Autor Tema: El problema de la vaca que pasta

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15 Abril, 2021, 11:39 pm
Respuesta #20

robinlambada

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Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).

Creo que tienes 2 errores, el ángulo que partes es medido desde el semieje positivo de abscisas y por ello el segmento tangente tiene longitud \( r \alpha  \) y el sentido del vector tangente es el contrario, a mi juicio sería \( -ir\alpha e^{i \alpha} \)

Saludos.

Es la misma curva que de la otra manera pero reflejada respecto del eje \( Y \). Es decir: tú tienes la involuta parametrizada por \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }-i\alpha re^{i\alpha } \) y la mía está parametrizada como \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }+i(\pi-\alpha) re^{i\alpha } \), para \( \alpha \in [0,\pi] \). Graficando es la misma curva pero reflejada respecto del eje \( Y \).

Para \( r=1 \), tu curva es la de azul, la mía es la naranja:



Para calcular el área bajo la involuta he utilizado la fórmula del área encerrada por una curva, que en definitiva es un caso particular del teorema de Stokes. En este caso, al ser el área un sector, la integral se anula en los pedazos de curva que vienen a cerrar el área definida por la involuta (ya que ahí el ángulo es constante).

El área encerrada por una curva plana cerrada \( \Gamma  \) que no se intersecta a sí misma vendría dada en polares por \( \int_{\Gamma }\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha  \), donde \( \Gamma \) es una colección de puntos \( (r,\alpha ) \). En nuestro caso \( \Gamma =I+J_1+J_2 \), donde \( I \) es la involuta y los \( J_k \) son los segmentos que unen los extremos de la involuta al centro del plano. Ocurre que \( \int_{J_k}\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha =0 \) porque \( J_k=\{(s,\alpha _k):s\in [0,r]\} \) para ángulos \( \alpha _k \) constantes.

Añado: una vez calculada el área sectorial faltaría añadir el área del triángulo dado por los puntos (en tu caso) \( 0, -r, r(-1+i\pi)  \) (en mi caso serían los puntos \( 0,r,r(1+i\pi) \)).
Cierto, son parametrizaciones distintas.
Lo que no me cuadra es el resultado de la integral \( I \) ( No se corresponde con la aproximación poligonal que hice con geogebra, debería ser menor que 6'72 ya que habría que sumarle el área triangular.

Saludos.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Abril, 2021, 11:50 pm
Respuesta #21

Masacroso

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Cierto, son parametrizaciones distintas.
Lo que no me cuadra es el resultado de la integral \( I \) ( No se corresponde con la aproximación poligonal que hice con geogebra, debería ser menor que 6'72 ya que habría que sumarle el área triangular.

Saludos.

Saludos.

Mi \( A_1=r^2\frac{\pi^3}{3} \) es el doble del área sectorial definida por parametrizaciones de la involuta de cero a \( \pi \). Es decir: el área bajo una involuta usando mis cálculos sería de \( \frac{r^2\pi ^3}{6}+\frac{r^2\pi}{2}=\frac{r^2\pi(3+\pi^2)}{6} \), si ponemos \( r=1 \) entonces el área bajo la involuta sería de aproximadamente \( 6,738 \), que es más o menos lo que te sale con la aproximación poligonal.

16 Abril, 2021, 12:17 am
Respuesta #22

robinlambada

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Cierto, son parametrizaciones distintas.
Lo que no me cuadra es el resultado de la integral \( I \) ( No se corresponde con la aproximación poligonal que hice con geogebra, debería ser menor que 6'72 ya que habría que sumarle el área triangular.

Saludos.

Saludos.

Mi \( A_1=r^2\frac{\pi^3}{3} \) es el doble del área sectorial definida por parametrizaciones de la involuta de cero a \( \pi \). Es decir: el área bajo una involuta usando mis cálculos sería de \( \frac{r^2\pi ^3}{6}+\frac{r^2\pi}{2}=\frac{r^2\pi(3+\pi^2)}{6} \), si ponemos \( r=1 \) entonces el área bajo la involuta sería de aproximadamente \( 6,738 \), que es más o menos lo que te sale con la aproximación poligonal.
Muchas gracias, pensé que no  era el doble. Ahora me cuadra perfectamente.
La integral que yo he usado, se basa en una idea que no me convence mucho, pues es para curvas que entiendo que deben ser funciones \( y=f(x) \) y este no es el caso.
 Viene de \( \displaystyle\int_{x(t_o)}^{x(t_1)}y(x)dx=\displaystyle\int_{t_o}^{t_1}y(t)\frac{dx}{dt}dt \)
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16 Abril, 2021, 01:39 am
Respuesta #23

Richard R Richard

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Lo que ocurre es que tu has utilizado el origen del ángulo \( ºtheta \)  desde el semieje negativo de la abscisas y yo el semieje positivo,( tu ángulo se recorre de forma horaria y el mio antihoraria.)


Sí , si, claro.


pero has calculado mal las coordenada de la vaca. tienes mal los signos de las coordenadas del punto de tangencia con el silo y del vector tangente, revísalo.




