigma_X^2\\-\sigma_X^2 &\sigma_Y^2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A\\B\\\end{pmatrix}\right) \)
Donde \( Z \) es la variable discreta en dos puntos que da la cota óptima para una variable de media \( \mu_Z=\mu_X+\mu_Y \) y varianza \( \sigma_Z^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2 \), es decir:
\(
P(Z=0)=\dfrac{\sigma_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2},\qquad P(Z=\dfrac{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}{\mu_Z})=\dfrac{\mu_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2} \)
Y \( (A,B) \) son un par de variables cualesquiera aleatorias independientes de \( Z \), con covarianza nula y tales que:
\(
\mu_A=\mu_X,\quad \mu_B=\mu_Y,\quad \sigma_A^2=\sigma_X^2,\quad \sigma_B^2=\sigma_Y^2 \)
Aquí hay infinitas posibilidades de elección. El artículo sugiere tomar por ejemplo ejemplo una Gaussiana, pero ser podría también tomar como \( A \) y \( B \) un par de variables discretas con probabilidad en dos puntos, independientes entre si y con las medias y varianzas indicadas.
Explicitar más esto es pesado. Por ejemplo si escogemos como te digo \( A,B \), discretas, la variable \( (X,Y) \) tomaría valores en 8 pares de puntos (\( 2\cdot 2\cdot 2 \) ya que cada variable implicada en la fórmula \( Z,A,B \) toma valores en dos puntos).
Saludos.
