Hola
Hola a todos. Espero que podáis ayudarme con este ejercicio de Geometría que me han propuesto. Cualquier indicación me sería de mucha ayuda para resolverlo.
Muchas gracias.
En un espacio afín \( \epsilon \) con espacio vectorial asociado \( V = W_1 \oplus W_2 \) se consideran la proyección \( p \) y la simetría \( s \) con base \( L = A + W_1 \) y dirección \( W_2 \). Dado un vector \( w \in W_2 \), se pide:
1. Prueba que \( p\circ t_w \) y \( t_w\circ p \) son proyecciones y determina para cada una de ellas su base y dirección.
Si llamas \( \vec P:V\to V \) a la aplicación lineal proyección sobre \( W_1 \) paralelamente a \( W_2 \) tienes que:
\( p(X)=A+\vec P(\overrightarrow{AX}) \)
Ahora\( t_w \) es la traslación en la dirección de \( w \), es decir, \( t_w(X)=X+w \)
Componiendo:
\( (p\circ t_w)(X)=p(X+w)=A+\vec P(\overrightarrow{A(X+w)})=A+\vec P(\overrightarrow{AX}+w)=A+\vec P(\overrightarrow{AX})+\vec P(w)=A+\vec P(\overrightarrow{AX})=p(X) \)
donde hemos usado la linealidad de \( \vec P \) y que \( w\in W_2 \) y por tanto su proyección en la dirección de \( W_2 \) es nulo.
El resultado es lógico: si antes de proyectar desplazamos el punto en la misma dirección del espacio paralelamente al cual proyectamos, la proyección sigue siendo la misma.
Si hacemos la composición opuesta queda:
\( (t_w\circ p)(X)=A+\vec P(\overrightarrow{AX}))+w=(A+w)+\vec P(\overrightarrow{AX})=(A+w)+\vec P(\overrightarrow{AX}-w)=(A+w)+\vec P(\overrightarrow{(A+w)X}) \)
Es decir obtenemos una proyección con base \( (A+w)+W_1 \) y dirección \( W_2. \)
De nuevo es razonable: al trasladar en la dirección de \( w\in W_2 \) después de proyectar trasladamos la base por el vector \( w \), pero mantenemos la misma dirección de proyección.
Intenta ahora el caso de la simetría. Aunque hay otros enfoques, puedes usar que \( s=2p-id. \)
Saludos.