[delmar]

Hola y gracias.

Entonces la solución completa sería:

1.- Gradiente: calculando las derivadas parciales y evaluándolas en el punto A, tenemos:

  \( \nabla f(x,y)=(-2a,2b)->A(3,-4)->\nabla f(3,-4)=(-6a,8b) \)

2.- Valor máximo de la derivada direccional: módulo del vector gradiente en el punto A.

  Condición 1: el valor máximo de la derivada direccional de la función en el punto A es el módulo del gradiente en ese punto.
 
    \( \left\|{\nabla f(A)}\right\|=\left\|{(-6a,8b)}\right\|=\sqrt[ ]{(-6a^2)+(8b)^2}=\sqrt[ ]{36a^2+64b^2} \)

    Al exigir que la derivada de la función en el punto tenga un valor máximo de 10, es:

    \( \sqrt[ ]{36a^2+64b^2}=10 \longrightarrow{} 36a^2+64b^2=10^2 \)   \( I \)

  Condición 2: el gradiente debe tener la misma dirección y sentido que el vector:

    Como \( \nabla f(A) \) es múltiplo de \( A \), es:

      \( (-6a,8b) \) es \( (-2).(3a,-4b) \).

    Por tanto, \( a=b \)

    Sustituyendo \( a=b \) en \( I \), tenemos:

      \( 36a^2+64a^2=10^2 \longrightarrow{} a=±1=b \)

  ¿es correcto?

Saludos.

Antes de avanzar, aquí hay un pequeño desliz, el gradiente en A es múltiplo (positivo) del vector \( (0,0)-(3,-4)=(-3,4) \) es decir tiene la misma dirección y sentido :

\( -6a=-3k\Rightarrow{k=2a} \)

\( 8b=4k\Rightarrow{k=2b} \)

Por lo tanto \( a=b \)

Sustituyendo en \( 36a^2+64b^2=10^2\Rightarrow{a=\pm{1}} \) pero solamente vale el valor positivo, de lo contrario k<0

Por lo tanto a=b=1

Espero se entienda

Saludos

Nota : Para la segunda parte del problema hay que considerar que la superficie es horizontal cuando su vector normal coincide con la dirección Z, hay que hallar en que puntos se da esto.

[Luis Fuentes]

Hola

Si quisiera ahora hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en los puntos en que sea horizontal, ¿podría hacer lo siguiente?

  Superficie: \( z=25-x^2-y^2 \longrightarrow{} -z^2-y^2-z=0 \longrightarrow{} z^2+y^2+z=0 \)
  Punto \( A=(3,-4) \)

Si. Pero ahí apenas has empezado...¡continúa!.

Antes de avanzar, aquí hay un pequeño desliz, el gradiente en A es múltiplo (positivo) del vector \( (0,0)-(3,-4)=(-3,4) \) es decir tiene la misma dirección y sentido :

¡Cierto!.

Saludos.

[mgranadosgg]

Hola y gracias.

Sería:

Como la superficie es horizontal, su vector normal coincide con la dirección z. Por tanto, hay que hallar en qué puntos ocurre esto.

Tenemos que:

   - Superficie: \( g(x,y,z)=25-x^2-y^2-z \longrightarrow{} g(x,y,z)=x^2+y^2-z+25=0 \)

Calculamos entonces el gradiente de la función \( g \) y, para que sea paralelo al plano horizontal , deberá tener las componentes:

  \( \nabla g=(0,0,-1) \)

Entonces es:

    \( \nabla g=(g_x,g_y,g_z)=(2x,2y,1) \)

Para que sea un plano horizontal, debe ocurrir que \( \nabla g=(0,0,-1) \). Entonces, es:
 
    \( 2x=0 \) \( \longrightarrow{} x=0 \) \( \longrightarrow{} \) Plano tangente a la función \( g(x,y,z)=0 \) será horizontal en el punto \( P=(0,0,1) \)
    \( 2y=0 \) \( \longrightarrow{} y=0 \)
    \( 1=-1 \)

Por tanto, la ecuación del plano tangente horizontal será \( z=1 \)

¿Es correcto?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola y gracias.

Sería:

Como la superficie es horizontal, su vector normal coincide con la dirección z. Por tanto, hay que hallar en qué puntos ocurre esto.

Tenemos que:

   - Superficie: \( g(x,y,z)=25-x^2-y^2-z \longrightarrow{} g(x,y,z)=x^2+y^2-z+25=0 \)

Calculamos entonces el gradiente de la función \( g \) y, para que sea paralelo al plano horizontal , deberá tener las componentes:

  \( \nabla g=(0,0,-1) \)

El gradiente debe se ser paralelo al vector \( (0,0,-1) \), no necesariamente igual. Por lo demás el resultado al que llegas es correcto.

Fíjate que si pones igual esto (lo marcado en rojo):

plano horizontal, debe ocurrir que \( \nabla g=(0,0,-1) \). Entonces, es:
 
    \( 2x=0 \) \( \longrightarrow{} x=0 \) \( \longrightarrow{} \) Plano tangente a la función \( g(x,y,z)=0 \) será horizontal en el punto \( P=(0,0,1) \)
    \( 2y=0 \) \( \longrightarrow{} y=0 \)
    \( 1=-1 \)

Nunca se cumpliría.

Saludos.

[mgranadosgg]

¿debería ser paralelo a ∇g=(0,0,1)?

Por último, sustituimos el punto P en g para obtener el plano tangente horizontal:

\( g(x,y,z)=x^2+y^2-z=-25 \longrightarrow{} 0+0-z=-25 \longrightarrow{} z=25 \)

Solución final: \( z=25 \)

¿es correcto?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿debería ser paralelo a ∇g=(0,0,1)?

\( \nabla g \) debería de ser paralelo a \( (0,0,1) \), no igual.

Por último, sustituimos el punto P en g para obtener el plano tangente horizontal:

\( g(x,y,z)=x^2+y^2-z=-25 \longrightarrow{} 0+0-z=-25 \longrightarrow{} z=25 \)

Solución final: \( z=25 \)

¿es correcto?

Bien.

Saludos.