Proporciono un tercer método para resolver el problema de este hilo.
- Usando el teorema espectral hallamos las ecuaciones paramétricas de la elipse \( E\equiv x^2+y^2+ x+y=xy \) y mediante un giro y una traslación, obtenemos
\( E\equiv \left \{ \begin{matrix}x=-1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\\y=-1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\cos t+\sin t\end{matrix}\right.\qquad t\in [0,2\pi]. \)
- Sumando queda \( x+y=-2+2\sin t \).
- Por último, \( f(x,y)=x^3+y^3\underbrace{=}_{\text{visto}}-(x+y)^2=-(2+2\sin t)^2=-4(1-\sin t)^2 \).
Por tanto el mínimo absoluto de \( f \) es \( -16 \) para \( t=3\pi/2 \) y el máximo \( 0 \) para \( t=\pi/2. \)
P.D. Lo tres métodos ya aparecen en el link
Extremos de $$f(x,y)=x^3+y^3$$ sobre una elipse.