[ani_pascual]

Hola:

Hola, de este ejercicio me pueden explicar cómo obtienen los valores de \( \tilde{T} \)? No logro entender esta parte. Cómo obtienen la aproximación de grado menor que seis ?

Hola:
Los polinomios \( \tilde{T}_n(x) \) son los polinomios de Chebyshev pero divididos por el coeficiente de su término de mayor grado, para convertirlos en mónicos. Por ejemplo, \( T_3(x)=4x^3-3x \), luego \( \tilde{T}_3(x)=x^3-\dfrac{3}{4}x \).

Hace falta saber identidades trigonométricas para entenderlo?

En principio, creo que no, ya que los polinomios de Chebyshev ya son conocidos:
\( T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\
T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x) \) y así \( T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\T_4(x)=8x^4-8x^2+1\\\vdots \)
Saludos

[lorena.zambrano]

Me pueden explicar en este ejercicio como calculan el error de una manera más explícita? Y de qué forma se lo van añadiendo para calcular error con el polinomio  que sigue?

[ani_pascual]

Hola:

Me pueden explicar en este ejercicio como calculan el error de una manera más explícita? Y de qué forma se lo van añadiendo para calcular error con el polinomio  que sigue?

El primer error es el correspondiente al polinomio de Mac-Laurin de grado seis, \( p_6(x) \), que lo puedes ver aquí
\( |R_6(x)|=\left|\dfrac{f^{(7)}(\eta)x^7}{7!}\right|\leq \dfrac{8e}{7!}\simeq 0,0043 \) ya que \( f^{(7)}(x)=e^x(7+x) \) y \( 0<|\eta| <|x|\leq 1  \)
El segundo error es el correspondiente al polinomio de Chebyshev de grado menor o igual que cinco, \( p_5(x)=p_6(x)-a_6\tilde{T}_6(x) \), es decir, \( |p_6(x)-p_5(x)|=|a_6\tilde{T}_6(x)|\leq \dfrac{1}{120}\dfrac{1}{2^5}=\simeq 0,00026 \), donde se usa que \( \max\limits_{|x|\leq 1}|\tilde{T}_n(x)|=\dfrac{1}{2^{n-1}} \) y que \( a_6=\dfrac{1}{120} \).
Si al sumar estos dos errores no se supera la cota de error admitida, se sigue buscando otro polinomio de menor grado, \( p_4(x)=p_5(x)-a_5\tilde{T}_5(x) \); cuyo error cumpliríaría \( |p_4(x)-p_5(x)|=|a_5\tilde{T}_5(x)|\leq |a_5|\dfrac{1}{2^4} \) y así sucesivamente hasta que la suma de todos los errores supere la cota permitida.
Saludos

[lorena.zambrano]

He visto este ejercicio en el libro de Burden, como lo dicen mensajes anteriores, me pueden explicar como calcularon el error? Cómo en el ejemplo el polinomio es de grado 4, Se supone que se debe calcular la quinta derivada de la función, para calcular el error, pero la derivada de \( e^x \) es \( e^x \) , así hasta la quinta derivada, por qué en el ejercicio aparece  \( \frac{e}{120}  \)? No debería ser
\(   \frac{e^x}{120}  \)? Agradezco la explicación para lograr avanzar.

[ani_pascual]

Hola:

He visto este ejercicio en el libro de Burden, como lo dicen mensajes anteriores, me pueden explicar como calcularon el error? Cómo en el ejemplo el polinomio es de grado 4, Se supone que se debe calcular la quinta derivada de la función, para calcular el error, pero la derivada de \( e^x \) es \( e^x \) , así hasta la quinta derivada, por qué en el ejercicio aparece  \( \frac{e}{120}  \)? No debería ser
\(   \frac{e^x}{120}  \)? Agradezco la explicación para lograr avanzar.

Porque se tiene que \( -1<\xi(x)\leq 1 \) y, por tanto, \( f^{(5)}(\xi(x))=e^{\xi(x)}\leq e^1=e \); de esta manera, \( |R_4(x)|=\dfrac{|f^{(5)}(\xi(x))||x^5|}{5!}=\dfrac{e^{\xi(x)}|x^5|}{120}\leq \dfrac{e}{120} \) para todo \( x\in[-1,1] \)
Saludos

[lorena.zambrano]

Perdona tantas preguntas ani_pascual pero ese valor absoluto de \( |x^5| \) que representa? Que valor se reemplaza allí?

[ani_pascual]

Hola:

Perdona tantas preguntas ani_pascual pero ese valor absoluto de \( |x^5| \) que representa? Que valor se reemplaza allí?

Recuerda que la expresión es \( f(x)=f(0)+\dfrac{f'(0)}{1!}x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(IV)}(0)}{4!}x^4+R_4(x) \) donde es \( x \) próximo a \( 0 \), y la expresión del resto de orden cuatro es \( R_4(x)=\dfrac{f^{(V)}(\xi(x))}{5!}x^5 \) con \( |\xi(x)|<|x|\leq 1 \) pues se tiene que \( x\in[-1,1] \) y, por tanto, \( |x^5|\leq 1 \) de donde \( |R_4(x)|\leq \dfrac{e}{120} \)
Saludos

[lorena.zambrano]

Muchas gracias, pero aún sigo bloqueada con este paso, qué valor voy a reemplazar en ese \( |x^5| \) ?

[ani_pascual]

Hola:

Muchas gracias, pero aún sigo bloqueada con este paso, qué valor voy a reemplazar en ese \( |x^5| \) ?

No hay que reemplazar \( x \) por nada; se  trata solo de aproximar la función \( f(x)=e^x \) por el cuarto polinomio de Maclaurin en el intervalo \( [-1,1] \), siendo el error de la aproximación menor o igual que \( \dfrac{e}{120} \); eso quiere decir que si tomas un \( x\in[-1,1] \) cualquiera, entonces
\( \left|e^x -\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}\right)\right|\leq \dfrac{e}{120} \)
Saludos

[lorena.zambrano]

Ani el error en esta parte no debería ser \( \frac{1}{6}*\frac{3}{4}  \)?
De donde ha salido ese
\( \frac{1}{6}*(\frac{1}{2})^2= \frac{1}{24}=0.042  \)?