[Michel]

Se considera un triángulo ABC. Por un punto M del lado BC se trazan las paralelas a AB y AC, que cortan a AC en N y a AB en P.
a) Comparar las razones AP/AB y CM/CB de una parte, AN/AC y BM/DC de otra.
b) Determinar M para que NP sea paralela a BC.

[Héctor Manuel]

(a) es directo del teorema de Tales.

(b) Supongamos \( NP||BC \). Entonces \( NPMC \) es un paralelogramo, así que \( NP=CM \). Análogamente, \( NP=MB \), de donde \( M \) es el punto medio de \( BC \). Recíprocamente, si \( M \) es el punto medio de \( BC \), entonces \( NP||BC \). En definitiva, el único punto en \( BC \) que cumple lo pedido es el punto medio.

Saludos.