He repetido mi cálculo y no veo donde me equivoque...


veamos como es la curva por trozos,


\( R\geq x\geq R(\pi +1) \quad \mapsto \quad  y=\sqrt{\pi^2 R_s^2+(x-R_s)^2} \)


la curva cuando  \( -R\geq x < R \mapsto (x_c,y_c)=f_1(\theta) \)


\( x_c=R_s\cos\theta -(\pi R-\theta R)\sin\theta \) 


\( y_c=R_s\sin\theta +(\pi R-\theta R)\cos\theta \)


y el silo lo parametrizo

\( -R\geq x < R \mapsto (x_s,y_s)=f_2(\theta) \)


\( x_s=R_s\cos\theta \)


\( y_s=R_s\sin\theta \)




la distancia entre curvas en función del ángulo  es


\( D(\theta)=\sqrt{(x_c-x_s)^2+(y_c-y_s)^2} \)


\( D(\theta)=\pi R-\theta R \)


como el lógico , es lo que queda de soga que no sea tangente al silo.


luego calculo el área  como


\( A=\dfrac12 \pi (R\pi)^2+2\displaystyle \int_0^{\pi}(\pi R-\theta R)R d\theta \)


\( A=\displaystyle \dfrac{\pi}{2}\pi^2 R_s^2+2R_s^2\left(\pi \theta-\dfrac{\theta^2}{2}\right)\vert_0^{\pi} \)


\( A=\pi^2R_s^2\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right) \) Vuelvo a llegar a lo mismo... que paso esta equivocado?
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

16 Abril, 2021, 08:09 am
Respuesta #24

hméndez

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Lo que ocurre es que tu has utilizado el origen del ángulo \( ºtheta \)  desde el semieje negativo de la abscisas y yo el semieje positivo,( tu ángulo se recorre de forma horaria y el mio antihoraria.)


Sí , si, claro.


pero has calculado mal las coordenada de la vaca. tienes mal los signos de las coordenadas del punto de tangencia con el silo y del vector tangente, revísalo.




He repetido mi cálculo y no veo donde me equivoque...


veamos como es la curva por trozos,


\( R\geq x\geq R(\pi +1) \quad \mapsto \quad  y=\sqrt{\pi^2 R_s^2+(x-R_s)^2} \)


la curva cuando  \( -R\geq x < R \mapsto (x_c,y_c)=f_1(\theta) \)


\( x_c=R_s\cos\theta -(\pi R-\theta R)\sin\theta \) 


\( y_c=R_s\sin\theta +(\pi R-\theta R)\cos\theta \)


y el silo lo parametrizo

\( -R\geq x < R \mapsto (x_s,y_s)=f_2(\theta) \)


\( x_s=R_s\cos\theta \)


\( y_s=R_s\sin\theta \)




la distancia entre curvas en función del ángulo  es


\( D(\theta)=\sqrt{(x_c-x_s)^2+(y_c-y_s)^2} \)


\( D(\theta)=\pi R-\theta R \)


como el lógico , es lo que queda de soga que no sea tangente al silo.


luego calculo el área  como


\( A=\dfrac12 \pi (R\pi)^2+2\displaystyle \int_0^{\pi}(\pi R-\theta R)R d\theta \)
...

Hola, creo que el error está en la integral. Analizando el movimiento del segmento D (marcado en rojo).Usando centros instantáneos de rotación tu integral debería escribirse así:

 \( 2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{1}{2}(\pi R-\theta R)^2d\theta \) cuyo valor es \(  \displaystyle\frac{\pi^3}{3}R^2 \)

Esto al ser sumado con el primer término es igual a \( \displaystyle\frac{5}{6}\pi^3R^2 \) que es el área buscada.

Saludos

16 Abril, 2021, 01:22 pm
Respuesta #25

robinlambada

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Mi error a sido poner el valor absoluto del integrando, al calcular el área.

Es claro que visto así se deben restar dos áreas , en vez de sumarlas como hice con el valor absoluto dentro del integrando( el área desde \( x=-r \) hasta \( x \) máxima  menos el área desde \( x \) máxima a \( x=r \))

Si dejo la integral como : \( A_1= \left |{\displaystyle\int_{0}^{\pi}y(\theta)x'(\theta)d\theta}\right |=\displaystyle\frac{\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)\approx{}6'7385 \)

Enlace a wolfram alpha , con el resultado correcto

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28sinx-xcosx%29xcosxdx+%2C+x%3D0+to+x%3Dpi

Saludos.
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16 Abril, 2021, 01:30 pm
Respuesta #26

robinlambada

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Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.
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16 Abril, 2021, 10:21 pm
Respuesta #27

robinlambada

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He repetido mi cálculo y no veo donde me equivoque...

Si, disculpa, la parametrización es correcta, se trata de la misma que la que ha usado Masacroso, El error como apunta hméndez esta en la integral.

Saludos.
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16 Abril, 2021, 10:27 pm
Respuesta #28

NoelAlmunia

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Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.

Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.

El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( A=\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \);   \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \);   \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)

\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.

Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)

Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)

17 Abril, 2021, 09:20 am
Respuesta #29

robinlambada

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Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.

Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.

El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( \color{red}A=\displaystyle\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \) (*)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \);   \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \);   \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)

\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.

Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)

Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)

Muy útil el Teorema de Green aplicado para calcular áreas de recintos cerrados.

Si tomamos el campo vectorial \( \overrightarrow{F}=(M,N)=(-y,x) \)

Por el Teorema: \( \displaystyle\oint _{\partial D}\overrightarrow{F}\cdot{}\overrightarrow{dr}=\iint _D\left({\frac{{\partial N}}{{\partial x}}-\frac{{\partial M}}{{\partial y}}}\right)dA \)

Entonces queda: \( 2A=\displaystyle\oint _{\partial D}-ydx+xdy=\iint _D 2dA \)

 Te comiste el \( \displaystyle\frac{1}{2} \) en (*) que te marqué en rojo, pero que en los cálculos ya si lo pusiste.

También se puede utilizar para el cálculo del área otras expresiones como usar el campo vectorial por ejemplo \( \overrightarrow{F}=(-y,0) \)  o \( \overrightarrow{F}=(0,x) \)

Saludos desde España.

P.D.: Por cierto me ha gustado bastante el problema que has propuesto y las diferentes maneras de abordar el problema por los compañeros también.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.