Sea \( K \) un cuerpo algebraicamente cerrado y sean \( f,g\in K[x,y] \) de grados positivos \( n,m \) y coprimos. Supongamos además que son de grado positivo en \( y \); de esa manera consideramos la resultante \( R_{y}(f,g)\in K[x] \). Probamos que ésta es un polinomio en \( x \) de grado menor o igual que \( nm \), de la siguiente manera:
Llamamos \( F,G \) a los homogeneizados de \( f,g \) y \( \alpha:K[x,y,z]\longrightarrow K[x,y] \) al morfismo de anillos tal que \( x\longrightarrow x\;,y\longrightarrow y \) y \( z\longrightarrow 1 \).
Con esto, tenemos que \( R_{y}(f,g)=R_{y}(\alpha(F),\alpha(G))=\alpha(R_{y}(F,G))=R_{y}(F,G)|_{z=1} \), que tiene grado menor o igual que \( nm \), ya que vimos en un lema previo que \( gr(R_{y}(F,G))=nm \) al ser \( F,G \) homogéneos de grados \( n,m \)
De la demostración tenemos el siguiente corolario:
\( gr(R_{y}(f,g))<nm \) si y solo si \( z|R_{y}(F,G) \) si y solo si \( R_{y}(F,G)_{z=0}=0 \) si y solo si \( R_{y}(F_{z=0},G_{z=0})=0 \) si y solo si \( R_{y}(f_{n},g_{m})=0 \) (donde \( f_{n},g_{m} \) son las formas finales de \( f,g \))
Ahora bien, en todas las equivalencias anteriores, la resultante siempre se calcula respecto a los grados en \( y \) de \( f,g \) (Si \( f,g\in A[X] \) de grados positivos y \( \alpha:A\longrightarrow B \) morfismo de anillos, vale que \( \alpha(R(f,g))=R(\alpha f,\alpha g) \), donde la resultante se calcula respecto a los grados de \( f,g \) en ambos miembros de la igualdad)
Suponer por ejemplo que las formas finales de \( f,g \) dependan solo de \( x \). Entonces \( R_{y}(f_{n},g_{m})=0 \) no equivale a que \( f_{n},g_{m} \) tengan un factor en común de grado positivo. (en general \( gr_{y}(f) \) no es el grado en \( y \) de su forma final)
